培优点六 三角函数
一、简单的三角恒等变换
sin47sin17cos30( )
cos173 2
例1:
A.B.1 2C.
1 2D.
3 2【答案】C
【解析】
sin47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17sin30
cos17cos17cos171. 2sin30
二、三角函数的图像
π3
例2:将函数ysin(2x)的图像上各点向右平移
π个单位,再把每一点的横坐标缩短到原来的一半,6纵坐标保持不变,所得函数图像的一条对称轴方程是( )
A.xπ 3B.xπ 6C.xπ 2D.xπ 8【答案】D
【解析】向右平移
πππ个单位,表达式变为ysin2(x)sin2x,
636再每一点的横坐标缩短到原来的一半,则表达式变为ysin4x,
而当xππ时,sin4x1,知所得函数图像的一条对称轴方程是x. 88
三、三角函数的性质
例3:若函数f(x)sinx([0,2π])是偶函数,则( ) 32π 33π 253A.
π 2B.C.
D.π
【答案】C
【解析】由f(x)sinx是偶函数,可得f(x)f(x), 3即sinxxπ3sin,可得kπ,则3kππ,kZ. 333223π. 2当k0时,可得
四、三角函数的值域与最值
π3
例4:设函数f(x)cos(2x)3sin2x2a.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当0xπ时,f(x)的最小值为0,求a的值. 4ππ1(2)a=-. ,kπ+]kZ;
364ππ-sin2xsin+333sin2x+2a
【答案】(1)[kπ-【解析】(1)f(x)=cos2xcos+13pcos2x+sin2x+2a=cos(2x-)+2a. 223由2kππ2xππ2kπ,得kπ-#x33kπ+πkZ. 6
所以,f(x)的单调递增区间为[kπ-ππ,kπ+]kZ. 36ππ1?,故?cos(2x362π)?1. 3(2)由0#xππ,得-?2x43由f(x)的最小值为0,得
11+2a=0.解得a=-. 24对点增分集训
一、选择题
1.函数y2cos(x)1是( )
2π4A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为
π的奇函数 2D.最小正周期为
π的偶函数 2【答案】A
【解析】y2cos(x)1cos2(x)cos(2x)sin2x,是奇函数,
2π4π4π2它的最小正周期为π.
2.定义运算abab2a2b,则sin15cos15的值是( )
A.6 8B.3 8C.6 4D.3 4【答案】A
【解析】sin15cos15sin15cos15sin15cos15
22sin15cos15(sin15cos15),
11sin30, 243, 2而sin15cos15sin15cos15(sin15cos15)212sin15cos15
所以sin15cos15136. 4283.已知sin(π)2sin(),则sincos( )
π2A.
2 5B.2 5C.
22或 55D.1 5【答案】B
【解析】由sin(π)2sin(),可得sin2cos,则tan2,
π2那么sincossincostan2.
sin2cos21tan25π3ππ324.若函数fxsinx(0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减, 则( ) A.3 【答案】D
B.2
C.
2 3D.
3 2【解析】由题意知,函数在xππ处取得最大值1,所以1sin,故选D.
335.已知cos(x)π6π3,则cosxcos(x)的值是( ) 3323 3A.23 3B.C.1 D.1
【答案】C
【解析】cosxcos(x)cos[(x)]cos[(x)]2cos(x)cosπ3π6π6π6π6π6π 62(33)1. 326.ycosxcosx的值域是( )
A.[1,0] 【答案】D
B.[0,1]
C.[1,1]
D.[2,0]
【解析】可得ycosx00,画出图像,则它值域为[2,0].
2cosx,cosx0π311π 127.函数f(x)3sin(2x)的图像为C,则有以下三个论断:①C关于直线x对称;②f(x)在(π5ππ,)内是增函数;③由y3sin2x的图像向右平移个单位 12123长度可得到C.其中正确的个数是( ) A.0 【答案】C
B.1
C.2
D.3
【解析】当x11π时,f(x)3,则①正确; 12当x(π5ππππ,)时,2x(,),则f(x)是增函数,则②正确; 1212322ππy3sin2x的图像向右平移个单位,则其表达式为f(x)3sin2(x),其图像不是C,则③错误.
338.将函数f(x)2sin(2x)的图像向右平移(0)个单位,再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的
π41π倍,所得图像关于直线x对称,则的最小正值为( ) 24A.π
18B.
1π 2C.
3π 4D.π
38【答案】D
【解析】函数f(x)2sin(2x)的图像向右平移(0)个单位,
π4所得图像的表达式为y2sin[2(x)]2sin(2x2),
π4π4再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的
1倍, 2
所得图像的表达式为y2sin(4x2),
π4当3πππ,取x时,y2sin(4x2)2,则选D. 844cos2ππcos()cos()44的值为_____________.
9.计算
【答案】2 【解析】
cos2ππcos()cos()442cos2ππ2sin()cos()442cos22cos22.
πcos2sin(2)210.写出函数y2cos(2x)图像的一个对称点的坐标为___________.(写出一个即可)
π6【答案】(,0)
π3【解析】当xπππππ时,y2cos(2)0,则(,0)是函数y2cos(2x) 33663图像的一个对称点.
11.已知tan()7,cosπ45,,均为锐角. 13(1)求tan; (2)求cos().
【答案】(1)tan316;(2)cos(). 465π4π4713.
1714【解析】(1)tantan[()](2)
34(0,),(0,),∴sin,cos,
2255sin125,cos, 1313
则cos()coscossinsin16. 6512.已知函数f(x)a(2cos2xsinx)b. 2(1)当a1时,求f(x)的单调递增区间;
(2)当a0,且x[0,π]时,f(x)的值域是[3,4],求a、b的值.
【答案】(1)2kπ3ππ,2kπ,kZ;(2)a21,b3. 44【解析】(1)
πf(x)1cosxsinxb2sin(x)b1,
4∴递增区间为2kπ3ππ,2kπ,kZ. 44(2)
πf(x)a(sinxcosx)ab2asin(x)ab,
4ππ5ππ2,1], [,],∴sin(x)[42444而x[0,π],则x2aab4a21故,∴. 2)ab3b32a(213.已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,ππ)一个周期的图像如图所示. 22(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若f()f()π3π3,且0,求函数f(x)的单调增区间. 24y1O612x1
【答案】(1)f(x)sin(2xπ7π);π,kπ],kZ. (2)[kπ31212【解析】(1)由图像易知A1.
设f(x)的最小正周期为T,则
Tπππ(), 41264所以Tπ,即
2ππ,则2,则f(x)sin(2x).
则f(x)的图像可以看作是ysin2x向左平移
π个单位而得, 6那么f(x)sin[2(x)]sin(2x).
π6π3(2)由f()f()π3ππ33,可得sin(2)sin(2),
3322则2sin2cos3ππ3,则sin2,可得.
2326所以f(x)sin[2(x)]sin(2xπ6π32π), 3由2kππ2π2xπ2kπ,kZ, 2327ππxkπ,kZ, 1212解得kπf(x)的单调增区间为[kπ
7ππ,kπ],kZ. 1212
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