2019年兰州市高三诊断考试答案与评分标准文科数学
一、选择题1.B2.C3.B
7.A8.A9.C10.D11.C12.A
11.解答:根据题意,动点Q在以F1为圆心,2a为半径的圆上,PQ的最小值为ac,
PQ的最大值为ac,可知a5,c4,故选C.4.D5.D6.B
12.解答:可知f(x)x2ln(x1)为R上的偶函数,且在0,上为增函数,故原问题等价于ax23对x1,2恒成立,即a2对x1,2恒成立.xmin3a333,即a,故选A.444二、填空题13.314.大15.4316.112a11111'16.解答:易知f(x)x0,f(1)0,f(ea)1ea0,x24424故,函数f(x)在定义域上单调递减,在区间(0,)(e,1)上有唯一零点.1a三、解答题(一)必考题(1)由正弦定理可得:5sinBsinAcosC5sinCsinAcosB3sinA17.解:sinA05sinBcosC5sinCcosB3即sin(BC)35BCπAcosA45sinA35……6分πA(0,)2(2)a2b2c22bccosA(bc)22bc(1cosA)又bc10,a10bc25bc5
……12分18.解:(1)以200人中“热烈参与者”的频率作为概率,则该市“热烈参与者”的人数约1
为:200004000……4分5
(2)热烈参与者非热烈参与者合计35105140男55560女40160200合计……10分200(35551055)2
k7.2926.635
4016014060
2
故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关。……12分19.解:(1)由条件可知,此曲线是焦点为F的抛物线,p1
,p122
抛物线的方程为y22x
(2)根据已知,直线AB的方程为yk(x1)……4分(k0)yk(x1)由可得ky22y2k02y2x22y12y2设A(,y1),B(,y2),则y1y2,y1y22k22……8分k1y1212y12y1y22y2,k,222y2y122y22122422222y14y2y2y18y1y24(y1y2)224y1y22222222)2(y22)2(y12)2y2(y22)2y111(y1222222k1k24y14y24y1y228(y12y2)32(y1y2)22y1y241624822k242k20.解答:1122242k1k2k……12分(1)证明:BD2AB2AD22ABADcosBAD4BD2BDCDABD90面PCD面ABCD,面PCD面ABCD=CD
BDPCBD面PCD
PCD为正三角形,E为PC中点PC面BDEBEPC(2)解:作PFCD,EGCD,F、G为垂足面PCD面ABCD
PF面ABCD,EG面ABCD
DEPC
……6分PCD为正三角形,CD23PF3,EG
32
113
V棱锥EBCD2233322
……12分1
V棱锥PABCD2233433
多面体PABED的体积V4333321.解:(1)当a1时,f(x)13xx2x3f(x)x22x1(x1)20(,).函数在R内为增函数,单调递增区间为……4分2222(2)f(x)x(aa2)xa(a2)(xa)[x(a2)]①当a1或a2时,aa2,f(x)0恒成立,函数为增函数,无极值;2……5分②当a1或a2时,aa2可得当x(,a2)时,f(x)0,函数为增函数;当x(a2,a)时,f(x)0,函数为减函数;当x(a,)时,f(x)0,函数为增函数.222当xa2时,函数有极大值f(a2);当xa2时,函数有极小值f(a2)③当1a2时,aa2可得当x(,a)时,f(x)0,函数为增函数;当x(a,a2)时,f(x)0,函数为减函数;当x(a2,)时,f(x)0,函数为增函数.222当xa2时,函数有极小值f(a2);当xa2时,函数有极大值f(a2)
……12分(二)选考题
(1)4(ρ24)sin2θ(16ρ2)cos2θ22.解:4ρ2sin2θ16sin2θ16cos2θρ2cos2θρ2cos2θ4ρ2sin2θ16cos2θ16sin2θ
x4y16
2
2
x2y2即1164
x4cosφ
(φ为参数)y2sinφ
……5分(2)由于曲线E的参数方程为
故可设P(4cosφ,2sinφ),则M(2cosφ,sinφ)直线l的一般方程为:x2y320
……7分π22cos(φ)322cosφ2sinφ324则点M到直线l的距离d55点M到直线l的距离的最大值为10……12分10(1)a0,b0,ab423.解:111111ba()(ab)(2)1(当且仅当ab2时“=”成立)ab4ab4ab……5分11对任意的实数x恒成立ab11则xmx2()min对任意的实数x恒成立ab(2)若xmx2即xmx21对任意的实数x恒成立……7分xmx2(xm)(x2)m2m213m1……12分
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