无界弦振动的研究.

马玉荣

摘 要 用行波法、积分变换法（傅里叶变换法、拉普拉斯变换法）、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。计算和分析表明：对于无界弦的自由振动问题，行波法和傅里叶变换法比较简便，这是常用的求解方法。对于无界弦受迫振动问题，利用叠加原理应用行波法和齐次化原理求解最简便。行波法对于求解无界弦振动问题有其特殊的优点，即，行波法已求出无界弦自由振动问题的达朗贝尔公式，无界弦受迫振动问题的公式，这些公式是通用的，只要把具体问题中初始条件的函数带入计算即可。

关键词 无界弦 行波法 傅里叶变换法 拉普拉斯变换法 分离变量法 格林函数法

一、引言

物理上及工程技术上常需要研究各种各样的振动问题，如弦的振动，杆的振动、膜的振动、体的振动等。弦的振动又有无界弦的振动、有界弦的振动。其中，研究无界弦的振动问题受到了人们的重视。

通过众多学者的努力，对无界弦振动问题的研究方法越来越多

[3]

[4]

[2-6]

[1]

。比如在运用特征线方法的基

础上利用线积分予以求解；有学者用分离变量法求解，将分离变量形式的解代入泛定方程求出泛定方程的特解，再将所有可能的特解线性组合为通解，最后将初始条件代入通解计算各项系数，最后得出定解。分离变量法本来适用于有界问题，作者这里用它求解无界问题，开拓了求解无界弦振动问题的新思路。还有用傅里叶变换法、行波法等求解无界弦振动问题。本篇文章将用行波法、傅里叶变换法、拉普拉斯变换法、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。通过比较，找出计算比较简便的方法和最佳方法，并且运用Matlab软件模拟出无界弦自由振动的几个图形，方便大家理解弦的自由振动。

[5]

[6]

二、无界弦的振动问题

无界弦的振动问题包括无界弦的自由振动和受迫振动。两种问题的方程分别为(I)和(II)它们都由泛定方程和初始条件构成。无界弦自由振动的泛定方程为(I)中的(1)式，受迫振动的泛定方程为(II)中的(1)式，两者的初始条件为(2)式和(3)式。其中utt是弦的横向加速度；uxx是u关于x的二阶导，质点间的牵连体现在uxx上；a是振动在弦上的传播速度，错误！未找到引用源。是t时刻

1

[1]

[1]

作用于x处单位质量上的横向外力，错误！未找到引用源。是初始位移，ut(x,0)是初始速度，错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。是任意函数，由具体题目给定。

utta2uxx0(I) u(x,0)(x)u(x,0)(x)tutta2uxxf(x,t)(2) (II) u(x,0)(x)u(x,0)(x)(3)t(1)(1)(2) (3)

1、无界弦的自由振动问题

这是一种最简单的情况：一根无限长的均质柔软轻弦在初始条件作用下所引起的自由横向振动在弦中传播的情况。其定解问题为(I)。 （1）行波法

[6]

错误！未找到引用源。式，从而求其通解。②用定解条件确定通解中的任意函数（或常数），从而求得其特解。

utta2uxx0 u(x,0)(x)u(x,0)(x)t(1)(2) (3) 泛定方程(1)的通解是

u(x,t)f1(xat)f2(xat)(4)

其中f1和f2是是两个任意函数，其形式可由初始条件确定。将(4)式代入(2)式和(3)，有：

u(x,0)f1(x)f2(x)(x)ut(x,0)af1'(x)af2'(x)(x)即 f1(x)f2(x)

1x()dc 0a11xc11xc()df(x)(x)()d则f1(x)(x) 20022a222a211xatc()d则f1(xat)(xat)

22a0211xatc()d f2(xat)(xat)

22a02所以，由(4)式得：

11xatu(x,t)[(xat)(xat)]()d （5）

22axat由于大多数偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事，故行波法有很大的局限性，但对于研究波动问题，有其特殊优点。

2

7sinx例：现取初始位移(x)l0(3l4lx)77，初始速度(x)0，由达朗贝尔公式得

(其余)177u(x,t)[sin(xat)sin(xat)]，用matlab作出图像如图1：

2ll

0.050.040.030.020.010-0.01-0.02-0.03-0.04-0.0500.10.20.30.40.50.60.70.80.91 图1 初位移不为0初速度为0的达朗贝尔公式的图形

现取初始位移(x)0，初速度为(x)

10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-10-8-6-41(0x1)，用matlab作图如下： (其余)0-20246810 图2初位移为0，初速度不为0的达朗贝尔公式的图形

我们把图2分解为图3和图4，图3为开始时(xat)的波形，图4为开始时(xat)的波形。

0.50.1u 0 00.4-0.10.3-0.20.2-0.30.1-0.4-0.5-0.1-10 -8-6-4-20246810 图3 图4

3

-10-8-6-4-20246810 （2）、傅里叶变换法

Fourier变换法是积分变换法的一种。用积分变换法求解数理方程大体分为如下三步： ①对方程和定解条件中的各项取变换，得到像函数的常微分方程的定解问题或代数方程。 ②求解常微分方程的定解问题或代数方程，得到像函数。 ③求像函数的逆，即得到原定解问题的解。

[1][6]

utta2uxx0 u(x,0)(x)u(x,0)(x)t(1)(2) (3)上面定解问题，视t为参数，对式(1)(2)(3)进行傅里叶变换，并记

~(x,t)F[u(x,t)]u原方程组变为：

~()F[(x)]~() F[(x)]~a2u~0uttxx~~u(,0)()~()~(,0)ut(4)(5)

(6)~(,t)A()eiatB()eiat (7) (4)式的通解为u~()A()B()将(6)、(7)代入(8)式，有~() iaA()iaB()解之，得

1~11~1~11~A()()() B()()()

22ai22ai~()11~()]eiat[1~()11~()]eiat ~(,t)[1所以，u22ai22ai~(,t)]， 而u(x,t)F[u1用延迟定理和积分定理求原函数，得

11xatu(x,t)[(xat)(xat)]()d (8) xat22a同行波法相比较，用傅里叶变换法的思路很清晰，对于求解无界弦的自由振动问题比较简便。

（3）、拉普拉斯变换法

[1]

如同Fourier变换法一样，Laplace变换法也可以用来求常微分方程、积分方程和偏微分方程的各类定解问题，特别适用于求解常微分方程的初值问题。而且，无论方程是何种类型（齐次还是非齐次，常微分方程还是偏微分方程），其求解步骤是一样的。

4

utta2uxx0u(x,0)(x)u(x,0)(x)t(1)(2) (3)对上面定解问题，对泛定方程施行拉普拉斯变换，初始条件运用二阶导数定理也一并进行变换的结果是p2upa2uxx0 (4)

这个非齐次常微分方程的通解是： u(x,p)Aepx/aBepx/a1px/aep/a1px/aep/ae[()p()]de(x)p[()p()]d (x)2ap2au不应为无限大，积分常数A定为0； 考虑到limxu 也不应为无限大，积分常数B也定为0。 考虑到xlim为了保证积分收敛，第一个积分的下限取为∞，第二个积分的下限取为-∞。这样，

1xep(x)/a1xep(x)/au(x,t)[()p()]d[()p()]d 2ap2app(x)/ap(x)/ap(x)/axeexe1ep(x)/a[()d()dp()dp()d]x2axpppp

第二个[]跟第一个[]相比较，()代替了()并且多了一个因子p。因此，先对第一个[]进行反演，得到原函数之后，将换成，并对t求导就得到第二个[]的原函数。 运用延迟定理于

1≒H(t) pep(x)/ax1≒H(t)pa0(xat)

(xat)

1xat1ep(x)/a()d于是，≒()dxx2a2ap1x1xep(x)/a同理，()d≒xat()d

2a2ap这样，完成反演

1xat1xat()d[()d] xat2at2axat1xat1()d[(xat)(xat)] (5) 2axat2u(x,t)通过比较发现，Laplace变换法求解无界弦振动问题时，解方程和反演变换积分很多，计算量很大，所以求解这类问题，拉普拉斯变换法不常用。

5

（4）、格林函数法

[1]

所谓格林函数，即是点源产生的场。Green函数法就是将定解问题的解表示成含有其相应的Green函数的积分表达式，通过算积分而求得相应原定解问题的解。

用格林函数法求解数理方程的定解问题其关键问题是如何求得各定解问题的Green函数问题。

utta2uxx0u(x,0)(x)u(x,0)(x)t(1)(2) (3)上面方程的基本解满足下列定解问题

22G2G2a2tx （4） G(x,0;,0)0Gt(x,0;,0)(x)其中函数(x)定义为：

(x)0(x0)(x0)

用傅里叶变换方法求得问题(4)的解为：

1G(x,t;,0)2a0(xat)(xat) (5)

于是，得到原方程组的解为：

()G(x,t;,0)d()G(x,t;,0)d t11xat()d (6) [(xat)(xat)]xat22au(x,t)用格林函数法求解，不仅要把原定解问题转化为相应格林函数的定解问题，还要用到傅里叶变换法求解格林函数问题的解，最后求积分转化回原问题的解，步骤和计算都很繁琐。所以，这种方法不常用。

（5）、分离变量法

[4]

分离变量法应用很广，一般用于求解有界的且具有齐次边界条件得问题，很少用此方法求解无限长的弦振动问题，现尝试用此方法求解。

6

utta2uxx0对于无界弦的自由振动问题 u(x,0)(x)u(x,0)(x)t(1)(2) (3)将分离变量形式解错误！未找到引用源。代入(1)式，得：

TX(x) (4) 2 (为任意实常数) 2aT(t)X(x)故有:

X(x)C1sin(x)C2cos(x) (5) T(t)D1sin(at)D2cos(at)其中C1、C2、D1、D2都是积分常数。由X(x)表达式可见，取正实数即可。于是(1)式有特解：

u[D1sin(at)D2cos(at)][C1sin(x)C2cos(x)] (6)

所有可能特解得线性组合得通解：

u(x,t)[A()sin(at)B()cos(at)]sin(x)d+

0

0[C()sin(at)D()cos(at)]cos(x)d (7)

由初始条件得：

(x)B()sin(x)dD()cos(x)d

00(x)aA()sin(x)daC()cos(x)d

00[1]

上式表示将函数(x)错误！未找到引用源。、(x)展开为傅里叶积分，其中

A()B()D()a11()sin()d

1()sin()d

()cos()d (8)

1将(8)式代入(6)式，得：

u(x,t)10[1()sin()dsin(at)()sin()dcos(at)]sin(x)d a0[1()cos()dsin(at)()cos()dcos(at)]cos(x)d (9) a利用三角函数积化和差公式，并将上式中一、三项合并，二、四项合并，得：

7

1u(x,t)()[sign(xat)sign(xat)]d

4a1 ()[(xat)(xat)]d (10)

2交换上式积分次序并考虑到

d0sin2sign0dcos() (11)

(10)式化为：

11xatu(x,t)[(xat)(xat)]()d (12) xat22a1注：sign01(0)(0)(0)是符号函数。

2、无界弦的受迫振动问题

无界弦受迫振动的数理方程模型是：

utta2uxxf(x,t)u(x,0)(x)u(x,0)(x)t(x,t0)(1)(2) (3)同样，可以用积分变换法、格林函数法进行求解，还可采用叠加原理（其中用到行波法和齐次化原理）进行求解。

（1）、叠加原理运用行波法和齐次化原理

运用叠加原理，先把无界弦的受迫振动分解为自由振动和纯强迫振动问题，对两个问题分别求解，最后把它们的解叠加即可。

utta2uxxf(x,t)原问题u(x,0)(x)u(x,0)(x)t可以分解为：

(x,t0)(1)(2) (3)utta2uxx0（I）u(x,0)(x) (II)

u(x,0)(x)t(I)的解已在前面求出，为：

utta2uxxf(x,t)u(x,0)0u(x,0)0t

11xatu1(x,t)[(xat)(xat)]()d (4)

22axat用冲量定理化(II)式为

8

utta2uxx0 u(x,t)0u(x,t)f(x,)t使u(x,t)(x,t;)d，令Tt，则定解问题化为：

0ttta2uxx0 (x,T0)0(x,T0)f(x,)T由达朗贝尔公式，得出：

(x,t;)所以，

1xatf(,)dxat (5) 2a1txa(t)u2(x,t)f(,)dd (6)

2a0xa(t)所以，采用叠加原理，有u(x,t)u1(x,t)u2(x,t)，从而得出受迫弦振动问题的解是：

11xat1txa(t)u(x,t)[(xat)(xat)]()df(,)dd (7)

22axat2a0xa(t)

（2）、傅里叶变换法

[5]

utta2uxxf(x,t)u(x,0)(x)u(x,0)(x)t(x,t0)(1)(2) (3)~(,t)，F[f(x,t)]f(,t) 记：F[u(x,t)]u~()， F[(x)]~() F[(x)]对于上面定解问题，关于变量x作傅里叶变换，得到下面的二阶线性非齐次常微分方程的定解问题：

~~(,t)a22u~(,t)~uf(,t)~~ (4) u(,t)t0()~()~(,t)ut0显然，相应于问题(4)的齐次方程的两个线性无关的解为：

~(,t)cosatu1~(,t)sinat u2计算得它们的朗斯基行列式为：

9

~(,t)u(t)~1u(,t)1~(,t)u2a ~u(,t)2引理：函数错误！未找到引用源。p(t)、q(t)是连续函数，则常微分方程定解问题：

y(t)p(t)y(t)q(t)y(t)f(t) (5) y(t)ay(t)bt0t0(5)式的解为：

y(t)1a(t0)bty()f()ty()f()y2(t0)1y1(t0)ay1(t)y2(t)y1(t)2dy2(t)1d (6)

tt00(t0)(t0)by2(t0)y1()()这里, 函数错误！未找到引用源。为相应于问题（5）的齐次方程的两个线性无关的特解, 而函数(t)为y1(t),y2(t)的朗斯基行列式。

由式（6）可得（4）式的解为：

~()cosat~()sinattf(,)sina(t)d (7) ~(x,t)u0aa利用卷积定理，有：

~(,t)](x)*F1[cosat](x)*F1[sinat]tf(x,)*F1[sina(t)]d u(x,t)F1[u0aa以下分别计算上式各项。由傅里叶逆变换的定义直接计算得：

1F1[cosat][(atx)(atx)]

2利用f1*f21f1(xt)f2(t)dtL(,)及Dirac函数(x)的性质有：

1(x)*F[cosat](){[(xat)][(xat)]}d

21 [(xat)(xat)]

2现在计算第二项。为此，先计算函数错误！未找到引用源。的傅里叶变换：

sinat1sinatit1sin(atx)sin(atx)]edd a2a20asin(atx)sin(atx)11sinat(x)*F[]()dd 0a2asin[(xat)]sin[(xat)]1()dd 02aaF1[为简便起见，记：

g(x,)sin[(xat)]sin[(xat)]0由Dirichlet积分：

0sinxdx，可得： x2d

10

当错误！未找到引用源。(,xat)(xat,)时，g(x,)当(xat,xat)时，g(x,)所以，(x)*F[类似的，有

1220

22

sinat1xat]()d xata2asina(t)1xa(t)f(x,)*F[]f(,)d

a2axa(t)1所以，问题（II）的解为

11xat1txa(t)u(x,t)[(xat)(xat)]()df(,)dd (8) xat0xa(t)22a2a

（3）、拉普拉斯变换法

utta2uxxf(x,t) u(x,0)(x)u(x,0)(x)t记：L[u(x,t)](x,t0)(1)(2) (3)00~~(x,p)，L[f(x,t)]f(x,t)eptdtFu(x,t)eptdtu(x,p) p2~1~~ uxx2u(x,p)2[p(x)(x)F(x,p)] (4)

aa这是一关于变量x的带有变量p的二阶线性非齐次常微分方程，由常数变异法，我们可求得其解为：

xx1ax1ax~~aau(x,p)AeBeee[p()()F(,p)]d

2appppp1ax1ax~ ee[p()()F(,p)]d (5)

2ap又原方程应带有有限性自然边界条件uxpp有限，

~(x,p)故其像函数自然也应满足ux有限，

代入(5)式，得AB0，于是，

1x1p(x)/a~~~(x,p)1x1ep(x)/a[p()()Fu(,p)]de[p()()F(,p)]d2ap2ap11[e2axpp(x)a1()depxp(x)a11()]d[e2axpp(x)ap(x)a1p()depxp(x)ap()d]

 1[1e2axpp(x)ax1~F(,p)dep~F(,p)d]

11

11 因为 L[epp(x)a1]0p(x)xat111，L[ea]xatp0xp(x)axatxat

xat 所以，L[1x1epp(x)a1()depx()d]()d (6)

xat 而 L{p[ 1x1epp(x)a1()depp(x)a()d]}

xat()da[(xat)(xat)] (7) xattp(x)ax1~F(,p)depp(x)atxa(t)~F(,p)]f(,)dd (8)

0xa(t)L[101ep 对错误！未找到引用源。的结果取逆变换后将(6)(7)(8)式一并代入得原定解问题的解，为：

11xat1txa(t)u(x,t)[(xat)(xat)]()df(,)dd (9) xat0xa(t)22a2a

（4）、格林函数法

utta2uxxf(x,t)u(x,0)(x)u(x,0)(x)t 将上面方程组化解为：

(x,t0)(1)(2) (3)utta2uxx0（I）u(x,0)(x)u(x,0)(x)tutta2uxxf(x,t) （II）u(x,0)0u(x,0)0t

对于（I）的解在无界弦的自由振动问题中已求出：

11xatu1(x,t)[(xat)(xat)]()d (4) xat22a222对于问题（II）已知算符2a的基本解为： 2tx1xa(t)xa(t)G0(x,t;,)2a

0xa(t),xa(t)而（II）的解为u2所以 u20tf(,)G0(x,t,,)dd

1txa(t)f(,)dd (5) 0xa(t)2a 12

uu1u2，所以，最后求得定解问题的解为：

11xat1txa(t)u(x,t)[(xat)(xat)]()df(,)dd (6)

22axat2a0xa(t)

三、结果与讨论

本文用行波法、傅里叶变换法、拉普拉斯变换法、分离变量法、格林函数法求解了无界弦的自由振动和受迫振动问题。无论用何种方法，均能得出：

无界弦的自由振动问题：

utta2uxx0u(x,0)(x)u(x,0)(x)t的通解为：

(1)(2) (3)11xatu(x,t)[(xat)(xat)]()d xat22a无界弦的受迫振动问题：

utta2uxxf(x,t)u(x,0)(x)u(x,0)(x)t的通解为：

(x,t0)(1)(2) (3)11xat1txa(t)u(x,t)[(xat)(xat)]()df(,)dd

22axat2a0xa(t)上述计算表明：对于无界弦的自由振动问题，采用行波法和傅里叶变换法求解比较简便；对于无界弦的受迫振动问题，采用叠加原理用行波法求解最简便。行波法对于求解弦振动问题有其突出的优点，即，行波法已求出无界弦自由振动问题的达朗贝尔公式，无界弦受迫振动问题的公式，这些公式是通用的，只要把具体问题中初始条件的函数带入计算即可。各类书籍和文献中很少用分离变量法、拉普拉斯变换法和格林函数法求解这两类问题，对此，本文给出了具体求解过程，以供参考。

参考文献：

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[2]李永平.关于一维无界空间中自由振动问题的讨论[J].河北师范大学学报( 自然科学版)1996年12月第20卷增刊123-124

[3]张日新.利用线积分求解无界弦振动方程[J].成都大学学报自然科学版 (1989.4.) 1-7 [4]周青春.无限长与半无限长弦振动的分离变量解法[J].(中国科技信息2009年第21期)4-5

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期 2010年4月86-90

[6]吴少平.数学物理方程的几种解法[J].高等函授学报（自然科学版）1999年第一期22-24

[7]Bao Zhu Guo and Jian Xin Wang.The Unbounded Energy Solution for Free Vibration of an Axially Moving String.[J] Journal of vibration and control, 2000, 6(5).651-665

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致 谢

我的毕业论文（设计）撰写工作自始至终都是在王莉老师全面、具体的指导下进行的。王莉老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益匪浅，终生难忘。王老师严谨的治学态度和对工作兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作。

感谢我的指导教师王莉对我的关心、指导和教诲！ 感谢我的学友和朋友们对我的关心和帮助！

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The unbounded string vibration research

Ma Yurong Directed by Prof. Li Wang professor assistant

Abstract: Use the traveling wave method, the integral transform method (the Fourier transform method and the Laplace transform method), the separation of variables method and the green function method to solve the unbounded string of free vibration and forced vibration problems. The calculation and analysis show that: for free vibration problem of the unbounded string, traveling wave method and Fourier transform method are straightforward, and they are the common method to solve these problem. To the problem of unbounded string forced vibration,the superposition principle with the traveling wave method and the homogeneous chemical principle is the most simple .The traveling wave method for solving unbounded string vibration problem has its special advantages. Namely, With the traveling wave method we have known the d'Alembert formula to solve the free vibration problem of the unbound string and the forced vibration problem of the unbounded string.The d'Alembert formula is universal, as long as the specific issues the function into the calculation of the initial conditions.

Key words: the unbounded string traveling wave method Fourier transform method Laplace transform method separation of variables method Green's function method

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