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非线性微分动力系统的周期波形松弛响应

来源:个人技术集锦
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西北大学学报(自然科学版) 2006年2月,第36卷第1期,Feb.,2006,Vo!.36,No.1 Journal of Northwest University(Natural science Edition) 非线性微分动力系统的周期波形松弛响应 蔺小林,白云霄,王晓琴,王玉萍 (陕西科技大学理学院,陕西成阳712081) 摘要:目的基于微分动力系统,研究其周期波形松弛响应序列收敛到周期解相对较弱的充分性务 件。方法运用微分不等式和范数理论。结果得到了当系统函数满足广义李普希兹条件及弱耗 所得定理的应用比以前的成果更加广泛。 文献标识码:A 文章编号:1000.274X(2006)01-0021-04 散条件时,波形松弛算法产生的迭代序列收敛到非线性动力系统的周期解的充分性条件,推广了这 方面相应的结论。结论关键词:非线性微分动力系统;周期响应;波形松弛 中图分类号:TM13;O241.8 考虑如下具有周期边值条件的非线性微分动力 系统: t∈[O,T],k=0,1,2,…。 此处函数 (2) (t)是初始值的一个估计并且满足 f ,£),£∈[0,71]。 【 (0)= (71), (1) R 对 ∈R”和t∈[0,71]满足F(w,w,t)=.厂(w, 周期响应_4 J。线性微分代数方程的周期响应也已 有研究 J,但对非线性微分动力系统的周期解… 问 题用波形松弛方法研究的文献还很少见。 ‘叫(0)= ‘。 (71),分裂函数F:R ×R ×[0,71]一 此处 ∈R ,.厂:R ×[0,71] R ,并且对任何 ∈R 有 ,0)=.厂( ,T)。在工程技术中经常用稳态分 析方法来求系统(1)的周期解 。],在现代雷达频率 Ic模拟和力学模型中经常用非线性微分动力系统 的两点边值问题来描述 J。从科学计算的观点来 看处理周期解的常用方法,如著名的打靶方法,是很 耗费时间的。 t)。一般情况下经常采用Jacobian或Gauss.Seide1 分裂,WR方法第一次被用来计算线性微分方程的 本文用一个较为一般的不等式及范数方法对非 线性微分动力系统的周期边值问题进行了研究,给 出了一类非线性函数满足广义李普希兹条件及弱耗 基于波形松弛(WR)方法的数值算法,非常适 用于并行处理。1982年,WR首次被用来模拟 MOSVLSI电路并被认为是分析大型动力系统的有 效技术 J。用波形松弛方法来解决非线性微分动 力系统的周期解问题的文献还不多见 J,文献 散条件时,用波形松弛(WR)算法产生的序列收敛 到系统(1)的周期解的一个充分条件,推广了文献 [10]中相应的结论。 [10]用线性算子谱理论给出了当用波形松弛算法 求解非线性动力系统周期边值问题时所产生的迭代 序列收敛到其周期解的一个充分条件。 系统(1)的WR算法是 1 引 理 在给出主要结果之前,先给f}{一个引理。 引 理设o(t)和 (t)都是[0,T]上的实值 f a :F(X(k’(£), ( ik+l’(£),£), 函数,如果 (t)满足 酬 ㈩州c), 【 (… (0)= ‘ "(T). 收稿日期:2005-05-05 基金项目:国家自然科学纂金资助项目(NSFC60472003);陕两省教育厅专项基金资助项目(04JK204);陕西科技大学研 究生创新基金资助项目 作者简介:蔺小林(1961.),男,陕西洛川人,陕西科技大学教授,从事波形松弛算法及非线性微分动力系统稳定域的计算 研究。 维普资讯 http://www.cqvip.com

一22~ 西北大学学报(自然科学版) 第36卷 (0)= 0,t∈[0,TJ, 2)对F( ,・,t)存在函数a(t)使得当t∈[0, T],l‘∈R 时,有 (F( , l,t)一F( , 2,t), l— 2)≤ a(t)I l— 2I II , 1, 2∈R , (5) 则有 (£)≤‰efoO(r)d + 』:e』 n(T)d ( )ds,£∈[0, ]。 (3) 证明 首先证明在[0,T]上当0(t)罩0且 。=0时不等式(3)成立。因为当s∈[0,7 ]时,有 ㈩ar( 一口( ) ( ))≤0, nS 因此当t E[0,T]时,有 e似 ( _口( ㈤)d = d(e 州 (s))=e 舳 (£)一IP。≤0, 从而当t∈[0,T]时有 (t)≤0。下面证明对一般情 形式(3)也成立。 令 (£)=e』 (T) 。+e Ⅱ(r)d (s)ds,£∈[0, ],容易验证函数 (t)是初值问题 _口(帅(f)州t) ( (0)= 0,t∈[0,T]) 的解。再令 (t)= (t)一 (t),有 = _(n(f) )州f))= ( f))_口( (f)≤ a(t)( (t)一 (t))=a(t) (t),t∈[0,T], 即 dx(t)≤口(£) (£) (O)=0,£∈[0, ]。 由前面的特殊情形,当t∈[0,T]时,有 (t)≤ (t),引理证毕。 注当a(t)和0(t)都是常数时,本文引理的 结论即为文献『10]中相府引珲的结论 2主要结论 令ll・II是R 内的2范数,并用(・,・)来记 内积,且对任何W∈R 有(W,W)=ll W ,对满足 条件F(W,W,t)=,(W,t)的分裂雨数F,令其满足条 件: 1)对F(・, ,t)存在非负函数L.(t),使得当t ∈[0,T], ∈R”时,有 l lF(Ul, ,t)一F( 2, ,t)II≤ ,Jl(t)l II— 2 ll,Ul, 2∈R 。 (4) 并且口(£)满足上口(t)dt<0。 不等式(4)是广义李普希兹(Lipschitz)条件, 而式(5)是弱耗散条件 。假定边值问题(1)和 (2)的每一步迭代都有周期解,有 定理1对式(1),(2), I I( +¨一 II(£)≤e』 n(f)dr(1一 (r)曲)~. fe )II )一 II( s+ 上eJ ̄sa(r)dr (s)II 一 I Is)ds, k=0,1,2,…。 (5) 证 明 首先,令E‘¨ (t): ‘¨‘ (t)一 (t)。 应用不等式(4),(5),有 ( 1)(f))= ([F(x‘ ’(t), ‘¨ (t),t)一 F(x(t)。 (t),t)],E似 (t))= ([F(x‘ ’(t), ‘¨ (t),t)一 F(x(t), ‘¨ (t),t)],E‘¨ (t))+ ([F(x(t), ‘¨ (t),t)一 F(x(t), (t),t)],E‘¨ (t))≤ £l(£)l l‘ (£)l ll lE‘ "(£)ll+ a(t)I IE ¨ (t)I I。 由于 ( 1)(f))= II£‘川 (£)II d II£‘… (£)I I对几乎所有的t E[0,T]有l lE “ (t)ll≠0,因此, 有 II 川(£)II≤ L。(£)l l‘¨ll(£)+a(£)l lE‘ ll(£)。 对此不等式,应用引理l,有 II£‘ (£)II≤eS;“‘ ’ II£‘川’(0)lI+ 』:,ef ‘T L。(s)II£‘ ll(s)ds。 (7) 上述不等式刘 l IE¨ (t)l】=0也成立。根据 边值条件II£ ll(7’)=II E ll(0),有 II£‘ (O)l】≤(1一e )。。 维普资讯 http://www.cqvip.com

第l期 蔺小林等:非线性动力系统的周期波形松弛响应 一23一 上eJ:“ L (s)ll£‘ ll( )ds, (8) 方法对非线性微分动力系统周期边值问题进行了研 究。当系统函数满足一定条件时,由波形松弛算法 ~ 从而对任何t E[0,T],有式(6)成立。 定理2对于具有分裂(2)的非线性微分动力 得到迭代序列收敛到系统的周期解,这种方法对工 程技术人员是非常有用的。 系统的边值问题(1),当函数F满足条件(4),(5), 且有 参考文献: e (1_e胁 )一 e d L (s)ds<l 0 {l圭r J 0一 (9) 时,由波形松弛算法(2)产生的迭代序列{X㈩(t)] 收敛到式(1)的周期解。 证明把式(8)代入式(7),可得 ll£(川 (t)ll≤e胁r)d (1一e肛 )~. 上eJ J ‘ t( )『I£ 『I( )ds+ 【e L1(s)ll£ ll( )ds。 (10) 定义范数ll-l l为 ll£(・)l l=。 ll£(£)l1]。 其中A为正数, 由于sup eJ。a(r)dr(1 一 (州 ), f 』 (r L。( ) 是有界的数,而 e一^‘』 e,:。 d L s e^ ds≤;{晕,0 ’ 。 其中M=sup sup 』 州 打。(s),因此在式(10)L 04 ≤r 0 f乓.r 两边同时乘以e ,再取上确界,则有 ll£“ ’(・) ≤L ll£ (-)ll , (11) 且 ● =:sup e』 Ⅱ(r) r(1—.e』:“(r) r)一1. 0≤l圭7 e ㈩打 ㈩曲L。(s) +A~sup 。 。—。(s)。 由假设(9)知,可以选取充分大的A使得L<1,此时 式(11)意味着序列{£似 (t)]收敛,从而{X (t)] 收敛到式(1)的周期解。 注当L。(t)=L。,a(t)=一L2时,定理2的条 件(9)变为L。L <1,即为文献[10]中捧论的条件, 因此推广了文献『10]中的结论 3 小 结 首先给出了一个较一般的引理,然后应用范数 APRILLE T J.TRICK T N.Steady—State analysis of non— linear Circuits with periodic inputs[J].Proc IEEE,1972, 60(1):108一ll4. [2] KUNDERT K S,WHITE J K,SANGIOVANNI-VINCEN— TELLI A.Steady—State Methods for Simulation Analog and Microwave Circuits『M].Boston:Kulwer Academic Publishers,1990. [3] KUNDERT K S.Introduction to RF simulation and its印一 plication[J].IEEE J Solid・State Cimuits,1999,34 (9):1 298-l 319. [4] LALARASMEE E,RUEHLI A,SANG10VANNI・VIN— CENTELLI A.The wavefoFin relaxation method for time —domain analysis of large scale integrated circuits[J]. 1EEE Trans CAD of IC and Sys,1982,1(3):13l一145. [5] WHITE J K.SANG10VANNI—VINCENTELLI A.Relaxa— tion Techniques for the Simulation of VLSI Circuits[M]. Boston:Kulwer Academic Publishers,1986. [6] JIANG Y L,WING O.Monotone waveform relaxation for systems of nonlinear differential—algebraic equations[J]. SIAM J Numer Anal,2000,38(1):170—185. [7] JIANG Y L,WING O.A note on convergence conditions of waveform relaxation algorithm for nonlinear differentila— algebraic equations[J].Appl Numer Math,2001,36 (2):281-297. [8] VANDEWALLE S,PIESSENS R.On dynamic iteration methods for solving time—peridoic differential equations [J].SIAM J Numer Anal,1993,30(1):286-303. [9] MARCHI S D,VIANELLO M,ZANOVELLO R.Split— ting functions and numerical analysis of WR-type methods for evolutionary and stationary problems[J].Proceedings of Symposia in Applied Mathematics,1994,48:281— 285. [1O] JIANG Y L.Periodic waveform relaxation solutions of nonlinear dynamic equations[J].App Math and Comp, 2003,135:219-226. 魏朝颖,陈斯美.避难所在年龄结构竞争模型中的稳 定性作用[J].西北大学学报:自然科学版,2005,35 (2):133—136. (编辑亢小玉) 维普资讯 http://www.cqvip.com

一24一 两北大学学报(自然科学版) 第36卷 Periodic waveform relaxation response of nonlinear diferential dynamic systems LIN Xiao—lin,BAI Yun-xiao,WANG Xiao—qin,WANG Yu—ping (Faculty of Science,Shaanxi University of Science&Technology,Xianyang 712081。China) Abstract:Aim To obtain some sufifcient conditions to safeguard the convergence of waveform relaxation(WR) solutions of a dynamic system described by nonlinear ordinary differential equations with a periodic constraint. Methods Using diferential inequality and noFnl theory.Results A suficifent condition was obtained to safeguard the convergence of waveform relaxation(WR)solutions of a dynamic system described by nonlinear ordinary difer- ential equations wih a tperiodic constrain.Namely.if a basic expression of certain functions issued from the system satisfy certain conditions.the proposed WR algorithm is convergent to the exact solution.Conclusion This sufif— cient condition is more generalized than previous one. Key words:nonlinear diferential dynamic systems;periodic solutions;waveform relxataion ・学术动态・ 我校生命科学学院荣获1项陕西省科学技术奖一等奖 数由我校生命科学学院崔亚丽教授主持的磁性复合微粒的合成及其应用研究项目获2004年度陕西省 科学技术奖一等奖。 磁性复合微粒是超顺磁性纳米粒子与高分子或其他无机材料复合形成的纳米或微米级胶态颗粒。在其 表面固定酶、抗体、核酸及寡核苷酸等生物分子形成的磁性复合微粒相关产品可广泛应用于生物与医学领 域。目前,国外公司如挪威的Dynal ̄,德国Mihenyi Biotech、Boehringer Mannheim、美国的Fe ,PE,Persep— rive,瑞典的Pharmacia、法国的Estapor@、德国的Micromod ̄以及加拿大的B[ochem Immunosystem ̄等都有相 关商业化产品,以毫克或毫升为单位计量的国外产品,价格非常昂贵,国内几乎没有成熟的磁性复合微粒相 关产品,其主要原因是没有具有自主知识产权的磁性复合微粒。 本项目的关键创新点,是利用磁性纳米颗粒的可分离性和金表面生物分子的可修饰性等特点,将Fe,O 磁性粒子与金复合,得到纳米级核壳结构和微米级组装结构的Fe,0 /Au磁性复合微粒。在世界范围内,未 见此类组成及结构的磁性复合微粒及其相关产品。 本项目研究工作先后得到西安市科技计划项目、陕西省自然科学基金和国家自然科学基金的资助,自 2001年以来,相关研究成果在《中国科学》杂志发表论文3篇,目前已被《中国科学》录用和正在印刷的还有 两篇,在Biomedical Micrdevice等国内外刊物发表论文多篇;本研究工作报道3年后的2004年,日本和美国 的科学家才有类似的研究论文发表。 本项目成果形成的实验室水平的产品已经成熟,商品名金磁微粒(GoldMag ),由陕西西大北美基因股 份有限公司进行商业化生产(见陕西西大北蔓基因股份有限公司网站http://www.1ifegen.con);r金磁微粒及 其相关产品已申报6项中国国家发明专利,其中1项已经获得专利授权。此外,申报了1项美国发明专利; 相关产品已经在国内外试销。 金磁微粒是一种纳米或微米级的新型复合材料,可广泛用于细胞分选、酶的固定化、免疫检测、药物载体 及核酸的纯化与分离、肿瘤的靶向治疗、食品安全检测等方面。本项目成果拥有我国自主知识产权,与进口 产品相比,金磁微粒及其相关产品技术独特、价格合理、附加值高,具有明显的竞争优势,也具有广阔的市场 前景。 (崔延堂) 

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