数系的扩展历程

数系的扩展历程

从数学史发展的角度来看，数系扩展伊始主要是由于实践的需要。 正是为了解决实践中出现的问题，人们不断将数的领域加以扩展。人们为了计量的需要，引入了自然数，这样就可以表示任何离散的对象的数目了；因为测量、天文研究等实践活动，有时候结果不能用整数表示，就有了分数；另外，由于现实生活中有很多相反的过程，如收入与支出，上升与下降，前进与后退等，要用数来表示这些过程，负数就产生了;因为现实世界中除了离散量外，还存在大量连续量，而为了刻画出连续量就必须引入无理数，从而将数系扩展到实数系。因此，实践活动的需要是数系扩展的不可缺少的动力.尤其在前期，实践的需要在促使数系发展方面起着重要作用。 数系的扩充初期是源于现实生活中的需要，后来随着数学体系的发展，数系扩展也成了数学内部体系运算封闭性的必然要求。所谓运算（如我们熟知的加、减、乘、除），抽象的看，包括一个集合与一个对应法则，这个对应法则规定了这个集合中的任意两个元素所对应的元素。若该运算对集合中的任何两个数可普遍实施，且其结果仍然在该集合中，则称该运算在这个集合上是封闭的。容易知道，加法、乘法在正整数集合上是封闭的。人们在研究加法、乘法的逆运算时，发现方程a+x=c和ax=b（这里a,b,c都是正整数）。在正整数集合内，并不是每个这样的方程都有解的。从而减法和除法对正整数并不是可以普遍施行的，事实上，2+x=2和2+x=3，2x=3就都没有正整数解。为了使这类方程可解,0和负整数 分数就立即成为必要。这样，数系就扩展到有理数。我们知道，数系还要进一步扩充——实数。在这个扩充过程中，“实际需要”所起的推动作用显得更小，而更多是数学内容的需要。我们同样可以从运算的封闭性来讨论这种扩充。事实上，为了使指数运算（特殊的，

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比如开平方）能普遍施行，就必须有无理数，举例来说，在有理数集合内，2就没有平方根。要使开平方这种运算可以普遍施行，就要有无理数（当然，2的平方根是无理数中的一类，叫代数数，还有所谓超越数，如圆周率）。另外，数学家柯西说无理数是有理数序列的极限。如果把极限也理解为一种运算的话，有些有理数数列是收敛的，但其极限不是有理数，从某种意义上说，在有理数集合内，极限运算也不是可以普遍施行的。从这个角度看，引入无理数也是必要的。为了使“开平方”这种运算能普遍施行，还要考虑负数，为了让负数也有平方根，数系再一次扩充，引入i这个符号作为-1的平方根，从而把数系从实数扩充到了复数（当然，历史的看，引入i更多的不是为了让负数有平方根，而是研究三次方程的解法时碰到了这个无法摆脱的“幽灵”，有兴趣的读者可以从几乎任何一本数学史的专着中找到这方面内容）。 回顾数系的历史发展，似乎给人这样一种印象：数系的每一次扩充，都是在旧的数系中添加新的元素。如分数添加于整数，负数添加于正数，无理数添加于有理数，复数添加于实数。但是，现代数学的观点认为：数系的扩张，并不是在旧的数系中添加新元素，而是在旧的数系之外去构造一个新的代数系，其元素在形式上与旧的可以完全不同，但是，它包含一个与旧代数系同构的子集，这种同构必然保持新旧代数系之间具有完全相同的代数构造。当人们澄清了复数的概念后，新的问题是：是否还能在保持复数基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢？答案是否定的。当哈米尔顿试图寻找三维空间复数的类似物时，他发现自己被迫要做两个让步：第一，他的新数要包含四个分量；第二，他必须牺牲乘法交换率。这两个特点都是对传统数系的革命。他称这新的数为“四元数”。“四元数”的出现昭示着传统观念下数系扩张的结束。

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