湖南省长沙市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题
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湖南省长沙市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题
2016－2017学年度高一第二学期期末考试
数 学
时量：120分钟 满分:150分
第Ⅰ卷（满分100分)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知a>b,则下列不等式一定成立的是
A．a2>b2 B．ac〉bc C.错误!>错误! D．2a〉2b
2．如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是
A．2n＋1 B．3n C。错误! D。错误!
3．在△ABC中,内角A，B所对的边分别为a，b,若acos A＝bcos B，则△ABC的形状一定是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．设等差数列错误!的前n项和为Sn，a2,a5是方程2x－3x－2＝0的两个根，则S6＝ 9
A. B．5 C．－错误! D．－5 2
5．满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为
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A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定
6．已知函数f(x)＝ax＋bx＋c，不等式f（x）〈0的解集为错误!，则函数y＝f（－x）的
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湖南省长沙市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题
图象可以为
7．设集合A＝错误!，若A＝∅,则实数a取值的集合是
A.错误! B.错误! C。错误! D。错误!
8．若数列错误!满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N),它的前n项和为Sn，则Sn＝ A．2－2
1－n*
B．2
n－1
－1 C．2－1 D．2－2
nn－1
9．已知钝角△ABC的面积是错误!，AB＝1，BC＝错误!，则AC＝ A．1 B.错误! C．1或错误! D．5
10．已知数列错误!的前n项和为Sn＝aq(aq≠0，q≠1）,则错误!为 A．等差数列 B．等比数列
C．既不是等差数列，也不是等比数列 D．既是等差数列,又是等比数列
11．设a＞0,b＞0， a＋4b＝1，则使不等式t≤错误!恒成立的实数t的取值范围是 A．t≤8 B．t≥8 C．t≤9 D．t≥9
12．已知点P(x，y）的坐标x，y 满足错误!，过点P的直线l与圆C：x＋y＝14相交于
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nA、B两点，则错误!的最小值为
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A．2错误! B．4 C．4错误! D．8 答题卡
二、填空题:本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 13．已知集合P＝错误!，Q＝错误!，则P∩Q＝______．
14．△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知三个内角成等差数列，且A为等差中项，若a＝3，b＝5，则sin B＝________．
15．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2 m与3 m。用A种规格金属板可造甲种产品3个,乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．设A，B两种金属板各取x张，y张．当x＝______，y＝________时,可使总的用料面积最省．
16．等比数列{an}的公比为q,其前n项的积为Tn,并且满足条件a1〉1，a49a50－1〉0，（a49
－1）(a50－1)〈0。给出下列结论：
①0〈q〈1；②a1a99－1<0；③T49的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然数n等于98.
其中所有正确结论的序号是____________．
三、解答题：本大题共3个小题,共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)
已知等差数列错误!的前三项分别为λ,6，3λ，前n项和为Sn，且Sk＝165。 (1）求λ及k的值；
(2)设bn＝错误!，且数列错误!的前n项和Tn，证明： 错误!≤Tn〈1.
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18.(本小题满分12分)
某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q（万件)与广告费x（万元）之间的函数关系为Q＝错误!(x〉1），已知生产该产品的年固定投入为3万元，每生产1万件该产品另需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本（生产成本不含广告费）的150％”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元）的函数;（年利润＝销售收入－成本)(2)当年广告费为多少万元时，企业的年利润最大？最大年利润为多少万元？
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19。(本小题满分12分)
在△ABC中，设错误!·错误!＝错误!·错误!. （1)证明:△ABC是等腰三角形；
(2）若错误!＝2,且B∈错误!,求错误!·错误!的取值范围．
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第Ⅱ卷(满分50分）
一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分,共10分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
20．过点（2，0)引直线l与曲线y＝错误!相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（ )
A。错误! B．－错误! C．±错误! D．－错误!
21．已知定义在R上的函数y＝f(x）对于任意的x都满足f（x＋1）＝－f(x），当－1≤x＜1时,f(x）＝x，若函数g(x)＝f(x)－loga｜x|至少有6个零点,则a的取值范围是( ）
A.错误!∪(5,＋∞） B.错误!∪错误! C.错误!∪（5，7） D.错误!∪[5，7） 二、填空题：本大题共1个小题，共5分．
22．已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为________．
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三、解答题:本大题共3个小题,共35分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23．(本小题满分11分）
设f（x）＝sin错误!－2cos错误!＋1。 (1）求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝f(x)与y＝g(x）的图象关于直线x＝1对称，求当x∈错误!时,y＝g(x）的最大值．
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24．（本小题满分12分）
如图1，在Rt△ABC中,∠ABC＝60°,∠BAC＝90°，AD是BC边上的高,沿AD将△ABC折成60°的二面角B－AD－C,如图2。
（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；
(2）设E为BC的中点,BD＝2，求异面直线AE与BD所成的角的大小．
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25.（本小题满分12分)
设函数f（x）＝｜ax－x｜＋2b（a，b∈R）．
（1)当b＝0时,若不等式f（x)≤2x在x∈［0,2]上恒成立，求实数a的取值范围； (2)已知a为常数,且函数f(x)在区间［0，2]上存在零点，求实数b的取值范围．
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数学参考答案 第Ⅰ卷(满分100分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题4分，共48分。
题 号 1 答 案 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D A B B D C B C C B 1.D 【解析】若a＝－1，b＝－2，则A项不成立；当c＝0时,B项不成立;
当b〈a<0时,则C项不成立;由函数y＝2为增函数，且a＞b，知2＞2成立,故选D. 2．D 【解析】方法一：赋值法和验证法直接得出答案； 方法二:由an－an－1＝n＋1再根据累加法得：
n＋3n＋2
an＝a1＋（a2－a1)＋…＋（an－an－1）＝3＋3＋4＋5＋…n＋1＝,故选D.
23．D 【解析】由acos A＝bcos B可得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，故2A＝2B或2A＋2B＝π，故A＝B或A＋B＝错误!，故选D.
4．A 【解析】由根与系数的关系可知a2＋a5＝错误!，由等差数列的性质知a2＋a5＝a1＋a6＝错误!，由求和公式得S6＝错误!＝错误!.故选A.
5．B 【解析】由正弦定理可求得sin B＝错误!,又a〉b，故A〉B，所以满足条件的角B为锐角，△ABC的个数只有1个，故选B。
6．B 【解析】由f(x)<0的解集为错误!知a〈0，y＝f（x)的图象与x轴交点为（－3，0），（1，0)，所以y＝f(－x)图象开口向下，与x轴交点为（3，0），(－1,0)．故选B。
7．D 【解析】当a＝0时,符合题意；当a>0时，相应二次方程中的Δ＝a－4a≤0，得错误!，综上得错误!，故选D.
8．C 【解析】因为log2an＋1＝log2an＋1 （n∈N）,所以an＋1＝2an，q＝2，a1＝1，由等比数列的求和公式得Sn＝2－1,故选C。
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n＊
2
2
x
a
b
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9．B 【解析】S＝错误!AB·BC·sin B＝错误!，又AB＝1，BC＝错误!, 所以sin B＝错误!，所以B＝45°或B＝135°. 当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝错误!＝1，
此时AC＝AB＝1，BC＝2，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去． 所以B＝135°。
由余弦定理可得AC＝错误!＝错误!。故选B。 10．C 【解析】当n＝1时，a1＝S1＝aq； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝aqn－1
（q－1），
∴错误!＝q(q≠1,q为非零常数)，而错误!＝q－1≠q，故数列错误!既不是等差数列，也不是等比数列，故选C。
11．C 【解析】因为a＞0，b＞0，所以t≤错误!等价于t≤错误!＋错误!，只需t≤错误!错误!，而错误!＋错误!＝错误!（a＋4b)＝错误!＋错误!＋5≥2错误!＋5＝9，当且仅当错误!＝错误!，即a1
＝2b＝时取“＝”．∴t≤9 ，故答案选C。
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12．B 【解析】要使弦AB最短，只需弦心距最大，根据图象知点P(1，3）到圆心的距离最大,则｜OP｜＝错误!，圆的半径为错误!,
∴｜AB｜min＝2错误!＝4。 故选B。
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 13。错误! 【解析】依题意P＝错误!＝错误!， Q＝错误!＝错误!， 则P∩Q＝错误!，故填错误!。
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14.错误! 【解析】由三个内角B，A,C依次成等差数列，∴A＝错误!,根据正弦定理，错误!＝错误!，则sin B＝错误!＝错误!×错误!＝错误!，故填错误!。
15．5,5 【解析】设用料面积为z，则约束条件为错误! 目标函数z＝2x＋3y。
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．
z＝2x＋3y变成y＝－错误!x＋错误!，得斜率为－错误!，在y轴上截距为错误!，且随z变
化的一组平行直线．
当直线z＝2x＋3y过可行域上点M时，截距最小,z最小， 解方程组错误!得M点的坐标为(5,5），故x＝5,y＝5。
16．①②③④ 【解析】由条件a1>1,a49a50－1>0，(a49－1)（a50－1）〈0可知a49>1，a50<1，所以0 三、解答题：本大题共3个小题，共36分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 17．【解析】（1)∵λ,6，3λ成等差数列，∴λ＋3λ＝12，∴λ＝3。（2分) ∴等差数列｛an｝的首项a1＝3,公差d＝3，(3分） 故前n项和Sn＝错误!，由Sk＝165，即错误!＝165，解得k＝10。（6分) （2)∵bn＝错误!＝错误!＝错误!－错误!,(8分） ∴T＝b1＋b2＋…＋bn＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝1－错误!＝错误!。（10分） 12 湖南省长沙市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题 由于Tn＝错误!是关于n的增函数,故Tn≥T1＝错误!,所以错误!≤Tn〈1.(12分） 18．【解析】(1)由题意，产品的生产成本为（32Q＋3）万元， 销售单价为错误!×150%＋错误!×50%(2分) 故年销售收入为y＝错误!·Q＝48Q＋错误!＋错误!x ∴W＝y－（32Q＋3）－x＝16Q＋错误!－错误!＝49.5－错误!－错误!(x>1）（6分） （2)∵W＝49.5－错误!≤49.5－2错误!＝49.5－8＝41。5.(9分） 当且仅当错误!＝错误!,即x＝8时,W有最大值41。5（11分) ∴当年广告费为8万元时,企业年利润最大，为41。5万元．(12分） 19．【解析】（1)因为错误!·错误!＝错误!·错误!，所以错误!·(错误!－错误!)＝0， 又错误!＋错误!＋错误!＝0 所以错误!＝－（错误!＋错误!)，(3分） 得 －(错误!＋错误!)·（错误!－错误!）＝0，即错误!－错误!＝0 所以错误!错误!＝错误!错误!，故错误!＝错误!，所以△ABC为等腰三角形．(6分) (或由－abcos C＝－bccos A,进而求得acos C＝ccos A，得sin Acos C＝sin Ccos A，所以sin（A－C)＝0，得A＝C，故△ABC为等腰三角形） （2)因为B∈错误!,故cos B∈错误!,(7分) 设错误!＝错误!＝a,因为错误!＝2, 进而错误!错误!＝4， 所以a＋a＋2acos B＝4 得a＝错误!(9分) 所以错误!·错误!＝错误!错误!cos B＝错误!＝2－错误!∈错误!.（12分） 第Ⅱ卷（满分50分） 一、选择题:本大题共2个小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 13 2 2 2 2 2 2 湖南省长沙市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题 20．B 【解析】当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB, ∵曲线y＝错误!相交于A，B两点,O为坐标原点, ∴圆心O（0，0），半径r＝错误!, ∴OA＝OB＝错误!，AB＝2, ∴圆心O(0，0）到直线直线l的距离为1, 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，不合题意； 当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y＝k(x－2）， 圆心(0，0）到直线l的距离d＝错误!＝1,解得k＝±错误!， ∵k＜0，∴k＝－错误!。故选B。 21．A 【解析】由f（x＋1)＝－f(x）得f(x＋1)＝－f(x＋2）， 因此f(x）＝f(x＋2)，即函数f（x）是周期为2的周期函数． 函数g(x）＝f(x）－loga｜x｜至少有6个零点可转化成y＝f(x)与h（x）＝loga|x｜两函数图象交点至少有6个，需对底数a进行分类讨论．若a＞1,则h(5）＝loga5＜1,即a＞5。 若0＜a＜1，则h(－5)＝loga5≥－1，即0＜a≤错误!. 所以a的取值范围是错误!∪（5，＋∞)．故选A. 二、填空题：本大题共1个小题，共5分． 14 湖南省长沙市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题 22．4π 【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1,底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离与底面外接圆的半径相等，则三棱锥的外接球半径R为1,则三棱锥的外接球表面积S＝4πR＝4π。 三、解答题：本大题共3个小题，共35分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23．【解析】（1)f(x)＝sin错误!xcos错误!－cos错误!xsin错误!－cos错误!x＝错误!sin错误!x－错误!cos错误!x＝错误!sin错误!， 故f(x)的最小正周期为T＝错误!＝8.（5分) (2）法一: 在y＝g（x)的图象上任取一点（x，g(x)）,它关于x＝1的对称点为(2－x，g（x)）． 由题设条件,点（2－x,g（x）)在y＝f(x）的图象上,从而g(x）＝f（2－x)＝错误!sin错误!＝错误!sin错误!＝错误!cos错误!， 当0≤x≤错误!时，错误!≤错误!x＋错误!≤错误! ，因此y＝g(x)在区间错误! 上的最大值为ymax＝错误!cos错误!＝错误!。(11分） 法二： 因区间错误!关于x＝1的对称区间为错误!， 且y＝g（x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故y＝g(x）在区间错误!上的最大值为y＝f(x)在区间错误!上的最大值． 由(1)知f（x)＝错误!sin错误!。当错误!≤x≤2时，－错误!≤错误!x－错误!≤错误!. 因此y＝g（x）在区间错误! 上的最大值为ymax＝错误!sin错误!＝错误!。（11分） 24．【解析】(1)因为折起前AD是BC边上的高， 2 15 湖南省长沙市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题 则当△ABD折起后，AD⊥CD，AD⊥BD(2分） 又CD∩BD＝D，则AD⊥平面BCD.(3分） 因为AD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.(4分） （2)取CD的中点F,连接EF，则EF∥BD, 所以∠AEF为异面直线AE与BD所成的角．（6分) 连结AF、DE。由BD＝2，则EF＝1,AD＝23,CD＝6，DF＝3。 在Rt△ADF中，AF＝错误!＝错误!。（8分) 在△BCD中，由题设∠BDC＝60°,则 BC＝BD＋CD－2BD·CDcos∠BDC＝28,即BC＝2错误!, 从而BE＝错误!BC＝错误!，cos∠CBD＝错误!＝－错误!. 在△BDE中,DE＝BD＋BE－2BD·BEcos∠CBD＝13. 在Rt△ADE中，AE＝错误!＝5。(11分） 在△AEF中，cos∠AEF＝错误!＝错误!。 所以异面直线AE与BD所成的角的大小为60°.(12分） 25．【解析】(1)当b＝0时，若不等式x|a－x｜≤2x在x∈［0，2］上恒成立； 当x＝0时，不等式恒成立，则a∈R；(2分) 当0 2 2 2 2 2 2 ｛ x2－ax（x≥a） －x＋ax（x〈a22 ) 当a≤0时,则h（x）＝x－ax，x∈[0，2］，且h（x）在［0，2］上单调递增，所以h（x)min 16 湖南省长沙市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题 ＝h（0）＝0，h(x)max＝h（2)＝4－2a，则当0≤－2b≤4－2a时，原方程有解，则a－2≤b≤0；（7分） 当a〉0时，h(x)＝错误!，h(x）在错误!上单调增,在错误!上单调减,在［a，＋∞）上单调增; ①当错误!≥2，即a≥4时，h(x)max＝h（2）＝2a－4，h（x）min＝h(0)＝0, 则当0≤－2b≤2a－4时,原方程有解,则2－a≤b≤0； ②当错误!〈2≤a，即2≤a〈4时，h（x)max＝h错误!＝错误!，h（x)min＝h（0)＝0，则当0≤－2b≤错误!时,原方程有解，则－错误!≤b≤0;（9分） ③当0 当错误!〈4－2a，即0〈a〈－4＋4错误!时，h（x）max＝4－2a,则当0≤－2b≤4－2a时,原方程有解,则a－2≤b≤0；(11分) 综上，当a〈－4＋4错误!时，实数b的取值范围为［a－2，0]; 当－4＋4错误!≤a<4时，实数b的取值范围为错误!； 17 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容