2020届高三精准培优专练六 三角函数(文) 解析版

培优点六 三角函数

一、简单的三角恒等变换

sin47sin17cos30（ ）

cos173 2

例1：

A．B．1 2C．

1 2D．

3 2【答案】C

【解析】

sin47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17sin30

cos17cos17cos171． 2sin30

二、三角函数的图像

π3

例2：将函数ysin(2x)的图像上各点向右平移

π个单位，再把每一点的横坐标缩短到原来的一半，6纵坐标保持不变，所得函数图像的一条对称轴方程是（ ）

A．xπ 3B．xπ 6C．xπ 2D．xπ 8【答案】D

【解析】向右平移

πππ个单位，表达式变为ysin2(x)sin2x，

636再每一点的横坐标缩短到原来的一半，则表达式变为ysin4x，

而当xππ时，sin4x1，知所得函数图像的一条对称轴方程是x． 88

三、三角函数的性质

例3：若函数f(x)sinx([0,2π])是偶函数，则（ ） 32π 33π 253A．

π 2B．C．

D．π

【答案】C

【解析】由f(x)sinx是偶函数，可得f(x)f(x)， 3即sinxxπ3sin，可得kπ，则3kππ，kZ． 333223π． 2当k0时，可得

四、三角函数的值域与最值

π3

例4：设函数f(x)cos(2x)3sin2x2a．

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）当0xπ时，f(x)的最小值为0，求a的值． 4ππ1（2）a=-． ，kπ+]kZ；

364ππ-sin2xsin+333sin2x+2a

【答案】（1）[kπ-【解析】（1）f(x)=cos2xcos+13pcos2x+sin2x+2a=cos(2x-)+2a． 223由2kππ2xππ2kπ，得kπ-＃x33kπ+πkZ． 6

所以，f(x)的单调递增区间为[kπ-ππ，kπ+]kZ． 36ππ1?，故?cos(2x362π)?1． 3（2）由0＃xππ，得-?2x43由f(x)的最小值为0，得

11+2a=0．解得a=-． 24对点增分集训

一、选择题

1．函数y2cos(x)1是（ ）

2π4A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为

π的奇函数 2D．最小正周期为

π的偶函数 2【答案】A

【解析】y2cos(x)1cos2(x)cos(2x)sin2x，是奇函数，

2π4π4π2它的最小正周期为π．

2．定义运算abab2a2b，则sin15cos15的值是（ ）

A．6 8B．3 8C．6 4D．3 4【答案】A

【解析】sin15cos15sin15cos15sin15cos15

22sin15cos15(sin15cos15)，

11sin30， 243， 2而sin15cos15sin15cos15(sin15cos15)212sin15cos15

所以sin15cos15136． 4283．已知sin(π)2sin()，则sincos（ ）

π2A．

2 5B．2 5C．

22或 55D．1 5【答案】B

【解析】由sin(π)2sin()，可得sin2cos，则tan2，

π2那么sincossincostan2．

sin2cos21tan25π3ππ324．若函数fxsinx(0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减， 则（ ） A．3 【答案】D

B．2

C．

2 3D．

3 2【解析】由题意知，函数在xππ处取得最大值1，所以1sin，故选D．

335．已知cos(x)π6π3，则cosxcos(x)的值是（ ） 3323 3A．23 3B．C．1 D．1

【答案】C

【解析】cosxcos(x)cos[(x)]cos[(x)]2cos(x)cosπ3π6π6π6π6π6π 62(33)1． 326．ycosxcosx的值域是（ ）

A．[1,0] 【答案】D

B．[0,1]

C．[1,1]

D．[2,0]

【解析】可得ycosx00,画出图像，则它值域为[2,0]．

2cosx,cosx0π311π 127．函数f(x)3sin(2x)的图像为C，则有以下三个论断：①C关于直线x对称；②f(x)在(π5ππ,)内是增函数；③由y3sin2x的图像向右平移个单位 12123长度可得到C．其中正确的个数是（ ） A．0 【答案】C

B．1

C．2

D．3

【解析】当x11π时，f(x)3，则①正确； 12当x(π5ππππ,)时，2x(,)，则f(x)是增函数，则②正确； 1212322ππy3sin2x的图像向右平移个单位，则其表达式为f(x)3sin2(x)，其图像不是C，则③错误．

338．将函数f(x)2sin(2x)的图像向右平移(0)个单位，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的

π41π倍，所得图像关于直线x对称，则的最小正值为（ ） 24A．π

18B．

1π 2C．

3π 4D．π

38【答案】D

【解析】函数f(x)2sin(2x)的图像向右平移(0)个单位，

π4所得图像的表达式为y2sin[2(x)]2sin(2x2)，

π4π4再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的

1倍， 2

所得图像的表达式为y2sin(4x2)，

π4当3πππ，取x时，y2sin(4x2)2，则选D． 844cos2ππcos()cos()44的值为_____________．

9．计算

【答案】2 【解析】

cos2ππcos()cos()442cos2ππ2sin()cos()442cos22cos22．

πcos2sin(2)210．写出函数y2cos(2x)图像的一个对称点的坐标为___________．（写出一个即可）

π6【答案】(,0)

π3【解析】当xπππππ时，y2cos(2)0，则(,0)是函数y2cos(2x) 33663图像的一个对称点．

11．已知tan()7，cosπ45，,均为锐角． 13（1）求tan； （2）求cos()．

【答案】（1）tan316；（2）cos()． 465π4π4713．

1714【解析】（1）tantan[()]（2）

34(0,),(0,)，∴sin，cos，

2255sin125，cos， 1313

则cos()coscossinsin16． 6512．已知函数f(x)a(2cos2xsinx)b． 2（1）当a1时，求f(x)的单调递增区间；

（2）当a0，且x[0,π]时，f(x)的值域是[3,4]，求a、b的值．

【答案】（1）2kπ3ππ,2kπ，kZ；（2）a21，b3． 44【解析】（1）

πf(x)1cosxsinxb2sin(x)b1，

4∴递增区间为2kπ3ππ,2kπ，kZ． 44（2）

πf(x)a(sinxcosx)ab2asin(x)ab，

4ππ5ππ2,1]， [,]，∴sin(x)[42444而x[0,π]，则x2aab4a21故，∴． 2)ab3b32a(213．已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,ππ)一个周期的图像如图所示． 22（1）求函数f(x)的表达式；

（2）若f()f()π3π3，且0，求函数f(x)的单调增区间． 24y1O612x1

【答案】（1）f(x)sin(2xπ7π)；π,kπ]，kZ． （2）[kπ31212【解析】（1）由图像易知A1．

设f(x)的最小正周期为T，则

Tπππ()， 41264所以Tπ，即

2ππ，则2，则f(x)sin(2x)．

则f(x)的图像可以看作是ysin2x向左平移

π个单位而得， 6那么f(x)sin[2(x)]sin(2x)．

π6π3（2）由f()f()π3ππ33，可得sin(2)sin(2)，

3322则2sin2cos3ππ3，则sin2，可得．

2326所以f(x)sin[2(x)]sin(2xπ6π32π)， 3由2kππ2π2xπ2kπ，kZ， 2327ππxkπ，kZ， 1212解得kπf(x)的单调增区间为[kπ

7ππ,kπ]，kZ． 1212