2019年天津市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．（3分）计算（﹣3）×9 的结果等于（ ） A．﹣27
B．﹣6
C．27
D．6
2．（3分）2sin60°的值等于（ ） A．1
B．
C．
D．2
3．（3分）据2019年3月21日《天津日报》报道，“伟大的变革﹣﹣庆祝改革开放40周年大型展览”3月20日圆满闭幕，自开幕以来，现场观众累计约为4230000人次．将4230000用科学记数法表示应为（ ） A．0.423×10
7
B．4.23×10
6
C．42.3×10
5
D．423×10
4
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C．6．（3分）估计A．2和3之间 7．（3分）计算A．2
+
的值在（ ）
B．3和4之间 的结果是（ ） B．2a+2
D．
C．4和5之间 D．5和6之间
C．1
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D．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．
B．4
的解是（ ）
C．4
D．20
9．（3分）方程组
A． B． C． D．
的图象
10．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y2＜y1＜y3
B．y3＜y1＜y2
C．y1＜y2＜y3
D．y3＜y2＜y1
11．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝AD
B．AB⊥EB
2
C．BC＝DE D．∠A＝∠EBC
12．（3分）二次函数y＝ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x y＝ax+bx+c 且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：
2… … ﹣2 t ﹣1 m 0 ﹣2 1 ﹣2 2 n … … 第2页（共21页）
①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜其中，正确结论的个数是（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
2
．
二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18） 13．（3分）计算x•x的结果等于 ． 14．（3分）计算（
+1）（
﹣1）的结果等于 ．
5
15．（3分）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ． 16．（3分）直线y＝2x﹣1与x轴的交点坐标为 ．
17．（3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上． （Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共7小题,共66分,解答度写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
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（Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为 ，图①中m的值为 ； （Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．
21．（10分）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点． （Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小．
22．（10分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，
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根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）． 参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．
23．（10分）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超过50kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）． （Ⅰ）根据题意填表： 一次购买数量/kg 甲批发店花费/元 乙批发店花费/元 30 50 300 350 150 … … … （Ⅱ）设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；
（Ⅲ）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量多．
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2． （Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分
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别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当
≤S≤5
时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
25．（10分）已知抛物线y＝x﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D（b，yD）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值； （Ⅲ）点Q（b+，yQ）在抛物线上，当
AM+2QM的最小值为
时，求b的值．
2
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2019年天津市中考数学试卷答案与解析
一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．【分析】由正数与负数的乘法法则得（﹣3）×9＝﹣27； 【解答】解：（﹣3）×9＝﹣27； 故选：A．
【点评】本题考查有理数的乘法；熟练掌握正数与负数的乘法法则是解题的关键． 2．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】解：2sin60°＝2×故选：C．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于4230000有7位，所以可以确定n＝7﹣1＝6． 【解答】解：4230000＝4.23×10． 故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 4．【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
5．【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．
【解答】解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2． 故选：B．
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6
n
＝，
【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． 6．【分析】由于25＜33＜36，于是【解答】解：∵25＜33＜36， ∴∴5＜
＜
＜＜6．
，
＜
＜
，从而有5＜
＜6．
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 7．【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式＝＝＝2． 故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 8．【分析】根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1）， ∴AB＝
，
∵四边形ABCD是菱形， ∴菱形的周长为4故选：C．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和勾股定理解答． 9．【分析】运用加减消元分解答即可． 【解答】解：①+②得，x＝2，
把x＝2代入①得，6+2y＝7，解得
，
，
，
故原方程组的解为：故选：D．
．
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【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的基本解法是解答本题的关键．
10．【分析】分别计算出自变量为﹣3、﹣2和1对应的函数值，从而得到y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：当x＝﹣3，y1＝﹣当x＝﹣2，y2＝﹣当x＝1，y3＝﹣所以y3＜y1＜y2． 故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 11．【分析】根据旋转的性质得到AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故A错误，C错误； 得到∠ACD＝∠BCE，根据三角形的内角和得到∠A＝∠ADC＝＝
，∠CBE
＝6； ＝﹣12，
＝4；
，求得∠A＝∠EBC，故D正确；由于∠A+∠ABC不一定等于90°，
于是得到∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故B错误． 【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC， ∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故A错误，C错误； ∴∠ACD＝∠BCE， ∴∠A＝∠ADC＝
∴∠A＝∠EBC，故D正确； ∵∠A+∠ABC不一定等于90°，
∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故B错误 故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 12．【分析】①当x＝0时，c＝﹣2，当x＝1时，a+b＝0，abc＞0，①正确； ②x＝是对称轴，x＝﹣2时y＝t，则x＝3时，y＝t，②正确；
，∠CBE＝
，
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③m+n＝4a﹣4；当x＝﹣时，y＞0，0＜a＜，m+n＜【解答】解：当x＝0时，c＝﹣2， 当x＝1时，a+b﹣2＝﹣2， ∴a+b＝0， ∴y＝ax﹣ax﹣2， ∴abc＞0， ①正确； x＝是对称轴，
x＝﹣2时y＝t，则x＝3时，y＝t，
∴﹣2和3是关于x的方程ax+bx+c＝t的两个根； ②正确；
m＝a+a﹣2，n＝4a﹣2a﹣2， ∴m＝n＝2a﹣2， ∴m+n＝4a﹣4， ∵当x＝﹣时，y＞0， ∴a＞， ∴m+n＞③错误； 故选：C．
，
2
2
，③错误；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18）
13．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可解答． 【解答】解：x•x＝x． 故答案为：x
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解决本题的关键是熟记同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
14．【分析】利用平方差公式计算．
第10页（共21页）
65
6
【解答】解：原式＝3﹣1 ＝2． 故答案为2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 15．【分析】根据概率公式求解．
【解答】解：从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率＝． 故答案为．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
16．【分析】当直线y＝2x﹣1与x轴相交时，y＝0；将y＝0代入函数解析式求x值． 【解答】解：根据题意，知，
当直线y＝2x﹣1与x轴相交时，y＝0， ∴2x﹣1＝0， 解得，x＝；
∴直线y＝2x+1与x轴的交点坐标是（，0）； 故答案是：（，0）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式．
17．【分析】由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ADF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，
由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG， ∴BF⊥AE，AH＝GH， ∴∠FAH+∠AFH＝90°， 又∵∠FAH+∠BAH＝90°，
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∴∠AFH＝∠BAH， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AF＝DE＝5， 在Rt△ADF中， BF＝
＝
＝13，
S△ABF＝AB•AF＝BF•AH， ∴12×5＝13AH， ∴AH＝
，
，
∴AG＝2AH＝∵AE＝BF＝13，
∴GE＝AE﹣AG＝13﹣故答案为：
．
＝，
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质． 18．【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；
（Ⅱ）如图，取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，于是得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）AB＝故答案为：
；
＝
，
（Ⅱ）如图，取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，
第12页（共21页）
故答案为：取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，勾股定理，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题,共66分,解答度写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2； （Ⅱ）解不等式②，得x≤1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1． 故答案为：x≥﹣2，x≤1，﹣2≤x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生人数，进而求得m的值； （Ⅱ）根据统计图中的数据可以求得这组数据的平均数和众数、中位数；
（Ⅲ）根据统计图中的数据可以求得该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数． 【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：4÷10%＝40， m%＝
＝25%，
故答案为：40，25；
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（Ⅱ）平均数是：
众数是1.5，中位数是1.5； （Ⅲ）800×
＝720（人），
＝1.5，
答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有720人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．【分析】（Ⅰ）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°计算；
（Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）连接OA、OB， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°， 由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝50°； （Ⅱ）连接CE， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， ∵∠ACB＝50°，
∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°， ∴BAE＝∠BCE＝40°， ∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°， ∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°．
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【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22．【分析】根据正切的定义用CD表示出AD，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：在Rt△CAD中，tan∠CAD＝则AD＝
≈CD，
，
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°， ∴BD＝CD， ∵AD＝AB+BD， ∴CD＝CD+30， 解得，CD＝45，
答：这座灯塔的高度CD约为45m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．【分析】（Ⅰ）根据题意，甲批发店花费 y1（元）＝6×购买数量x（千克）；6×30＝180，6×150＝900；而乙批发店花费 y2（元），当一次购买数量不超过50kg时，y2＝7××30＝210元；一次购买数量超过50kg时，y2＝7×50+5（150﹣50）＝850元．
（Ⅱ）根据题意，甲批发店花费 y1（元）＝6×购买数量x（千克）；而乙批发店花费 y2（元）在一次购买数量不超过50kg时，y2（元）＝7×购买数量x（千克）；一次购买数
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量超过50kg时，y2（元）＝7×50+5（x﹣50）；即：花费 y2（元）是购买数量x（千克）的分段函数．
（Ⅲ）①花费相同，即y1＝y2；可利用方程解得相应的x的值；
②求出在x＝120时，所对应的y1、y2的值，比较得出结论．实际上是已知自变量的值求函数值．
③求出当y＝360时，两店所对应的x的值，比较得出结论．实际是已知函数值求相应的自变量的值．
【解答】解：（Ⅰ）甲批发店：6×30＝180元，6×150＝900元；乙批发店：7××30＝210元，7×50+5（150﹣50）＝850元． 故依次填写：180 900 210 850． （Ⅱ）y1＝6x （x＞0）
当0＜x≤50时，y2＝7x （0＜x≤50）
当x＞50时，y2＝7×50+5（x﹣50）＝5x+100 （x＞50）
因此y1，y2与x的函数解析式为：y1＝6x （x＞0）； y2＝7x （0＜x≤50）y2＝5x+100 （x＞50）
（Ⅲ）①当y1＝y2时，有：6x＝7x，解得x＝0，不和题意舍去； 当y1＝y2时，也有：6x＝5x+100，解得x＝100， 故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克． ②当x＝120时，y1＝6×120＝720元，y2＝5×120+100＝700元， ∵720＞700 ∴乙批发店花费少． 故乙批发店花费少．
③当y＝360时，即：6x＝360和5x+100＝360；解得x＝60和x＝52， ∵60＞52
∴甲批发店购买数量多． 故甲批发店购买的数量多．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，分段函数，就是要根据自变量在不同的取值范围函数的关系不一样，需要分段进行讨论，分别进行计算，根据函数关系式可以已知自变量的值求函数值，也可以已知函数值求相应的自变量的值．
24．【分析】（Ⅰ）由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，由矩形的性质得出∠AED＝∠ABO＝30°，
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在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4
，即可得出答案；
，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′
C′∥OB，得出∠E′FM＝∠ABO＝30°，在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝
＝
＝
t，求出S△MFE′＝
ME′•FE′＝
×t×
t＝
，S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4②当S＝
＝8，即可得出答案；
O'A＝
（6
时，O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，由直角三角形的性质得出O'F＝
﹣t），得出方程，解方程即可； 当S＝5
时，O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，由直角三角形的性质得出O'G＝
（4﹣t），由梯形面积公式得出S＝[
（6﹣t）+
（4﹣t）]×2＝5
（6，
﹣t），D'F＝解方程即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵点A（6，0）， ∴OA＝6， ∵OD＝2，
∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4， ∵四边形CODE是矩形， ∴DE∥OC，
∴∠AED＝∠ABO＝30°，
在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝∵OD＝2，
∴点E的坐标为（2，4
）；
，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′＝
＝4
，
（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4C′∥OB，
∴∠E′FM＝∠ABO＝30°，
∴在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝
＝＝t，
∴S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×
t＝， ＝8
，
∵S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4
第17页（共21页）
∴S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8∴S＝﹣②当S＝
t+8
2
﹣，
，其中t的取值范围是：0＜t＜2；
时，如图③所示：
O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，
∵∠AO'F＝90°，∠AFO'＝∠ABO＝30°， ∴O'F＝
O'A＝
（6﹣t） （6﹣t）＝
，
∴S＝（6﹣t）×解得：t＝6﹣∴t＝6﹣
，或t＝6+（舍去），
；当S＝5时，如图④所示：
O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t， ∴O'G＝∴S＝[
（6﹣t），D'F＝（6﹣t）+
（4﹣t），
，
（4﹣t）]×2＝5
解得：t＝， ∴当
≤S≤5
时，t的取值范围为≤t≤6﹣
．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟
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练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．
25．【分析】（Ⅰ）将点A（﹣1，0）代入y＝x﹣bx+c，求出c关于b的代数式，再将b代入即可求出c的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）将点D（b，yD）代入抛物线y＝x﹣bx﹣b﹣1，求出点D纵坐标为﹣b﹣1，由b＞0判断出点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，过点D作DE⊥x轴，可证△ADE为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出b的值； （Ⅲ）将点Q（b+，yQ）代入抛物线y＝x﹣bx﹣b﹣1，求出Q纵坐标为﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，点N（0，1），过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为1）]+2
[（b+）﹣（﹣）]＝
2
222
AM+2QM＝，所以[（﹣）﹣（﹣
，解方程即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x﹣bx+c经过点A（﹣1，0）， ∴1+b+c＝0， 即c＝﹣b﹣1， 当b＝2时，
y＝x﹣2x﹣3＝（x﹣1）﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x﹣bx﹣b﹣1， ∵点D（b，yD）在抛物线y＝x﹣bx﹣b﹣1上， ∴yD＝b﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1， 由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，
∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧， 如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0）， ∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE， ∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，
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2
2
2
2
2
∴AD＝AE，
由已知AM＝AD，m＝5， ∴5﹣（﹣1）＝∴b＝3
（Ⅲ）∵点Q（b+，yQ）在抛物线y＝x﹣bx﹣b﹣1上， ∴yQ＝（b+）﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，
可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧， ∵
AM+2QM＝2（
AM+QM），
2
2
（b+1），
﹣1；
∴可取点N（0，1），
如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M， 由∠GAM＝45°，得则此时点M满足题意，
过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0）， 在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°， ∴QH＝MH，QM＝∵点M（m，0），
∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m， 解得，m＝﹣， ∵∴
AM+2QM＝
，
[（b+）﹣（﹣）]＝
，
MH， AM＝GM，
[（﹣）﹣（﹣1）]+2
∴b＝4．
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【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题关键是能够根据给定参数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解．
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