北京市西城区2021-2022高二数学上学期期末考试试题.doc

北京市西城区2021-2022高二数学上学期期末考试试题

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的.

x2y21．已知椭圆C:21(a0)的一个焦点为(2,0),则a的值为（ ）

4aA． 22 B．6 C．6 D．8 2．已知数列{an}满足a12，anan12(nN,n2)，则a3（ ）

A．5

B．6

C．7

D．8

3．已知命题p:x1,x21,则p为（ ）

A．x1,x21 C．x1,x21

4．已知a,bR,若ab,则（ ）

A．a2b

B．abb2

C．a2b2

D．a3b3

B．x1,x21 D．x1,x21

5．已知向量a(1,2,1),b(3,x,y),且a//b,那么|b|（ ）

A．36 B．6

C．9

D．18

6．已知直线a,b分别在两个不同的平面,内，则“直线a和直线b相交”是“平面和

平面相交”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 已知向量a(1,x,2)，b(0,1,2)，c(1,0,0)，若a,b,c共面，则x等于 （ ）

A. 1 B. 1 C.1 或1 D. 1 或0

8. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时，定义了一 个函数f(x)[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，比如[]=3. 根据以上定义，当 x31时，数列xf(x)，f(x)，x（ ）

A．是等差数列，也是等比数列 B．是等差数列，不是等比数列

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C．是等比数列，不是等差数列 D．不是等差数列，也不是等比数列

9．设有四个数的数列{an}，该数列前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，

其和为6. 则实数m的取值范围为（ ） A.m6 B. m3 C. m6 D. m2 210. 曲线C:x3y31.给出下列结论：

①曲线C关于原点对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1；

③曲线C只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）. 其中，所有正确结论的序号是（ ）

A. ①② B. ② C. ②③ D. ③

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

x2y211.设P是椭圆1上的点,P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离

259为__________. 12. 不等式

x0的解集为_________. x113. 能说明“若ab，则

11”为假命题的一组a、b值是a ，b . ab3x2y214．若双曲线221(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心

2ab率的值是__________.

15．某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用

4万元，从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.

若该渔船预计使用n年，其总花费（含购买费用）为________ 万元； 当n______时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）. 16. 若x1,x2,x3,,x9 表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：

（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；

（2）灯x1在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的i{xN|2x9}，要求灯xi

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的左边有且只有灯xi1是开灯状态时才可以对灯xi进行一次操作. ．．．．

如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯x4关闭最少需要 次操作；

如果除灯x6外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）

已知等比数列{an}的公比为2，且a3，a44，a5成等差数列. （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，且Sn62，求n的值.

18．（本小题满分13分）

已知函数f(x)x2ax，aR. （Ⅰ）若f(a)f(1)，求a的取值范围；

（Ⅱ）若f(x)4对xR恒成立，求a的取值范围； （Ⅲ）求关于x的不等式f(x)0的解集.

19．（本小题满分13分）

2x2y2已知椭圆C:221(ab0)的右焦点为F(1,0)，离心率为.

2ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点A为椭圆C的上顶点，点B在椭圆上且位于第一象限，且AFB90，求AFB的面积.

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20．（本小题满分14分）

如图，四棱锥PABCD中，AD平面ABP，BC//AD， PAB90.

PAAB2，AD3，BCm，E是PB的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥平面PBC； （Ⅱ）若二面角CAED的余弦值是3，求m的值； 3（Ⅲ）若m2，在线段AD上是否存在一点F，使得PF⊥CE. 若存在，确定F点的位

D 置；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知抛物线C:y22px(p0)，抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3. （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过(1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点A,B，交直线x4于点E，直线BF交直线x1于点D. 是否存在这样的直线l，使得DE//AF? 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程.

22．（本小题满分13分）

若无穷数列a1,a2,a3,满足：对任意两个正整数i,j(ji3)，ai1aj1aiaj与

P

A E B C

ai1aj1aiaj至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”.

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（Ⅰ）求证：若数列{an}为等差数列，则{an}为“和谐数列”；

（Ⅱ）求证：若数列{an}为“和谐数列”，则数列{an}从第3项起为等差数列；

（Ⅲ）若{an}是各项均为整数的“和谐数列”，满足a10，且存在pN*使得app， a1a2a3app，求p的所有可能值.

北京市西城区2021 — 2021度第一学期期末试卷

高二数学参考答案 2021.1

一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1. A 2. B 3.C 4. D 5. A 6. A 7. B 8. D 9. B 10. C 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

11.8 12. {x0x1} 13. 1,1（答案不唯一） 14.2 15.n23n100；10 16. 3；21 注：13、15、16题第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为{an}为公比为2的等比数列，

所以a3a1q24a1，a48a1，a516a1， ………………3分 依题意得 2(a44)a3a5， ………………5分 即2(8a14)4a116a1， ………………6分 整理得4a18， 解得a12.

………………7分

所以数列{an}的通项公式为an2n. ………………8分 1qn（Ⅱ）依题意 Sna1， ………………10分

1q

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12n22n12. ………………11分

12所以2n1262，整理得2n164， ………………12分 解得n5.

所以n的值是5. ………………13分

18．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由f(a)f(1)得a2a21a，

整理得2a2a10， ………………2分 1解得{a|a或a1}. ………………4分

2（Ⅱ）f(x)4对xR恒成立，则f(x)min4， ………………6分

a2所以4， ………………7分

4整理得a2160，

解得{a|4a4}. ………………8分 （Ⅲ）解x2ax0，得x10,x2a，

①当a0时，即a0时,x0或 xa； ………………10分 ②当a0时，即a0时,xa或 x0； ………………12分 ③当a0时，即a0时,x0 . ………………13分 综上，当a0时，不等式的解集为{x|x0或xa}；当a0时，不等式的解集为{x|xa或x0}；当a0时，不等式的解集为{x|x0}.

19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）依题意 c1，

c2， ………………2分 a2解得a2，ba2b21， ………………4分 x2所以椭圆C的方程为y21. ………………5分

2x02（Ⅱ）设点B(x0,y0)，因为点B在椭圆上，所以y021…①， ………………7分

2y因为AFB90，所以kFAkFB1，得01…②， ………………8分

x012由①②消去y0得，3x04x00，

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解得x00（舍），x04， ………………10分 3411代入方程②得y0，所以B(,)， ………………11分

333所以|BF|2，又|AF|2， ………………12分 31121所以AFB的面积SAFB=|AF||BF|2. ………………13分

2233

20. （本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为 AD平面PAB，BC//AD，

所以 BC平面PAB. ………………1分 又因为 AE平面PAB，所以 AEBC. ………………2分 在PAB中，PAAB，E是PB的中点，

所以 AEPB. ………………3分 又因为 BCPBB，所以 AE平面PBC. ………………4分

z D （Ⅱ）解：因为 AD平面PAB，

所以ADAB，ADPA. ………………5分 又因为 PAAB，

所以 如图建立空间直角坐标系Axyz. 则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,m)，E(1,1,0)， P(2,0,0)，D(0,0,3)，

C AC(0,2,m)，AE(1,1,0). ………6分

设平面AEC的法向量为n(x,y,z).

P nAC0,则 ………………7分x nAE0, 2ymz0,2即  令x1，则y1，z，

mxy0.A E y B 2于是n(1,1,). ………………8分

m因为AD平面PAB，所以ADPB. 又PBAE， 所以PB平面AED. 又因为PB(2,2,0)，

所以 取平面AED的法向量为m(1,1,0). ………………9分

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所以 cosn,mnm3， ………………10分

|n||m|3即|11|224m23，解得m21. 3又因为m0，所以m1. ………………11分 （Ⅲ）结论：不存在.理由如下：

证明：设F(0,0,t)(0t3). 当m2时，C(0,2,2).

PF(2,0,t)，CE(1,1,2). ………………12分

由PFCE知，PFCE0，22t0，t1.这与0t3矛盾. ………13分 所以，在线段AD上不存在点F，使得PFCE. ………………14分 21. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以1p3，解得p4， ………2分 2所以y28x， ………………3分 所以准线方程为x2. ………………4分 （Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1,y1),B(x2,y2).

y28x,联立得消去y得k2x2(2k28)xk20. ………………5分

yk(x1),

由(2k28)24k40，解得2k2. 所以2k2且k0.

82k2由韦达定理得x1x2，x1x21. ………………7分

k2方法一：

y2直线BF的方程为y(x2)，

x22又xD1，所以yD3y23y2，所以D(1,)， ………………8分 x22x22因为DE//AF，所以直线DE与直线AF的斜率相等. ………………9分

3k3y2x22y1. ………………10分

3x12又E(4,3k)，所以整理得k化简得1y1y2k(x11)k(x21)，即k， ………………11分 x12x22x12x22x11x212xx(x1x2)4，112x1x22(x1x2)4x12x22，即x1+x27. ………………12分

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82k28所以=7，整理得k2， ………………13分 29k2222解得k. 经检验，k符合题意.

33所以存在这样的直线l，直线l的方程为y方法二：

因为DE//AF，所以

2222(x1)或y(x1).………14分 33xxx2|BA||BF|，所以212. ………………10分 |BE||BD|x24x2182k2整理得x1x2(x1x2)8，即=7， ………………12分 2k8整理得k2. ………………13分

9解得k2222，经检验，k符合题意. 33所以存在这样的直线l，直线l的方程为y22.（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为数列{an}为等差数列，

2222(x1)或y(x1).………14分 33所以 对任意两个正整数i,j(ji3)，有 ai1aiajaj1d， ………………2分 所以 ai1aj1aiaj .

所以 数列{an}为“和谐数列”. ………………4分 （Ⅱ）证明：因为数列{an}为“和谐数列”，

所以 当i1,j4时，只能ai1aj1aiaj成立, ai1aj1aiaj不成立.

所以 a2a3a1a4，即a2a1a4a3. ………………6分 当i1，j5,6,7,8,9时，也只能ai1aj1aiaj成立，ai1aj1aiaj不成立.

所以 a2a4a1a5，a2a5a1a6,a2a6a1a7,即 a2a1a5a4a6a5a7a6 所以 a2a1a4a3a5a4a6a5，

. ………………7分

令a2a1d，则数列{an}满足anan1d(n4).

所以，数列{an}从第3项起为等差数列. ………………8分 （Ⅲ）解：①若p1，则apa11，与a10矛盾，不合题意.

②若p2，则a10，a22，但a1a222，不合题意. ………………9分 ③若p3，则a10，a33，由a1a2a33，得a26， 此时数列{an}为：0,6,3,3,9,④若p4，设a2a1d，

，符合题意. ………………10分

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则a1a2ap0d[p(p3)d][p(p4)d](p2)[pd]pp.

所以，[p(p3)d][p(p4)d](p1)(pd)p(pd)0

即

[(pd)p(p3)d](p1)0.

2因为 p10，所以pdp(p3)d0. ………………11分

所以 p4不合题意.

所以 d2p2p888p4p42p4. 因为p为整数，所以

8p4为整数，所以p5,6,8,12. 综上所述，p的所有可能值为3,5,6,8,12.

………………12分 ………………13分 10 / 1010