第七章 线性变换与相似矩阵 习题7.1
习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ）解：当当
时，时，有
，
，
显然是的线性变换；
，
，即此时不是的线性变换。
（Ⅱ）解：当当
，时，时，有
；
显然是的线性变换；
，
，则，则
，即此时不是的线性变换。
（2）在（Ⅰ）解：不是
中，
，
的线性变换。因对于，所以
（Ⅱ）解：是则有
的线性变换。设
。
； ，其中
，
，
，
，有
，
。
（3）在（Ⅰ）解：是
中，
，
的线性变换：设
，则
，
，
（Ⅱ）解：是
。
，其中是中的固定数；
的线性变换：设
，则 ，
，
。
，其中是的
（4）把复数域看作复数域上的线性空间，共轭复数； 解：
不是线性变换。因为取
，即
（5）在
。
，
时，有
，
中，设与是其中的两个固定的矩阵，。
，
解：是的线性变换。对，，有 ，
。
习题7.1.2在轴向
中，取直角坐标系，以表示空间绕
表示空间绕轴由
轴向
轴由方向
方向旋转900的变换，以
旋转900的变换，以变换。证明
表示空间绕轴由轴向方向旋转900的
（表示恒等变换）， ， ；
并说明证明：在知：
是否成立。
中任取一个向量
， ，，即
，；，故
， ，所以
。
，则根据
，；，
。 及
的定义可
，，
因为
因为， ，所以
。
，
，所以
。
，证明
。
因为
习题7.1.3在证明：在
中，，，有
中任取一多项式
。所以
习题7.1.4设，是上的线性变换。若
。
证明：用数学归纳法证明。当
。 ，证明
时，有
命题成立。假设等式对成立，即也成立。因有
。下面证明等式对
，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。
习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则且
证明：（1）设进而
。
，
。
也是可逆线性变换，
都是的逆变换，则有
。即的逆变换唯一。
（2）因，都是上的可逆线性变换，则有
，同理有
由定义知
是可逆线性变换，。
习题7.1.6设是上的线性变换，向量
都不是零向量，但 线性无关。
证明：设
，依次用，得
故
；同理有：
，而，得
可得
，，
，且，
，
，，
，，
为
逆变换，有唯一性得
。证明
即得
。
；依次类推可得，即得，进而得
有定义知，，，线性无关。
习题7.1.7设是上的线性变换，证明是可逆线性变换的充要条件为既是单射线性变换又是满射线性变换，即是一一变换。 证明：两端用若任取变换。
已知既是单射线性变换又是满射线性变换，即双射。现定
，定有，同时有
知是可逆线性变换。
习题7.1.8设是上的线性变换，证明（1）是单射线性变换的充要条件为
；（2）是单射线性变换的充要条件为把线
，且有
，规定，即有
，有。由定义
已知是可逆线性变换，即存在作用即得，则存在
。若
，则
，因此是单射线性变换。
，使得
，即是满射线性
义新的变换：
性无关的向量组变为线性无关的向量组。 证明：（1）
已知
是单射线性变换，对，即
。 ，则有
，故是单射。
线性无关，现证
，整，得，则有
，由单射得
已知
，若，即得
（2）
已知
是单射线性变换。设也线性无关。令
理有已知
，而是单射，有
线性无关，所以
，故
，
也线性无关。
已知
把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。若，则有
则说明向量
，并一定有
。否则若
，
线性无关，而表示把线性无关的向量
可得
，
组变为线性相关的向量组，与条件矛盾。而由即是单射线性变换。 习题7.1.9设
是
中全体可逆线性变换所成的子集，证明
关于线性变换的乘法构成一个群。（超范围略） 习题7.1.10设（1）若（2）若证明：（1）因为
，则
，
，
是上的线性变换，且，则
；
。 。所以
，
从而
或
。又因为
。
故
。
，
，所以
证明
（2）因为
。
习题7.1.11设
与
分别是数域
上的维与
维线性空间，
，证。
是的一个有序基，对于
明存在唯一的线性映射
，使
中任意个向量
，，
证明：先证明存在性。对任意的有唯一的线性表达式
我们定义显然有
，
。
现验证为到的一个线性映射。
，因为 ，由定义得
。
（1）对任意的向量
（2）对任意的得
，因为，由定义
所以为到
的一个线性映射。
的一个线性映射，也使得
。 ，一定有
。
再证唯一性：若另有到
，
则对任意向量
。
由在中的任意性，可得习题7.1.12设
与
。
上的维与
维线性空间，是
的子空间。
为的
分别是数域
是线性映射。证明
又若零度，称
有限，证明
为的秩。
与，有，故，则
所以
为
的子空间.
是的子空间，
。这时称
证明：（1）先证对所以
，
分别为与的子空间，
， ，
为的子空间；同理，对，使
，
，所以
（2）再证 因
有限，不妨设
，
，在
中取一个基 ，则
，再把它扩充为的一个基
是像空间
事实上，对设
的一个基. ，存在
，使得
，则有
。
即
中的任意向量都可由线性表示。
现证向量组设
线性无关： ，有，所以向量
，即 可由向量组
线性表示，进而有
，整理有 ，
又因
线性无关，所以必有
线性无关，即
为。
习题7.1.13证明
关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加
，因此
的一个基，故
法与数量乘法构成上的一个线性空间。
证明：现证明定义7.1.12中所定义的线性映射的加法量乘法
都是从到
的线性映射。 ，
，有
故
，
故
为到
的线性映射。
与数量乘法
显然满足：
为到
的线性映射。同理，对
，
，
，有 与数
事实上，对
另外线性映射的加法
（1） 结合律： （2）交换律:
；
；
（3）存在零线性映射，对 （4）对 （5）（8）所以
，有负线性映射
； （6）
。其中
，有； ，使得
；
；
； （7）
，
关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘
法构成上的一个线性空间。 习题7.1.14证明：证明：设
为维线性空间，
为和
。
维线性空间，即的一组基，其中为在基
到
的同构映
，。令
。取定的一组基
为与基射。
事实上，（1）若
，
个都有
（2）
，
到
的如下映射：
下的矩阵。这样定义的是
，且，则有。由于
，对每一
，故有，令
，即是单射。
。
则存在唯一的线性映射使得
，并且
由此可见，是满射。 （3）对
即有，所以
，故有
到
的同构映射。进而有
。
习题7.2
习题7.2.1求下列线性变换在所指定的一个基下的矩阵： （1）
的线性变换
，
，其中 ，所以是
，
，有
，，
，其中
为固定矩阵。求（2）设
，
在
这个基下的矩阵；
是线性空间
的线性变换，求在基下的矩阵；
（3）6个函数：
，，
，
，
，
的所有实系数线性组合构成实数域上一个6维线性空间。求微分变换在基
下的矩阵。
，
的定义直接可得：
解：（1）由
， ， ， 。
所以在这个基下的矩阵为
。
， ， ， 。
所以
在
这个基下的矩阵为
（2）由
………………………
………………………
。 直接可得： ，
，
，
，
。
所以在基
下的矩阵为：
。
（3）由微分运算性质直接可得：
， ，
， ，
， 。
所以微分变换在基
下的矩阵为：
。
习题7.2.2设
，
已知
是的一个基，
，
，
。
线性无关。证明：
，
； 。
也是的一个；
（1） 存在唯一的线性变换，使（2）（1）中的在基（3）（1）中的在基证明：（1）因为
下的矩阵为下的矩阵为线性无关，所以
基。故对的一个基及个向量使
，
。
，定存在唯一的线性变换，
（2） 由已知条件有
，
其中
与，进而有
都是的基，所以可逆，且有
。再由（1）得
，
，所以在基
的矩阵为
。
下
（3） 类似有
，所
以在基习题7.2.3在
下的矩阵为
。
中，定义线性变换为
，，，
其中 （1）求在基（2）求在基解：（1）由定义知
，下的矩阵；
，。
下的矩阵。
，
所以有
，
。
故在基（2）类似有
下的矩阵为：。
。
故在基下的矩阵为：。
习题7.2.4在中，线性变换在基，，下
的矩阵是。求在基下的矩阵。
解：已知，
，
则有
。
即在基下的矩阵为：。
下的
习题7.2.5设数域上3维线性空间的线性变换在基矩阵为
（1）求在基（2）求在基（3）求在基解：（1）由已知可得
下的矩阵； 下的矩阵； 下的矩阵。
， ， 。
所以在基下的矩阵为：。
（2）由已知可得
，
， 。
所以在基下的矩阵为：。
（3）由已知可得
，
， 。
所以在基
下的矩阵为：
。
习题7.2.6在维线性空间
，但
矩阵为
中，设有线性变换
与向量
使
。证明：在中存在一个基，使在该基下的
。
，
，
证明：由习题7.1.6知：维线性空间的向量组，
线性无关，且有个向量，即构成的一组基，而线性变
换作用此基有：
， ，
……………
， 。
故在基，
，
，
下的矩阵为：
习题7.2.7设
。
是数域上维线性空间的全体线性变换组成
，并找出，令为
到
中的一个基。
的映射：
的数域上的线性空间，试求
求证：任取的一组基
，其中
7.2.7知为同构映射，即
，故
现取
，即
的一组基，故
，，，
为。
。由引理7.2.6及定理。所以它们的维数相同，而
，使得。已知
，
是
的一组基。
习题7.2.8证明：与维线性空间的全体线性变换都可交换的线性变换是数乘变换。
证明：在某组确定的基下，数域上的维线性空间的线性变换与数域上的阶方阵间建立了一个双射，因为与一切阶方阵可交换的方阵为数量矩阵数乘变换
。
，所以与一切线性变换可交换的线性变换必是
习题7.2.9设是维线性空间的一个线性变换，如果在的任意一个基下的矩阵都相同，则是数乘变换。 证明：设在基
下的矩阵为
，只要证明为数量
，则
矩阵即可。设为任意可逆矩阵，令
也是的一组基，且在这组基下的矩阵为，依题意
有。特别地，当取时，计算可得
。
再取，由可得，即为
数量矩阵，所以是数乘变换。 习题7.2.10证明：
与
相似，其中证明：用基
是
的一个排列。
依次表示这两个矩阵，取一个维线性空间及其一组，对于矩阵，存在的线性变换，使得
，
由此可得
。
因为与是在不同基下的矩阵，所以与相似。
习题7.2.11如果可逆，证明证明：因为
与相似。
与
相似。
，所以
习题7.2.12如果与相似，与相似，试判断下列叙述是否正确？如果不正确，请举反例，否则给出证明。
（1）（2）（3）
与
与相似；
相似；
相似。
相似，因此存在可
与
答：（1）正确。证明：由于与相似，与逆阵，，使得
，
，从而有
，
其中
（2）不正确。反例：设
，
与
相似；再取
，
设
，
且
满，
足，则
与
，所以
，
与
相似。 ，则有，即
，使，故
显然相似。但
。
，
即
计算得所以
与
不相似。
，即得，故不可逆。
（3）不正确。反例：取同（2），有 ，
，
两矩阵秩不同。显然，习题7.3
与不相似。
习题7.3.1设是数域上线性空间，是的线性变换。如果的特征值，则对任意多项式的属于证明：设
的特征向量也是为的属于
的属于的特征向量，即
。
时，有，
是
是
的特征值，且
的特征向量。
，则对任意自
然数，有
事实上，当
时，显然成立。假设
成立。现证时也成立，即
。
故由数学归纳法得
设
式对任意自然数均成立。 ，则有
，
即。
习题7.3.2对复数域上线性空间上的下述线性变换，求出它的特征值与特征向量，判断是否可以对角化，在可对角化时，求出过度矩阵，并计算
。已知在的一个基下的矩阵为
（1）；（2）；（3）；（4）。
解：（1）设在基下的矩阵为，矩阵的特征多项式为
。
所以的特征值为，
先求
。
的特征向量。解齐次线性方程组
，所以的属于特征值的全部特
的属于特征值，求得基础解系为
征向量为
再求
；
的属于特征值，求得基础解系为
的特征向量。解齐次线性方程组
，所以的属于特征值
的全
部特征向量为
可以对角化。取
，即
基
的过渡矩阵。且有
。
的两个线性无关的特征向量
，其中
为由基
，到。
（2）设在基矩阵的特征多项式为
求
下的矩阵为，且当时，有，于是。
，所以的特征值为
的属于特征值的特征向量。解齐次线性方程组
，求得基础解系为
的两个线性无关的特征向量为特征向量。
当
时，矩阵
，，因为的属于特征值
，所以以中任意非零向量为其
的特征多项式为
，所以的特征值为
先求
的属于特征值，求得基础解系为
特征向量为
再求
；
的属于特征值
。
的特征向量。解齐次线性方程组
，所以的属于特征值的全部
的特征向量。解齐次线性方程组
，所以的属于特征值
的全
，求得基础解系为
部特征向量为
可以对角化。取，即的过渡矩阵。且有（3）设在基
。
的两个线性无关的特征向量
，其中
为由基
，到基。
下的矩阵为，矩阵的特征多项式为
。
所以的特征值为
先求
。
的属于特征值的特征向量。解齐次线性方程组，求得基础解系为
，所以的属于特征值的全；
的特征向量。解齐次线性方程组
，所以的属于特征值的全部
部特征向量为
再求
的属于特征值，求得基础解系为
特征向量为
。
由于找不到的三个线性无关的特征向量，故不可对角化。 （4）设在基
下的矩阵为，矩阵的特征多项式为
。
所以的特征值为
先求
。
的特征向量。解齐次线性方程组
，
，
，所以的
的属于特征值，求得基础解系为
属于特征值的全部特征向量为
；
再求
的属于特征值，求得基础解系为
的全部特征向量为
的特征向量。解齐次线性方程组
，所以的属于特征值。
可以对角化。取，
，
的四个线性无关的特征向量
，即
，
，
其中为由基到基的过渡矩阵。且
有
。
习题7.3.3证明：是矩阵的特征值的充要条件是矩阵异阵。
证明：设非零向量
，整理得
为矩阵
的属于特征值的特征向量，则有，因
，所以齐次线性方程组
。反之亦然。
为奇
有非零解，故系数行列式
习题7.3.4设，求。
解：矩阵的特征多项式为
。
所以的特征值为
。
对基础解系
，解齐次线性方程组
；
，得
对得基础解系
，解齐次线性方程组
；
，
对，解齐次线性方程组，
得基础解系。令，有，进
而有，故
。
习题7.3.5设这个基下的矩阵为
是4维线性空间的一个基，线性变换在
。
（1） 求在一个基
下的矩阵，其中
（2）求的特征值与特征向量； （3）求一可逆阵，使
为对角阵。
解：（1）由条件有，
令，则线性变换在基下的矩阵为
。
（2）因为线性变换的特征多项式为
。
所以线性变换的特征值为
先求
的属于特征值
。
的特征向量。解齐次线性方程组
，
，所以的属于特征值
，
，求得基础解系为
的线性无关的特征向量为
。全部特征向量为
；
再求
的属于特征值
的特征向量。解齐次线性方程组
，所以的属于特征值的
，求得基础解系为
线性无关的特征向量为
。
全部特征向量为
最后求
。
的属于特征值的特征向量。解齐次线性方程组
，所以的属于特征值的线
，求得基础解系为
性无关的特征向量为
。
全部特征向量为
。
（3）因为，所以所求的可逆矩
阵为，于是有
。
习题7.3.6（1）设别属于
是线性变换的两个不同特征值，
不是的特征向量；
是分
的特征向量。证明：
（2）证明：如果线性变换以中每个非零向量作为它的特征向量，则是数乘变换。 证明：（1）因为
，
，所以
。
假设
是线性变换，且有
。
由于线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关，因此
，于是得
的特征向量。
的属于特征值的特征向量，即
，整理可得
，这与题设矛盾，因而不是
（2）任取的一个非零向量，设若
或
，则显然有
。如果
；若
。再任取的一个向量，
，则由假设也是特
不是的。这就说明的
征向量，设，则由（1）知，，即仍有
特征向量，这与题意矛盾。故
任意两个特征值都相等，故为数乘变换。 习题7.3.7设是的线性变换。证明：
（1）的行列式为零的充要条件是至少有一个特征值为零； （2）如果是可逆线性变换，则其特征值一定不为零；又如果是的特征值，则
必是
的特征值。
是的
证明：（1）设线性变换在一组基下的矩阵为，所有特征值，则有
至少有一个
，所以。
的行列式为零
（2）（反证法）设可逆线性变换有一个特征值为，而的一个特征向量，即有
，
征值一定不为零。
设可逆，得成
为的属于特征值的一个特征向量，即
，进而有，故
必是
，即
的一个特征值。 。这与
。用
作用
是它
的两边得
矛盾，故可逆线性变换的特
。由于，也可写
习题7.3.8设，是阶方阵。证明： （1）（2）如果
； ，则
，即相似的矩阵必有相同的迹；
（3）设，。验证：与有相同的特征多项式，
但与不相似。
证明：（1）设，为任意两个
阶方阵，则它们的和为
同样，
主对角线上的元素为
。
的主对角线上的元素的和为
，，。
。
故
。
（2）根据（1）可得
。
即相似的矩阵必有相同的迹。
（3）因为，所以其特征多项式为；又因为
，所以其特征多项式为
，故与有相同的特征多项式。
现设矩阵
，使得
成立，展开有
，
。解得
不相似。
习题7.3.9设的线性变换的互不相同的特征值为如果在每一个特征值的特征子空间个基。证明：必可对角化。
证明：设特征值
，则有，又知
,
的特征子空间，
，
的基为
。所以
，即得
是不可逆的，故与
。
中取基，恰构成全空间的一
，
，即每一个
都是的特征向量。
恰构成空间的
一个基，即得有个线性无关的特征向量，所以必可对角化。
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