第２３卷第３期 河南工程学院学报（自然科学版） Ｖｏ１．２３，Ｎｏ．３ ２０１１年９月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＥＮＡＮ ＩＮＳ１１［ＴＵＴＥ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ Ｓｅｐｔ．２０１１ 一阶时滞泛函微分方程的正周期解 金爱云 ，张国伟 （１．郑州航空工业管理学院数理系，河南郑州４５００１５；２．东北大学数学系，辽宁沈阳１１０００４） 摘要：利用非线性分析了不动点定理和锥理论，讨论了一类泛函微分方程的正周期解的存在性问题，所得结果改进了 已有的文献结果．一 关键词：不动点定理；正周期解；泛函微分方程；锥 中图分类号：０１７５．５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—３３０Ｘ（２０１１）０３—００６１—０３ 泛函微分方程周期正解这一课题引起了人们的广泛关注，有不少作者利用不同的周期模型讨论了该问 题＿１Ｉ２ Ｊ，文献［３］中讨论了一般泛函微分方程 （ｔ）＝一０（ｔ） （ｔ）一ｇ（ｔ， （ｔ一 （ｔ）））周期解的存在性． 这里，我们考虑泛函微分方程 （￡）＝一口（￡） （ｔ—ｒ（ｔ））） （ｔ）＋ｇ（ｔ， （ｔ— （ｔ）））， （１） 的周期正解存在性问题．其中，口（ｔ）∈Ｃ（Ｒ，［０，ｏ。）），厂∈Ｃ（［０，∞），（０，∞）），ｇ∈Ｃ（Ｒ×［０，∞），［０， ∞）），ｒ（ｔ）∈Ｃ（Ｒ，Ｒ），并且口（ｔ），．ｒ（ｔ）都是∞一周期泛函，ｇ（ ， ）关于ｔ为 一周期泛函，∞＞０为一个常 数， 戈）为有界泛函． 本文利用锥中的不动点定理来处理方程（１）的周期正解的存在性问题，即找到一个泛函及一个适当的 算子满足，推广了文献［３］中相应的结论． １ 准备工作 设 是实Ｂａｎｃｈ空间，Ｋ是 的一个非空闭子集， 为一个锥．即 １）Ｏｔｔｔ＋３ｖ∈Ｋ，Ｖ ， ∈Ｋ且 ， ≥０， ２） ，一 ∈Ｋ，也且ｐ ＝０． 假设（Ｐ）口（ｔ）∈Ｃ（Ｒ（０，∞）），ｒ（ｔ）∈Ｃ（Ｒ，Ｒ），ｇ Ｅ Ｃ（Ｒ×［０，∞），［０，。。）），ｆ∈Ｃ（［０，∞），（０， ∞）），并且０（ｔ）， （ｔ），ｇ（ｔ， ）都是 一周期泛函， ＞０为一个常数， ）为有界泛函． 如果 （ｔ）∈Ｃ（［０，∞］，［０，＋∞）），并且 （ｔ）满足方程（１），则称 （ｔ）为方程（１）的解．如果在（０，ｆ．Ｏ） 上 （ｆ）＞０，则称Ｍ（ｔ）为方程（１）的正解． 引理１ 设 是Ｂａｎａｃｈ空间， 是 中的一个锥．假设 ， 是 中的开子集，且０∈ ， ，ｃ ，设 ： ｎ（ ＼ 。）一 是全连续算子，且满足： １）ｌ ＩｌＩ≤ｆｌ ｌＩ， ∈Ｋ ｎ ａ １， ２）存在 Ｅ ＼｛０｝使得 ≠ ＋Ａ砂， ∈Ｋ ｎ ａ 且Ａ＞０，则 在Ｋ ｎ（ ＼ ）上有１个不动点． 定理１假设（Ｐ）成立，方程（１）若满足下列条件： １）ｌｉ ｍ ｉ ｎｆ ｍｉｎ Ｊ￣．１ｉｍ［ｏＩｓｕｐ ， ＋２）ｌｉ ｐ ＜ｌ且ｌｉｍ ｉｎｆｍ ｉｎ…ＩＥ［１ ＞ 则至少有１个（￡Ｊ一周期正解． 收稿日期：２０１１—０６—０２ 作者简介：金爱云（１９７８一），女，河北衡水人，助教，硕士，主要从事非线性分析研究 ・６２・ 河南工程学院学报（自然科学版） ２０１１生 首先，我们指出方程（１）的∞一周期解即为积分方程 （ｔ）：Ｊ Ｇ（ｔ，一ｆ＋∞ ｓ）ｇ（ｓ， （ｓ—ｒ（ｓ）））ｄｓ， 的解．其中 Ｇ（ｔ，ｓ）： ｅ（２） Ｊｏ（。），（ （Ｏ－ｒ（ ））曲～１ ． （３） 令Ｍｌ： ｓｕｐ ｅｆ ８（日 （。一ｒ（ ） ，ｋ：ｅｊｏＯＯ（口 ‘口一ｒ‘ 曲．令 ＝ （ｔ）： （ｔ）∈Ｃ（Ｒ，Ｒ）， （ｔ＋０９）： （ｔ）｝，且定义ｌ ｌｌｌ＝ｓｕｐ ｛Ｉ （ｔ）Ｉ－＇Ｘ∈ ｝， ｆ ｌＶ．∞Ｉ 则 在范数ｌ Ｊｃ｝ｊ下是Ｂａｎａｃｈ空间．定义 上的算子： ＝ ． 其中 （Ｃｘ）（ｔ）＝Ｉ Ｇ（ｔ，ｓ）ｇ（ｓ， （ｓ一下（ｓ）））ｄｓ， ∈Ｘ 令Ｋ＝｛ ∈ ： （ｔ）≥０，且 （ｔ）≥ ｌｌ ｌｌ，ｔ∈［０，∞］｝，０＜ ＝Ａ／Ｂ＜１，且 ｆＡ＝ｍｉｎ｛Ｇ（ｔ，ｓ）：０≤ｔ，ｓ≤∞｝＞０， ｔＢ＝ｍａｘ｛Ｇ（ｔ，ｓ）：０≤ｔ，ｓ≤∞｝＞０． 易证 是 中的一个锥． 引理２ 假设（Ｐ）成立，则 （Ｋ）ｃ Ｋ． 证明 对Ｖ ∈ ，有ｌ ＩＩｌ≤Ｂ ｆ ｇ（ ， （ｓ一 （ｓ）））ｄｓ，（ ）≥Ａ Ｉ ｇ（ｓ， （ｓ一 （ｓ）））ｄｓ， 于是我们有（Ｃｘ）（ ）≥－Ａｄ １ Ｉｌｌ＝ｏｒ＿ ｌｌｌ，所以 （ ）ｃ Ｋ，证毕． 引理３ ：Ｋ ｎ（ ＼ｎ ）一 全连续． ２ 主要结论的证明 下面我们证明定理１在（１）或（２）成立下的结论． 证明 １）由于ｌｉｍ ｉｎｆｍｉｎ ＞ｌ’存在常数ｒ＞０，使得 ……，ｇ（ｔ，ｕ）≥ Ｍ）ａ（ｔ） ，０≤ｕ≤ｒ， 因此，如果 Ｅ Ｋ，且 ｌＩ＝ｒ，则 （ｔ）≥ ｒ． 令ｌｆ， １，ｔ∈Ｒ，我们证明 ≠ ＋入沙， ∈ＫＮａ ｌ，入＞０， 其中， ＝｛ｕ∈ｘ：ｌＩ“ｌｌ＜ｒ｝． 如若不然，存在 。∈ＫＮ ａ力 ， ＞０，使得Ｘ。＝ ｘ０＋ ， 令 ＝ｍｉｎｘｏ（ｔ），则对ｔ∈Ｒ有 ｏ（￡）＝（ ｏ）（ｆ）＋入０＝Ｉ Ｇ（ｔ，ｓ）ｇ（ｓ， ０（ｓ一下（ｓ）））ｄｓ＋ ０≥ Ｊ Ｇ（ｔ，ｓ）０（ｓ） 。（ｓ— （ｓ））） 。（ｓ一下（ｓ））ｄｓ＋入。≥ ｆ Ｇ（ ，ｓ）０（ｓ） ０（ —下（ｓ）））ｄｓ＋Ａ０＝ ＋ ，也即 ≥ ＋入ｏ，矛盾． 另一方面，由于 ｐ 黑１ ＜ｌ，存在ｒ・＞ｒ，使得ｇ（￡，ｕ）≤ “）。（ｆ）ｕ，ｕ≥ｒｌ， 令Ｒ＝ｒ．／ｏ－，于是有 Ｕ（ｔ）≥ ｌＩ“ｌ Ｉ＝ｅｒＲ＝ｒｌ，“∈Ｋ ｎ ， 其中， ：｛ｕ∈ ：ｌ ｌｕ ｆｌ＜Ｒｔ．于是，对 ∈Ｋ，ｌＩ ｌＩ＝Ｒ，我们有 （４） （５） （５） （７） （８） 第３期 金爱云，等：一阶时滞泛函微分方程的正周期解 ・６３・ （ ）（ｔ）≤Ｉ Ｇ（ｔ，ｓ）口（ｓ） （ｓ—ｒ（ｓ）））ｘ（ｓ一丁（ｓ））ｄｓ＝ｆ Ｇ（ｔ，ｓ）ｇ（ｓ， （ｓ一下（ｓ）））ｄｓ≤ Ｊ Ｇ（ｔ，ｓ）口（ｓ） ｘ（ｓ一丁（ｓ）））ｄｓ ｌＪ ｌｌ＝ｉｌ ｆｌ， 也即ｌ ｌｌｌ≤ ｌｌ， ∈Ｋ ｎ ．因此，由引理１， 有１个不动点 ∈Ｋ ｎ（ ＼力 ），此外，ｒ≤ ｌＪ≤ Ｒ且 （ｔ）≥ｏｒｒ＞０，这说明 （ｔ）是方程（１）的１个∞一周期正解． ２）由于ｌｉ ｐ ｊ ＜１，存在常数ｒ＞０，使得 ｇ（ｔ，Ｍ）≤ ｕ）ａ（ｔ）“，０≤ｕ≤ｒ， ．（９） 因此，如果 ∈Ｋ，且ＩＩ ｌｌ＝ｒ，则 （ｔ）≥ ｒ．于是，对， ∈Ｋ，Ｉｆ ｌＪ：ｒ，有 （ ）（ｔ）＝Ｊ Ｇ（ｔ，ｓ）口（ｓ， （ｓ—下（ｓ）））ｄｓ≤Ｊ Ｇ（ｔ，ｓ）口（ｓ） （ｓ一 （ｓ））） （ｓ一 （ｓ））ｄｓ≤ Ｊ Ｇ（ｔ，ｓ）口（ｓ）／ （ｓ一．ｒ（ｓ）））ｄｓ ｌ ｆＩｌ＝ｌ Ｉｌｌ， 也即ｌ ＩｌＩ≤ｌｌ ｌＩ，其中 ∈Ｋ ｎ 。，力１＝｛ ∈ ：ｌｌ ｕ ｌＩ＜ｒ｝． —ａｒ另一方面，由于ｌｉ＋ｉ ｎｆ ｍｉｎ叫 。＞１，存在ｒ－＞ｒ，使得ｇ ）≥ ）Ｍ，“≥ 令Ｒ＝ ｒ１／ｏｒ，于是有 ｕ（ｔ）≥ｏｒ ｌ ＩＵ『 ＝ｅｌｒｒ：ｒｌ，ｕ∈Ｋ ｎ ， （１０） 其中， ＝｛ｕ∈ ：Ｉ ｌｌｌ＜Ｒ｝． 令 ＝１，ｔ∈Ｒ，证明 ≠ ＋Ａ ， ∈Ｋ ｎ ａ ，Ａ＞０ （１１） 如若不然，存在， ０∈Ｋ ｎ ａ ，Ａ０＞０使得 ＝ ０＋Ａｏｔｆ，． 令 ＝ｍｉｎ ０（ｔ），贝Ⅱ对ｔ∈Ｒ有 ｏ（ｔ）＝（ ０）（ｔ）＋Ａ０＝』 ‘ Ｇ（ｔ，ｓ）ｇ（ｓ， ０（ｓ—ｒ（ｓ）））ｄｓ＋Ａ０≤』 ‘ Ｇ （ｔ，ｓ）ａ（ｓ） ０（ｓ—ｒ（ｓ））） ｏ（ｓ一 （ｓ））ｄｓ＋Ａ０≤ 』 ‘ Ｇ（ｔ，ｓ）ａ（ｓ）－厂（ ０（ｓ一 （ｓ）））ｄｓ＋Ａ０＝ ＋Ａｏ，也即 ≥ Ａｏ，矛盾． 因此，由引理１， 有１个不动点 ∈Ｋ ｎ（ ＼１２。）．此外，ｒ≤ 是方程（１）的１个ｔｏ一周期正解． 参考文献： ｌｌ≤Ｒ且 （ｔ）≥ ｒ＞０，这说明 （ｔ） ［１］彭世国，朱思铭．无穷时滞泛函微分方程的正周期解［Ｊ］．数学年刊，２００４（３）：２８５—２９２． ［２］Ｌｉｕ Ｘ，Ｌｉ Ｗ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ， ２００４（２９３）：２８—３９． ［３］Ｗａｎ Ａ，Ｊｉａｎｇ Ｄ，Ｘｕ Ｘ．Ａ ｎｅｗ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｐｏｓｉｉｔｖｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｔｏ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔ Ｍａｔｈ Ａｐ－ ｐｌ，２００４（４７）：１２５７—１２６２． ［４］Ｋ Ｄｅｉｍｌｉｎｇ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｄａｇ，１９８５． ［５］Ｋ Ｌａｎ，Ｋ Ｊｅｆｒｙ，Ｊ Ｒ Ｌ Ｗｅｂｂ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ［Ｊ］．Ｊ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ Ｅｑｕａ－ ｔｉｏｎｓ，１９９８（１４８）：４０７—４２１． Ｐｅｒｉｏｄｉｃ Ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ＪｌＮ Ａｉｙｕｎ ．ＺＨＡＮＧ Ｇｕｏｗｅｉ （１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｃａｌ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ， Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００１５，Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ １１０００４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌ ｅｑｕａｔｉａｏｎｓ ｉｓ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｂｙ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｔｈｅ ｉｆｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｉｎｄｅｘ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ ｃｏｎｅ ｔｈｅｏｒｙ．Ｓｏｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｗｈｉｃｈ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ａｎｄ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｋｎｏｗｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄＫｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｉｘｅｄ—ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ：ｃｏｎｅ ．