第２Ｏ卷第６期 ２０１７年１１月 高等数学研究 Ｖｏ１．２Ｏ，Ｎｏ．６ ＮＯＶ．。２０１７ ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８—１３９９．２０１７．０６．００４ ２０１７年考研数学典型试题分析 王 捷 （商丘学院河南商丘４７６０００） 摘 要 本文将通过对２０１７年考研数学部分典型试题的分析，以提醒考生能够迅速地从难题中找到成功的台阶， 从容易题中看到它潜在的内涵，从而能练就一套应对试题各种变化的能力． 关键词 考研数学，辅助函数，对角化，概率密度，正交矩阵，数理统计 中图分类号０１７５．１４ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１７）０６—０００９—０４ Ｏｎ Ｓｏｍｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ ２０１７ Ｇｒａｄｕａｔｅ Ｔｅｓｔ ＷＡＮＧ Ｊｉｅ （Ｓｈａｎｇｑｉｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｑｉｕ，Ｈｅｎａｎ，４７６０００，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｓｏｍｅ ｔｙｐｉｃａｌ ｍａｔｈ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ２０ １ ７ ｇｒａｄｕａｔｅ ｔｅｓｔ ａｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｈｅｌｐ ｅｘａｍｉｎｅｅｓ ａＣ— ｑｕｉｒｅ ｓｏｍｅ ｓｋｉｌｌｓ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｎｏｔａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｅａｓｉｅｒ ｐｒｏｂｌｅｍｓ，ａｎｄ ｉｍ— ｐｒｏｖｅ ｔｈｅｉｒ ｏｗｎ ａｂｉｌｉｔｉｅｓ ｔｏ ｃｏｐｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｍａｔｈ ｔｅｓｔ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｄｉａｇｏｎａｌｉｚａｔｉｏｎ，ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｅｎｓｉｔｙ，ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｍａｔｒｉｘ，ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ２０１７年考研已经结束，就考研数学而言，与 ２０１６年相比，难度降低的幅度较大，这无疑将会对 参加２０１８年考研的考生产生较大的思想压力．这是 因为，２０１５年的考研数学相对比较容易，而２０１６年 的考研数学的难度就很大，按最近几年的这种规 （ｃ）１厂（１）ｌ＞ｌ （一１）ｌ （Ｄ）Ｉ （１）ｌ＜ｌ厂（一１）１ 律，２０１８年的考研数学对考生来说，将要面对一场 硬仗．然而，仅以试题的难易来应对考研并不能参 透考研试题的内涵，其实，历届考研试数学题都有 着一个本质的共性，那就是基础性强、概念性强、综 合性强．只要抓住考研数学试题的这些特点，就能 在复习准备过程中做到方向明确，方法得当，能举 一Ｆ （ｚ）：厂（ ）厂 （ｚ），于是有 反三，由表及里，从难题中看到它隐蔽的一面，从 ）：．『 （蒯ｚ一』 （ｚ）一 ， 容易题中看到它潜在的内涵，在此基础上，依靠自 身对各知识点的熟悉程度和计算过程的熟练程度， 准确地抓住问题的关键，快速找到解决问题的途 径，尽可能地少走或不走弯路． 下面我们从２０１７年考研数学中选取部分典型 试题进行一些分析，以便从中体会考研试题的特点． 收稿日期：２０１７—０１—１７ 修改日期：２０１７一Ｏ６一Ｏ１ 设有矩阵 一［Ｉｌ ２０ ２。０ ；１ ］Ｉｌ ， Ｂ一［Ｉ ２０ ０］２０；１ １Ｉ ， 设有矩阵Ａ一作者简介：王捷，（１９５２一），男，汉族，山西大同人，商丘学院，副教授 ｆ１ ０ ｏ１ 【０ ０ ２ ｊ １Ｏ 高等数学研究 ２０１７年¨月 （Ａ）Ａ与Ｃ相似，Ｂ与Ｃ相似 （Ｂ）Ａ与Ｃ相似，Ｂ与ｃ不相似 快捷． 例４ 数一试题１８（本题１０分） 设函数厂（ｚ）在区间［０，１］上具有二阶导数，且 厂（１）＞０，ｌｉｍ 一０十 Ｚ （Ｃ）Ａ与ｃ不相似，毋与ｃ相似 （Ｄ）Ａ与Ｃ不相似，曰与Ｃ不相似 分析 这也是一道典型的基础题．Ａ，Ｂ均与ｃ ＜０，证明 有相同的特征值，但由于Ａ， 不是实对称矩阵，“有 相同的特征值”仅是一个必要条件，还需要看充分 （工）方程厂（ ）一０在区间（０，１）上至少存在一 个实根； 条件．也就是要看Ａ与Ｂ谁能有三个线性无关的特 征向量，即Ａ与Ｂ谁能对角化．此时，只需看Ａ与Ｂ 对于 一２这个二重特征值，谁能有两个线性无关的 特征向量，即Ａ一２Ｅ和＇Ｂ一２Ｅ谁的秩能等于１，谁对 应的矩阵就能和矩阵Ｃ相似．抓住问题的关键，将Ａ 与 主对角线上的２变为０，立即看出，矩阵Ａ可对 角化，Ｂ不能对角化，故正确的选项为（Ｂ）． 对于这类题，只要概念清楚，思路明确，考场上 即可“秒杀”． 例３ 数一试题１４（本题４分） 设随机变量Ｘ的分布函数为 Ｆ（Ｉｚ）一０．５ （ ）＋ｏ．５ （ ）其中， （ｚ）为 标准正态分布函数，则ＥＸ一 ． 这道题与２００９年的一道选择题几乎一模一样， 虽然算不上一道难题，但其涉及的基本概念和基础 知识点较多，体现了考研数学对考生综合能力的考 查，下面我们通过两种方法的求解过程来加以体会． 解１ 直接用定义法求ＥＸ．随机变量ｘ的密度 函数为 厂（ ）一Ｆ （ ）一０．５ （ｚ）＋ （ ） 一０．５ ）＋ １ （ ） ｒ ∞ ＥＸ—ｆ （Ｉｚ）ｄｚ ＝＝＝＝＝＝．Ｉ邓（０．５ 邓（Ｊ。。 ） ＋丢 ｄ ＋寺ＩＪ一 （ ） ｄ 一０＋÷ｌ （２￡＋４） （ ）ｄｔ —ｆ （￡）ｄｔ＋２ ｌ （ ）ｄ 一２ 解２ 由Ｆ（ｚ）一０．５ （ｚ）＋０．５ （ ）可 知， （ｚ）对应的期望ＥｌＸ一０， （ ）对应的期望 ＥＸ一４，于是可立即得到 ＥＸ一０．５×０＋０．５×４—２． 可见，用解法２做这样的选择题，既方便，又 （１Ｉ）方程＿厂（．ｚ） （ ）＋Ｉｆ （ ）］。一０在区间 （０，１）上至少存在两个不同的实根． 分析 本题是一道综合性、概念性较强的试 题，它涉及了函数的极限与连续及导数的定义，函 数极限的局部保号性，中值定理等众多知识点．这 些知识点历来是考研高等数学的重点和难点． 一般地，这类题目的第（Ｉ）问是解第（ＩＩ）问的 一个台阶，解第（Ⅱ）问需要用到第（Ｉ）问的结论． 解 （Ｉ）已知．厂（１）＞０，若能在［０，１］内找到 点Ｃ，使得．厂（ｃ）＜０，问题就迎刃而解了． 因ｌｉｍ ＜０，故由极限的局部保号性可知， —Ｏ＋，２２ 存在 一０的右邻域（０， ）（＝＝（０，１），在该邻域内，使 得 ＜ｏ，于是存在点 ∈（ｏ， ），满足 ＜０， ．３２ Ｃ 即ｆ（ｃ）＜０，由零点定理知存在 ∈（ｃ，１），使得 －厂（ ）一０． （Ⅱ）这类试题有两个难点，一是辅助函数的设 法，二是要找到三个使辅助函数的值相等的点．设 辅助函数的方法就是要看给定的方程左端是谁的 导数，谁就是所要找的辅助函数，本质上是给方程 的左端找一个原函数．为此，可设 Ｆ（ ）一厂（ ）／ （ｚ）， 则有Ｆ （ ）一－厂（ｚ）厂（ ）＋Ｉｆ （ｚ）］ ．如果这个辅 助函数看不出来，可仿照例１的办法，令 Ｆ（ｚ）一｝－厂（Ｉｚ） （ｚ）ｄｚ＋ｌ Ｉｆ （ｚ）］ ｄ Ｊ Ｊ 一｛，（Ｉｚ）ａｆ （ ）＋Ｉ ｆ （ｚ）ｄ－厂（ ） 一 （ ）／（ ）一ｌ／（ｚ）ｄｌ，’（ ）＋Ｉ （ｚ）ｄｆ（ ） ＝＝＝ （ｚ）－厂 （ｚ） 显然，用这种方法来找辅助函数涉及到了很基 础的知识点． 下面设法来找Ｆ（ ）的三个函数值相同的点．考 虑到（Ｉ）中已有一个＿厂（ ）：＝＝０，可使Ｆ（ ）一０，只要再 找到两个Ｆ（ｚ）的零点，就可用三个零点将（０，１）划分 为两个子区间，在两个子区间上应用罗尔定理，问 第２Ｏ卷第６期 王 捷：２０１７年考研数学典型试题分析 １１ 由１ｉｍ 存在，知ｌｉｍ厂（ｚ）一０．又厂（ｚ）在 使得ｆ （７／）一０．于是有Ｆ（０）一ｆ（Ｏ）ｆ （０）＝＝＝０， Ｆ（ ）：＝＝ｆ（ｒ１）ｆ （ ）一０，Ｆ（ ）一厂（ ）厂 （ ）一０．由 Ｆ （ｒ２）一ｆ（ｒ ）厂（ｒ２）＋Ｉｆ （ｒ２）］ 一０ ｆ ２ １ １ 【一４ １ 。Ｊ 特征值，Ａ与对角矩阵Ａ—ｌ ｆ ］Ｉ 相似，ＩＡＩ一 【 ｏ Ｊ ｆ ２ １ —４ ｆ ｌ Ａ ｌ—ｏ，故可由Ｉ Ａ Ｉ—ｌ』 １ ～１ １ Ｉ一０，解得 ４ １ Ｊ Ａ一。Ｅ—Ａ一［ ４‘ ４］ ｆ ＿１ ４］，经行变换得（ ；二 ］， ｃ ，２， ｆ兰 ］一ｚ ＋２ ｚ＋ｚ。一。， 一 妲 Ｑ一 一 。 １ １ １ 由于本题的这种解法并未求出Ａ的另外两个特 征值 ， ，故不能写出二次型标准形的具体形式． 若本题增加“写出二次型具体的标准形”的要求，则 只能按照通常做法的四个步骤完成计算． 例６ 数一、数三试题２３（本题ｌ１分） 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对 一物体的质量做了，ｚ次测量，该物体的质量 是已 知的．设 次测量的结果 ，．ｚ。，…， 相互独立，且 均服从正态分布Ｎ（ ， 。），该工程师记录的是 次 测量的绝对误差ｚ 一ｌ ｚ 一 Ｉ，（ｉ一１，２，…，ｎ），利 用ｚ１，ｚ２，…，ｚ 估计口． （工）求ｚ 的概率密度； （１Ｉ）利用一阶矩求ｄ的估计量； （Ｉ１１）求 的最大似然估计量． 分析 本题的类型是考研数学第２３题的高频 试题，在往届试题中，题目的内容及解题过程都比 较固定，而本届的这道题有两个特点，一是试题内 容与实践的结合，体现了数理统计在数据测量方面 的应用，二是要求用样本函数（不是样本本身）来估 计总体的未知参数 ，并要求利用一阶矩求 的估计 量，这与我们通常只能用二阶中心矩来估计 思维 １２ 高等数学研究 ２０１７年１１月 定势是不一致的．考生遇到这类问题不要犹豫，先 “走进去”再说． 要对未知参数 进行估计，首先需要知道样本 函数 的分布，题目第（Ｉ）问自然是个台阶． 数的一阶矩一 一 一一去，解出 耋 ｅ 解 （Ｉ）用分布函数法求ｚ 的概率密度．由于 Ｓ０ ～Ｎ（ ０．２），Ｘｉ－－ ～Ｎ（０，１），（在以下的计算 （Ⅲ）为方便起见，可先求 。的最大似然估计 量．似然函数为 中，为简便起见，均将变量的角标略去） 当２＜０时，Ｆｚ（ ）一０．当 ≥０时，有 。）一】ｊ［ｉ＝１ ２ ｅ寺 取对数 Ｆｚ（ｚ）一ｖ｛ｚ≤ ）一Ｐ｛Ｊ ｚ一 Ｊ≤ ｝ ｛ ｌＩ≤ ）＝２￣（－ｚ）－ ＿１． 从而有 ｉｎＬ（ａ２）一 ｎ２一号ｌｎ（２耐 一 ｚ 令 笋 一一 ＋ ∑。２ ｎ 一０，解出 Ａ２一 ∑ｎ ’ｎ ， Ｆｚ（ ）一 Ｊ ２０（ ）一ｌ ≥０ ， ｌ０ ＜０ 得 一√ 骞 ． 通过以上对２０１７年考研数学部分典型试题的分 其中， （＿兰．）是标准正态分布的分布函数．于是 ｃ ，一 析，读者应当注意到我们在解题过程中所用到的某些 方法与当前网上的一些知名考研辅导机构的解题方法 ｚ≥。 不尽相同，有兴趣的读者不妨打开浏览器键入“２０１７考 研高等数学解析”搜索一下，然后通过比较分析和思 考，看我们是如何实现“殊途同归”的．事实上，历年的 考研试题都值得考生从不同的侧面进行反复地演练， 不同的方法涉及的知识点不尽相同，只有这样，才能练 ｌ０ ｚ＜０ ｆ ＝＝＿。 一 ≥０ ’ ＜。其中， （三）是标准正态分布的分布密度． 就一套应对试题各种变化的能力． 参考文献 （Ⅱ）总体的一阶矩Ｅ（Ｚ）中是否含有未知参数 ，我们先“走进去”再看． Ｅｌｉ 同济大学应用数学系．高等数学Ｉ－Ｍ］．６版．北京：高等教育 出版社，２００７． Ｅ（ｚ）一ｆ３ 扣ｚ （三）ｄｚ一２口ｆ （羔）ｄ ｚ ０ ｏ Ｉ ｄ ｊ ０ ｏ ｏ ｏ ［２］张宇．高等数学１８讲［Ｍ］．北京：北京理工大学出版 社，２０１６． — 一去 去 ￣／２丌Ｊ ０ 鲁一去．ｚ ￣／２７ｃ 一［３］李永乐．线性代数辅导讲义［Ⅳ【］．西安：西安交通大学出版 社，２０１６． ［４］王式安．概率论与数理统计辅导讲义［Ⅳ【］．西安：西安交通 大学出版社，２０１６． ●０●ｏ●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜）●＜＞．（、． ＜＞●＜＞●＜＞●＜＞… …（＞‘ｃ）・ 可见，Ｅ（Ｚ）中确实含有未知参数 ．于是，令样本函 ㈣ ㈣（＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞ ０●ｏ●ｏ●ｏ●（＞●＜＞●＜＞●＜＞‘＜＞●＜＞●＜＞．（）．ｏ勘误＊）作者更正２０１７年第四期干丹岩的《从怪异７维球面到怪异４维欧氏空间》中： １．Ｐ５第１行中的“１９５４一”应为“１９５１一” ２．Ｐ５第２４行中的“ 。”应为“ ” ３．Ｐ６中参考文献［２７］和［３１］中的“Ｇｏｍｐｆ，Ｄ．”应为“Ｇｏｍｐｆ，Ｒ” ＊＊）作者更正２０１７年第五期第４页例题３．５中： “ ａｎ一１’’应为“ ａｎ一０’， 。。 ！ ”÷ｏ。 ！