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辽宁省实验中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学
（理）试题
评卷人 得分 一、单选题
1．椭圆A．
的焦距是( )
B． C． D．
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出椭圆的c,即得椭圆的焦距. 【详解】 由题得【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 2．在等差数列
中，已知
，
，公差
，则
( )
所以焦距为
.故答案为：A
A． 16 B． 17 C． 18 D． 19 【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式求解． 【详解】
∵等差数列{an}中，a2=12，an=﹣20，公差d=﹣2， ∴an=a2+（n﹣2）d， ∴﹣20=12﹣2（n﹣2）， 解得n=18， 故答案为：C． 【点睛】
本题考查等差数列通项公式的应用，是基础题.
1
3．直线与椭圆的公共点个数是( )
A． 0 B． 1 C． 2 D． 4 【答案】B 【解析】 【分析】
先求出【详解】
，代入椭圆方程化简，再利用判别式判断公共点的个数.
由题得，代入椭圆方程得，
所以直线和椭圆的交点的个数为1，故答案为：B 【点睛】
本题主要考查椭圆和直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
4．若，则下列不等式不成立的是( )
A． 【答案】A 【解析】 【分析】
B． C． D．
由题得a＜b＜0，再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解. 【详解】 由题得a＜b＜0，
对于选项A,=，所以选项A错误.
对于选项B,显然正确. 对于选项C,对于选项D,故答案为：A 【点睛】
2
，所以，所以选项C正确.
，所以选项D正确.
(1)本题主要考查不等式的基本性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差. 5．设正项等比数列
的前项和为，且
，则数列
的公比为( )
A． 4 B． 2 C． 1 D． 【答案】B 【解析】 【分析】
由题得等比数列的公比q≠1，直接代等比数列的前n项和公式化简即得解. 【详解】
由题得等比数列的公比q≠1，所以所以
因为数列各项是正数，所以q=2. 故答案为:B 【点睛】
，
本题主要考查等比数列的前n项和公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
6．如图，面积为
分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是
的正三角形，则的值为( )
A．
B．
C． 12 D． 1
【答案】B 【解析】 【分析】
3
与椭圆两个焦点有关的问题，一般以回归定义求解为上策，抓住△PF1F2为直角三角形建立等式关系． 【详解】
∵△POF2是面积为
的正三角形，
∴S=
|PF2|2=
，|PF2|=2．
，
∴c=2，∵△PF1F2为直角三角形，∴a=所以
故答案为:B． 【点睛】
.
本题考查了椭圆的几何性质，关键抓住图形特征建立等式关系． 7．已知命题是命题“已知
为一个三角形的两内角,若
，则，：
”的否命，：
题命题：公比大于1的等比数列是递增数列。则在命题：
和：
A．
， B．
中，真命题是( ) ， C．
， D．
，
【答案】C 【解析】 【分析】
先判断命题和的真假，再判断每一个选项的真假. 【详解】
对于命题，其否命题为“已知
为一个三角形的两内角,若
，则
”，
是真命题，对于命题，首项为-1，公比为2的等比数列，就是递减数列，所以该命题是假命题.
所以，是真命题，，是假命题.故答案为：C 【点睛】
(1)本题主要考查四种命题及其真假的判断，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
4
8．已知数列满足，若，则的值为( )
A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】
通过计算出前几项的值确定周期，进而可得结论． 【详解】
依题意，a2=2a1﹣1=2•﹣1=，
a3=2a2﹣1=2•﹣1=，
a4=2a3=2•=，
∴数列{an}是以3为周期的周期数列， 因为2020=3×673+1，
∴a2020=a1=， 故答案为：． 【点睛】
本题主要考查数列的周期性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
9．已知为( )
，分别在轴和轴上运动，为原点，,点的轨迹方程
A． 【答案】A 【解析】
B． C． D．
5
设动点 坐标为 由得：
即
故选A．
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，其中合理准确运用利用相关点法是解题的关键 10．已知集合图形面积为( )
A． 1 B． 2 C． 4 D． 8 【答案】C 【解析】 【分析】
先作出集合M,N对应的区域，再求【详解】
由题得集合M对应的区域为图中的边长为
的正方形ABCD,集合N对应的
所表示的图形面积. ，
，则交集
所表示的
区域为图中的两个阴影正方形，所以故答案为：C
所表示的图形面积为
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算和线性规划，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.
6
11．设条件：实数满足条件：实数满足，则是的( )
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不是充分条件又不是必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
通过举反例可得，当成立时，不能推出q成立，利用不等式的性质可以由q成立推出p成
立，从而得到结论． 【详解】
当p成立时，不能推出q成立，
如 m=3且 n=时，尽管满足p，但不满足q． 但由q成立，由不等式的性质能推出p成立， 故p是q的必要不充分条件， 故答案为：B． 【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断方法，不等式的基本性质的应用，
通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题。
12．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A 【解析】 【分析】
先分离参数得到解. 【详解】
，再求函数最小值，解不等式得
7
由题得，
因为，
所以当时，函数取到最小值
故答案为：A 【点睛】
本题主要考查不等式的存在性问题，考查函数的最值的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
8
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题
13．《张邱建算经》记载一题：今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月，日织九匹三丈.问日益几何？题的大意是说，有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的.已知第一天织了5尺，一个月(30天)后共织布390尺，则该女子织布每天增加了______尺.
【答案】 【解析】 【分析】
设每天织布的尺数成等差数列{an}，公差为d，利用等差数列的求和公式即可得出． 【详解】
设每天织布的尺数成等差数列{an}，公差为d，
则5×30+d=390，
解得d=．
故答案为：． 【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．如果关于的不等式【答案】 【解析】 【分析】
的解集是非空集合，则______.
由不等式＞ax+变形得﹣ax﹣＞0即﹣a﹣
+﹣＞0．当﹣a＜0即a＞0时，y=
9
ay=0
+﹣是开口向下的抛物线，因为解集是非空集合{x|4＜x＜m}，得到4和m为
时的解，把4和m代入求得a和m得解． 【详解】
由不等式＞ax+
﹣ax﹣＞0即﹣a+﹣＞0
设y=﹣a+﹣
当﹣a＜0即a＞0时，y是开口向下的抛物线．
又因为不等式＞ax+的解集是非空集合{x|4＜x＜m}，
所以4和m为y=0时方程的两解，把4代入y得：2﹣4a﹣=0解得a=；把m代入y
得：﹣
﹣=0解得m=36． 故答案为：36 【点睛】
本题考查一元二次不等式的应用，分类讨论思想，是中档题．
15．已知椭圆
于点，并与椭圆交于两点
的左右焦点为，若
，过的直线与圆相切
，则椭圆的离心率为______.
【答案】【解析】 【分析】 先求出
再求出3b=2a，再化简即得解.
10
【详解】 因为OA⊥PQ，所以
，
所以
故答案为：【点睛】
本题主要考查椭圆离心率的计算，考查椭圆的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
16．已知数列【答案】11 【解析】 【分析】 先给n取值求出
，，，前项和为，则_______
，再求出
即得解.
【详解】 由题得n=1时，
所以计算得所以【点睛】
本题主要考查递推数列和求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 评卷人 ，
，
.故答案为：11
得分 三、解答题
17．用一根长7.2米的木料，做成“日”字形的窗户框，窗户的宽与高各为多少时，窗户
11
的面积最大？并求出这个最大值。(不考虑木料加工时的损耗和中间木料的所占面积) 【答案】窗户宽1.2米，高1.8米时，面积最大，最大值为2.16平方米 【解析】 【分析】
由题意设窗户的宽为米，则窗户的高为米,再求出窗户的面积
，再利用基本不等式求函数的最大值和x的值得解.
【详解】
由题意设窗户的宽为米，则窗户的高为米,
窗户的面积当且仅当
时，即
时，取“=”
(或),
答：当窗户宽1.2米，高1.8米时，面积最大，最大值为2.16平方米 【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
18．已知椭圆
，
的距离的最大值； 在椭圆上，
是以点为直角顶点的等腰直角三角
(Ⅰ)求出椭圆上的动点到点(Ⅱ)若点是椭圆的左顶点，形，求斜边
的长。
【答案】（1）【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意设
； （2）.
,再求出
,代入方程
得
，再求函数
解方程
的最大值. (Ⅱ)由题意设点即得m的值和斜边的长. 【详解】
12
(Ⅰ)由题意设,
,
当时，取最大值
,代入方程
得
.
(Ⅱ)由题意设点
，则
【点睛】
或,斜边BC长为.
本题主要考查椭圆中的最值和直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 19．已知数列(Ⅰ)若
满足
.
成等差数列，求的值；
为等比数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说
(Ⅱ)是否存在，使数列明理由.
【答案】（1）； （2）见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意得即
，
，因为
成等差数列，则
为等比数列,则
，必
，解方程即得的值. (Ⅱ)若数列
成等比数列，则，解得，此时 ，公比 ，又
，
【详解】 (Ⅰ)由题意
，
若
所以不存在，使数列为等比数列。
， ，
，即
13
成等差数列，则
解得.
为等比数列
，即
(Ⅱ)若数列则
必成等比数列，则
解得，此时 ，公比 ，
又，
为等比数列。
所以不存在，使数列【点睛】
本题主要考查递推数列，考查等差数列和等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 20．已知关于的不等式
(Ⅰ)当变化时，试求不等式的解集； (Ⅱ)对于不等式的解集，若满足
(其中为整数集)，试探究集合能否为有限集？，其中
.
若能，求出使得集合中元素个数最少的的值，并用列举法表示集合，若不能，请说明理由.
【答案】（1）见解析； （2）【解析】 【分析】
(Ⅰ)对k分类讨论求出不等式的解集无限；当
由(1)知：当
时，集合中的元素的个数
时，
.
时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集,再求得当
集合的元素个数最少，求出集合B. 【详解】 (Ⅰ)当
时，
；
当当
且时，
时，
；
；
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当时，.
时，集合中的元素的个数无限；
(Ⅱ)由(1)知：当当
时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集.
因为所以当此时【点睛】
，当且仅当时取等号，
时，集合的元素个数最少. ，故集合
.
本题主要考查解不等式和基本不等式，考查集合，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
21．已知椭圆直)，若
的右焦点为，过的直线交椭圆于
交直线
两点(直线与坐标轴不垂于.
的中点为，为坐标原点，直线
(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求的最大值. .
【答案】（1）见解析； （2）【解析】 【分析】
(Ⅰ) 联立可得.设点的坐标为，点的
坐标为,再计算出的斜率为，的斜率为，即得.
因此与垂直. (Ⅱ)先求出
，再求
【详解】
，即得的最大值.
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(Ⅰ)联立设点的坐标为
可得
，点的坐标为
，则
.
，.
于是有.
因为的中点为，所以.因此的斜率为.
因为直线交直线于，所以.故的斜率为，
即得.因此与垂直，.
(Ⅱ)设
.
令，则.
由于因此
(当
，故.
).
时取到最大值，也即
综上所述，【点睛】
的最大值为.
（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线的位置关系，考查椭圆中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化计算能力.(2)解答第2
问的关键有两点，其一是求出22．已知数列
，其二是求函数的最大值. ，有
.
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中，，对于任意的
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)数列通项公式； (Ⅲ)设
满足，求数列的
，是否存在实数，使数列是递增数列，若存在，求实数
的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）【解析】 【分析】 (1)取
，
； （2）；（3）.
，则.所以，即是公差为2，
首项为2的等差数列.再求数列的通项.(2)利用作差法求数列由题意得：
，假设存在，使
的通项公式.(3)
，化简得
，再对n分奇数和偶数两种情况讨论，分别分离参数求出
【详解】 (1)取所以所以
.检验对任意，
，则
，即
.
是公差为2，首项为2的等差数列.
成立。
(2)因为 ①
所以.②
①—②得：，所以.
当所以
时，，所以，满足上式.
.
17
(3)由题意得：假设存在，使则所以所以
若为正偶数时，
. ，
，
.
.
恒成立，
则，
所以.
所以.
恒成立，
若为正奇数时，
则，
所以.
所以.
综上可知，存在实数【点睛】
.使时，恒成立.
(1)本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的通项，考查数列的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第3问的关键是分离参数求的范围.
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