2018-2019全国高中数学联赛模拟试题(3)

2018-2019全国高中数学联赛模拟试题(3)

2018-2019 参考答案

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、已知n、s是整数．若不论n是什么整数，方程x28nx+7s=0没有整数解，则所有这

样的数s的集合是

（A）奇数集 （C）偶数集

（B）所有形如6k+1的数集 （D）所有形如4k+3的数集

2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4

辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是 （A）16966 （B）16975 （C）16984 （D）17009

3、非常数数列{ai}满足ai21aiai1ai20，且ai1ai1，i=0,1,2,…,n．对于给

定的自然数n，a1=an+1=1，则（A）2

ai0n1i等于 （C）1

（D）0

（B）1

2

24、已知、是方程ax+bx+c=0（a、b、c为实数）的两根，且是虚数，是实

数，则的值是

k15985k（A）1 （B）2

2

2（C）0

2

2 （D）3i

221b1c1a1c1a1b，则A的

5、已知a+b+c=abc，Abcacab值是

（A）3

（B）3

（C）4

n （D）4

6、对xi∈{1,2,…,n}，i=1,2,…,n，有xii1nn1，x1x2…xn=n！，使x1,x2,…,xn，2

（D）9

一定是1,2,…,n的一个排列的最大数n是 （A）4 （B）6 （C）8

二、填空题：（每小题9分，共54分）

1、设点P是凸多边形A1A2…An内一点，点P到直线A1A2的距离为h1，到直线A2A3的距

离为h2，…，到直线An-1An的距离为hn-1，到直线AnA1的距离为hn．若存在点P使

aa1a2n（ai=AiAi+1，i=1,2,…,n1，an=AnA1）取得最小值，则此凸多边h1h2hn形一定符合条件 ．

2、已知a为自然数，存在一个以a为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小

于1的不同正根．那么，a的最小值是 ．

a22asin23、已知Fa,2，a、∈R，a≠0．那么，对于任意的a、，F(a,)

a2acos2的最大值和最小值分别是 ．

4、已知t＞0，关于x的方程为xtx22，则这个方程有相异实根的个数情

况是 ．

5、已知集合{1,2,3,…,3n1,3n}，可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z}，其中

x+y=3z，则满足上述要求的两个最小的正整数n是 ．

6、任给一个自然数k，一定存在整数n，使得xn+x+1被xk+x+1整除，则这样的有序实

数对(n,k)是（对于给定的k） ．

三、（20分）

过正方体的某条对角线的截面面积为S，试求

S最大S最小之值．

四、（20分）

数列{an}定义如下：a1=3，an=3

an1（n≥2）．试求an（n≥2）的末位数．

五、（20分）

+

已知a、b、c∈R，且a+b+c=1．

第二试

一、（50分）

已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．

二、（50分）

M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．

三、（50分）

32

实系数多项式f(x)=x+ax+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．

证明：

13222

≤a+b+c+4abc＜1． 27

参考答案 第一试

一、选择题： 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 C 5 C 6 C

二、填空题： 1、该凸多边形存在内切圆； 三、

3、23，23； 5、5，8；

2、5； 4、9；

6、(k,k)或(3m+2,2)（m∈N+）．

23． 3

四、7．

五、证略．

第二试

一、证略；

二、证略．

三、 有．