函数的恒成立问题

问题引入：

2例1 ：已知不等式x2ax10对x[1,2]恒成立，其中a0．求实数a的取值范围．

例2 ：若对任意xR,不等式|x|ax恒成立，则实数a的取值范围是________

不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：

⑴若不等式Afx在区间D上恒成立,则等价于在区间D上Afxminfx的下界大于A ⑵若不等式Bfx在区间D上恒成立,则等价于在区间D上Bfxmaxfx的上界小于B。 2、分离参数法

（1） 将参数与变量分离，即化为gfx（或gfx）恒成立的形式； （2） 求fx在xD上的最大（或最小）值； （3） 解不等式gfx3．转换成函数图象问题

⑴若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象上方；

⑵若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象下方。

例2：1、若函数f(x)

222、若关于x的不等式x9x3xkx在[1,5]上恒成立，则实数k的范围为 .

2max (或gfxmin) ，得的取值范围。

2x2axa1的定义域为R，则a的取值范围是 。

3、已知不等式x4x3a恒成立，则则a的取值范围是 。

4、设函数h(x)围

1

a11xb，对任意a[,2]，都有h(x)10在x[,1]恒成立，求实数b的取值范x24二、不等式有解问题的处理方法

若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上fxmaxA；

若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的fxminB. 1、已知不等式x4x3a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围。

2、若关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，则实数a的取值范围是

3、不等式kxk20有解，求k的取值范围。

4、①对一切实数x,不等式x3x2a恒成立，求实数a的范围。 ②若不等式x3x2a有解，求实数a的范围。 ③若方程x3x2a有解，求实数a的范围。

三、练习

21、若对于任意a1，不等式xa4x42a0恒成立，求实数x的取值范围 。

22、当x1,2时，不等式xmx40恒成立，则m的取值范围是 . 3、设函数y12xa4x，若函数在(,1]上有意义，求实数a的取值范围。

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