非线性微分动力系统的周期波形松弛响应

西北大学学报（自然科学版）　２００６年２月，第３６卷第１期，Ｆｅｂ．，２００６，Ｖｏ！．３６，Ｎｏ．１　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　非线性微分动力系统的周期波形松弛响应　蔺小林，白云霄，王晓琴，王玉萍　（陕西科技大学理学院，陕西成阳７１２０８１）　摘要：目的基于微分动力系统，研究其周期波形松弛响应序列收敛到周期解相对较弱的充分性务　件。方法运用微分不等式和范数理论。结果得到了当系统函数满足广义李普希兹条件及弱耗　所得定理的应用比以前的成果更加广泛。　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００．２７４Ｘ（２００６）０１－００２１－０４　散条件时，波形松弛算法产生的迭代序列收敛到非线性动力系统的周期解的充分性条件，推广了这　方面相应的结论。结论关键词：非线性微分动力系统；周期响应；波形松弛　中图分类号：ＴＭ１３；Ｏ２４１．８　考虑如下具有周期边值条件的非线性微分动力　系统：　ｔ∈［Ｏ，Ｔ］，ｋ＝０，１，２，…。　此处函数　（２）　（ｔ）是初始值的一个估计并且满足　ｆ　，￡），￡∈［０，７１］。　【　（０）＝　（７１），　（１）　Ｒ　对　∈Ｒ”和ｔ∈［０，７１］满足Ｆ（ｗ，ｗ，ｔ）＝．厂（ｗ，　周期响应＿４　Ｊ。线性微分代数方程的周期响应也已　有研究　Ｊ，但对非线性微分动力系统的周期解…　问　题用波形松弛方法研究的文献还很少见。　‘叫（０）＝　‘。　（７１），分裂函数Ｆ：Ｒ　×Ｒ　×［０，７１］一　此处　∈Ｒ　，．厂：Ｒ　×［０，７１］　Ｒ　，并且对任何　∈Ｒ　有　，０）＝．厂（　，Ｔ）。在工程技术中经常用稳态分　析方法来求系统（１）的周期解　。］，在现代雷达频率　Ｉｃ模拟和力学模型中经常用非线性微分动力系统　的两点边值问题来描述　Ｊ。从科学计算的观点来　看处理周期解的常用方法，如著名的打靶方法，是很　耗费时间的。　ｔ）。一般情况下经常采用Ｊａｃｏｂｉａｎ或Ｇａｕｓｓ．Ｓｅｉｄｅ１　分裂，ＷＲ方法第一次被用来计算线性微分方程的　本文用一个较为一般的不等式及范数方法对非　线性微分动力系统的周期边值问题进行了研究，给　出了一类非线性函数满足广义李普希兹条件及弱耗　基于波形松弛（ＷＲ）方法的数值算法，非常适　用于并行处理。１９８２年，ＷＲ首次被用来模拟　ＭＯＳＶＬＳＩ电路并被认为是分析大型动力系统的有　效技术　Ｊ。用波形松弛方法来解决非线性微分动　力系统的周期解问题的文献还不多见　Ｊ，文献　散条件时，用波形松弛（ＷＲ）算法产生的序列收敛　到系统（１）的周期解的一个充分条件，推广了文献　［１０］中相应的结论。　［１０］用线性算子谱理论给出了当用波形松弛算法　求解非线性动力系统周期边值问题时所产生的迭代　序列收敛到其周期解的一个充分条件。　系统（１）的ＷＲ算法是　１　引　理　在给出主要结果之前，先给ｆ｝｛一个引理。　引　理设ｏ（ｔ）和　（ｔ）都是［０，Ｔ］上的实值　ｆ　ａ　：Ｆ（Ｘ（ｋ’（￡），　（　ｉｋ＋ｌ’（￡），￡），　函数，如果　（ｔ）满足　酬　㈩州ｃ），　【　（…　（０）＝　‘　＂（Ｔ）．　收稿日期：２００５－０５－０５　基金项目：国家自然科学纂金资助项目（ＮＳＦＣ６０４７２００３）；陕两省教育厅专项基金资助项目（０４ＪＫ２０４）；陕西科技大学研　究生创新基金资助项目　作者简介：蔺小林（１９６１．），男，陕西洛川人，陕西科技大学教授，从事波形松弛算法及非线性微分动力系统稳定域的计算　研究。　维普资讯 http://www.cqvip.com

一２２～　西北大学学报（自然科学版）　第３６卷　（０）＝　０，ｔ∈［０，ＴＪ，　２）对Ｆ（　，・，ｔ）存在函数ａ（ｔ）使得当ｔ∈［０，　Ｔ］，ｌ‘∈Ｒ　时，有　（Ｆ（　，　ｌ，ｔ）一Ｆ（　，　２，ｔ），　ｌ—　２）≤　ａ（ｔ）Ｉ　ｌ—　２Ｉ　ＩＩ　，　１，　２∈Ｒ　，　（５）　则有　（￡）≤‰ｅｆｏＯ（ｒ）ｄ　＋　』：ｅ』　ｎ（Ｔ）ｄ　（　）ｄｓ，￡∈［０，　］。　（３）　证明　首先证明在［０，Ｔ］上当０（ｔ）罩０且　。＝０时不等式（３）成立。因为当ｓ∈［０，７　］时，有　㈩ａｒ（　一口（　）　（　））≤０，　ｎＳ　因此当ｔ　Ｅ［０，Ｔ］时，有　ｅ似　（　＿口（　㈤）ｄ　＝　ｄ（ｅ　州　（ｓ））＝ｅ　舳　（￡）一ＩＰ。≤０，　从而当ｔ∈［０，Ｔ］时有　（ｔ）≤０。下面证明对一般情　形式（３）也成立。　令　（￡）＝ｅ』　（Ｔ）　。＋ｅ　Ⅱ（ｒ）ｄ　（ｓ）ｄｓ，￡∈［０，　］，容易验证函数　（ｔ）是初值问题　＿口（帅（ｆ）州ｔ）　（　（０）＝　０，ｔ∈［０，Ｔ］）　的解。再令　（ｔ）＝　（ｔ）一　（ｔ），有　＝　＿（ｎ（ｆ）　）州ｆ））＝　（　ｆ））＿口（　（ｆ）≤　ａ（ｔ）（　（ｔ）一　（ｔ））＝ａ（ｔ）　（ｔ），ｔ∈［０，Ｔ］，　即　ｄｘ（ｔ）≤口（￡）　（￡）　（Ｏ）＝０，￡∈［０，　］。　由前面的特殊情形，当ｔ∈［０，Ｔ］时，有　（ｔ）≤　（ｔ），引理证毕。　注当ａ（ｔ）和０（ｔ）都是常数时，本文引理的　结论即为文献『１０］中相府引珲的结论　２主要结论　令ｌｌ・ＩＩ是Ｒ　内的２范数，并用（・，・）来记　内积，且对任何Ｗ∈Ｒ　有（Ｗ，Ｗ）＝ｌｌ　Ｗ　，对满足　条件Ｆ（Ｗ，Ｗ，ｔ）＝，（Ｗ，ｔ）的分裂雨数Ｆ，令其满足条　件：　１）对Ｆ（・，　，ｔ）存在非负函数Ｌ．（ｔ），使得当ｔ　∈［０，Ｔ］，　∈Ｒ”时，有　ｌ　ｌＦ（Ｕｌ，　，ｔ）一Ｆ（　２，　，ｔ）ＩＩ≤　，Ｊｌ（ｔ）ｌ　ＩＩ—　２　ｌｌ，Ｕｌ，　２∈Ｒ　。　（４）　并且口（￡）满足上口（ｔ）ｄｔ＜０。　不等式（４）是广义李普希兹（Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ）条件，　而式（５）是弱耗散条件　。假定边值问题（１）和　（２）的每一步迭代都有周期解，有　定理１对式（１），（２），　Ｉ　Ｉ（　＋¨一　ＩＩ（￡）≤ｅ』　ｎ（ｆ）ｄｒ（１一　（ｒ）曲）～．　ｆｅ　）ＩＩ　）一　ＩＩ（　ｓ＋　上ｅＪ￣ｓａ（ｒ）ｄｒ　（ｓ）ＩＩ　一　Ｉ　Ｉｓ）ｄｓ，　ｋ＝０，１，２，…。　（５）　证　明　首先，令Ｅ‘¨　（ｔ）：　‘¨‘　（ｔ）一　（ｔ）。　应用不等式（４），（５），有　（　１）（ｆ））＝　（［Ｆ（ｘ‘　’（ｔ），　‘¨　（ｔ），ｔ）一　Ｆ（ｘ（ｔ）。　（ｔ），ｔ）］，Ｅ似　（ｔ））＝　（［Ｆ（ｘ‘　’（ｔ），　‘¨　（ｔ），ｔ）一　Ｆ（ｘ（ｔ），　‘¨　（ｔ），ｔ）］，Ｅ‘¨　（ｔ））＋　（［Ｆ（ｘ（ｔ），　‘¨　（ｔ），ｔ）一　Ｆ（ｘ（ｔ），　（ｔ），ｔ）］，Ｅ‘¨　（ｔ））≤　￡ｌ（￡）ｌ　ｌ‘　（￡）ｌ　ｌｌ　ｌＥ‘　＂（￡）ｌｌ＋　ａ（ｔ）Ｉ　ＩＥ　¨　（ｔ）Ｉ　Ｉ。　由于　（　１）（ｆ））＝　ＩＩ￡‘川　（￡）ＩＩ　ｄ　ＩＩ￡‘…　（￡）Ｉ　Ｉ对几乎所有的ｔ　Ｅ［０，Ｔ］有ｌ　ｌＥ　“　（ｔ）ｌｌ≠０，因此，　有　ＩＩ　川（￡）ＩＩ≤　Ｌ。（￡）ｌ　ｌ‘¨ｌｌ（￡）＋ａ（￡）ｌ　ｌＥ‘　ｌｌ（￡）。　对此不等式，应用引理ｌ，有　ＩＩ￡‘　（￡）ＩＩ≤ｅＳ；“‘　’　ＩＩ￡‘川’（０）ｌＩ＋　』：，ｅｆ　‘Ｔ　Ｌ。（ｓ）ＩＩ￡‘　ｌｌ（ｓ）ｄｓ。　（７）　上述不等式刘　ｌ　ＩＥ¨　（ｔ）ｌ】＝０也成立。根据　边值条件ＩＩ￡　ｌｌ（７’）＝ＩＩ　Ｅ　ｌｌ（０），有　ＩＩ￡‘　（Ｏ）ｌ】≤（１一ｅ　）。。　维普资讯 http://www.cqvip.com

第ｌ期　蔺小林等：非线性动力系统的周期波形松弛响应　一２３一　上ｅＪ：“　Ｌ　（ｓ）ｌｌ￡‘　ｌｌ（　）ｄｓ，　（８）　方法对非线性微分动力系统周期边值问题进行了研　究。当系统函数满足一定条件时，由波形松弛算法　～　从而对任何ｔ　Ｅ［０，Ｔ］，有式（６）成立。　定理２对于具有分裂（２）的非线性微分动力　得到迭代序列收敛到系统的周期解，这种方法对工　程技术人员是非常有用的。　系统的边值问题（１），当函数Ｆ满足条件（４），（５），　且有　参考文献：　ｅ　（１＿ｅ胁　）一　ｅ　ｄ　Ｌ　（ｓ）ｄｓ＜ｌ　０　｛ｌ圭ｒ　Ｊ　０一　（９）　时，由波形松弛算法（２）产生的迭代序列｛Ｘ㈩（ｔ）］　收敛到式（１）的周期解。　证明把式（８）代入式（７），可得　ｌｌ￡（川　（ｔ）ｌｌ≤ｅ胁ｒ）ｄ　（１一ｅ肛　）～．　上ｅＪ　Ｊ　‘　ｔ（　）『Ｉ￡　『Ｉ（　）ｄｓ＋　【ｅ　Ｌ１（ｓ）ｌｌ￡　ｌｌ（　）ｄｓ。　（１０）　定义范数ｌｌ－ｌ　ｌ为　ｌｌ￡（・）ｌ　ｌ＝。　ｌｌ￡（￡）ｌ１］。　其中Ａ为正数，　由于ｓｕｐ　ｅＪ。ａ（ｒ）ｄｒ（１　一　（州　），　ｆ　』　（ｒ　Ｌ。（　）　是有界的数，而　ｅ一＾‘』　ｅ，：。　ｄ　Ｌ　ｓ　ｅ＾　ｄｓ≤；｛晕，０　’　。　其中Ｍ＝ｓｕｐ　ｓｕｐ　』　州　打。（ｓ），因此在式（１０）Ｌ　０４　≤ｒ　０　ｆ乓．ｒ　两边同时乘以ｅ　，再取上确界，则有　ｌｌ￡“　’（・）　≤Ｌ　ｌｌ￡　（－）ｌｌ　，　（１１）　且　●　＝：ｓｕｐ　ｅ』　Ⅱ（ｒ）　ｒ（１—．ｅ』：“（ｒ）　ｒ）一１．　０≤ｌ圭７　ｅ　㈩打　㈩曲Ｌ。（ｓ）　＋Ａ～ｓｕｐ　。　。—。（ｓ）。　由假设（９）知，可以选取充分大的Ａ使得Ｌ＜１，此时　式（１１）意味着序列｛￡似　（ｔ）］收敛，从而｛Ｘ　（ｔ）］　收敛到式（１）的周期解。　注当Ｌ。（ｔ）＝Ｌ。，ａ（ｔ）＝一Ｌ２时，定理２的条　件（９）变为Ｌ。Ｌ　＜１，即为文献［１０］中捧论的条件，　因此推广了文献『１０］中的结论　３　小　结　首先给出了一个较一般的引理，然后应用范数　ＡＰＲＩＬＬＥ　Ｔ　Ｊ．ＴＲＩＣＫ　Ｔ　Ｎ．Ｓｔｅａｄｙ—Ｓｔａｔｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｎｏｎ—　ｌｉｎｅａｒ　Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　ｗｉｔｈ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｉｎｐｕｔｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃ　ＩＥＥＥ，１９７２，　６０（１）：１０８一ｌｌ４．　［２］　ＫＵＮＤＥＲＴ　Ｋ　Ｓ，ＷＨＩＴＥ　Ｊ　Ｋ，ＳＡＮＧＩＯＶＡＮＮＩ－ＶＩＮＣＥＮ—　ＴＥＬＬＩ　Ａ．Ｓｔｅａｄｙ—Ｓｔａｔｅ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　Ａｎａｌｏｇ　ａｎｄ　Ｍｉｃｒｏｗａｖｅ　Ｃｉｒｃｕｉｔｓ『Ｍ］．Ｂｏｓｔｏｎ：Ｋｕｌｗｅｒ　Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，１９９０．　［３］　ＫＵＮＤＥＲＴ　Ｋ　Ｓ．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｔｏ　ＲＦ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｔｓ印一　ｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｊ　Ｓｏｌｉｄ・Ｓｔａｔｅ　Ｃｉｍｕｉｔｓ，１９９９，３４　（９）：１　２９８－ｌ　３１９．　［４］　ＬＡＬＡＲＡＳＭＥＥ　Ｅ，ＲＵＥＨＬＩ　Ａ，ＳＡＮＧ１０ＶＡＮＮＩ・ＶＩＮ—　ＣＥＮＴＥＬＬＩ　Ａ．Ｔｈｅ　ｗａｖｅｆｏＦｉｎ　ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｔｉｍｅ　—ｄｏｍａｉｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｌａｒｇｅ　ｓｃａｌｅ　ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　ｃｉｒｃｕｉｔｓ［Ｊ］．　１ＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ＣＡＤ　ｏｆ　ＩＣ　ａｎｄ　Ｓｙｓ，１９８２，１（３）：１３ｌ一１４５．　［５］　ＷＨＩＴＥ　Ｊ　Ｋ．ＳＡＮＧ１０ＶＡＮＮＩ—ＶＩＮＣＥＮＴＥＬＬＩ　Ａ．Ｒｅｌａｘａ—　ｔｉｏｎ　Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ＶＬＳＩ　Ｃｉｒｃｕｉｔｓ［Ｍ］．　Ｂｏｓｔｏｎ：Ｋｕｌｗｅｒ　Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，１９８６．　［６］　ＪＩＡＮＧ　Ｙ　Ｌ，ＷＩＮＧ　Ｏ．Ｍｏｎｏｔｏｎｅ　ｗａｖｅｆｏｒｍ　ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ—ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．　ＳＩＡＭ　Ｊ　Ｎｕｍｅｒ　Ａｎａｌ，２０００，３８（１）：１７０—１８５．　［７］　ＪＩＡＮＧ　Ｙ　Ｌ，ＷＩＮＧ　Ｏ．Ａ　ｎｏｔｅ　ｏｎ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｗａｖｅｆｏｒｍ　ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ—　ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌ　Ｎｕｍｅｒ　Ｍａｔｈ，２００１，３６　（２）：２８１－２９７．　［８］　ＶＡＮＤＥＷＡＬＬＥ　Ｓ，ＰＩＥＳＳＥＮＳ　Ｒ．Ｏｎ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｔｉｍｅ—ｐｅｒｉｄｏｉｃ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　［Ｊ］．ＳＩＡＭ　Ｊ　Ｎｕｍｅｒ　Ａｎａｌ，１９９３，３０（１）：２８６－３０３．　［９］　ＭＡＲＣＨＩ　Ｓ　Ｄ，ＶＩＡＮＥＬＬＯ　Ｍ，ＺＡＮＯＶＥＬＬＯ　Ｒ．Ｓｐｌｉｔ—　ｔｉｎｇ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ＷＲ－ｔｙｐｅ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ　ａｎｄ　ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　Ｓｙｍｐｏｓｉａ　ｉｎ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９９４，４８：２８１—　２８５．　［１Ｏ］　ＪＩＡＮＧ　Ｙ　Ｌ．Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｗａｖｅｆｏｒｍ　ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｐｐ　Ｍａｔｈ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐ，　２００３，１３５：２１９－２２６．　魏朝颖，陈斯美．避难所在年龄结构竞争模型中的稳　定性作用［Ｊ］．西北大学学报：自然科学版，２００５，３５　（２）：１３３—１３６．　（编辑亢小玉）　维普资讯 http://www.cqvip.com

一２４一　两北大学学报（自然科学版）　第３６卷　Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｗａｖｅｆｏｒｍ　ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ＬＩＮ　Ｘｉａｏ—ｌｉｎ，ＢＡＩ　Ｙｕｎ－ｘｉａｏ，ＷＡＮＧ　Ｘｉａｏ—ｑｉｎ，ＷＡＮＧ　Ｙｕ—ｐｉｎｇ　（Ｆａｃｕｌｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｈａａｎｘｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉａｎｙａｎｇ　７１２０８１。Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍ　Ｔｏ　ｏｂｔａｉｎ　ｓｏｍｅ　ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｓａｆｅｇｕａｒｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｗａｖｅｆｏｒｍ　ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ（ＷＲ）　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｓｙｓｔｅｍ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ａ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ．　Ｍｅｔｈｏｄｓ　Ｕｓｉｎｇ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｎｏＦｎｌ　ｔｈｅｏｒｙ．Ｒｅｓｕｌｔｓ　Ａ　ｓｕｆｉｃｉｆｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｗａｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｔｏ　ｓａｆｅｇｕａｒｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｗａｖｅｆｏｒｍ　ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ（ＷＲ）ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｓｙｓｔｅｍ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｅｒ－　ｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｈ　ａ　ｔｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎ．Ｎａｍｅｌｙ．ｉｆ　ａ　ｂａｓｉｃ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｉｓｓｕｅｄ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｓａｔｉｓｆｙ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ＷＲ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｅｘａｃｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ　Ｔｈｉｓ　ｓｕｆｉｆ—　ｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｉｓ　ｍｏｒｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｔｈａｎ　ｐｒｅｖｉｏｕｓ　ｏｎｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ；ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｗａｖｅｆｏｒｍ　ｒｅｌｘａｔａｉｏｎ　・学术动态・　我校生命科学学院荣获１项陕西省科学技术奖一等奖　数由我校生命科学学院崔亚丽教授主持的磁性复合微粒的合成及其应用研究项目获２００４年度陕西省　科学技术奖一等奖。　磁性复合微粒是超顺磁性纳米粒子与高分子或其他无机材料复合形成的纳米或微米级胶态颗粒。在其　表面固定酶、抗体、核酸及寡核苷酸等生物分子形成的磁性复合微粒相关产品可广泛应用于生物与医学领　域。目前，国外公司如挪威的Ｄｙｎａｌ￣，德国Ｍｉｈｅｎｙｉ　Ｂｉｏｔｅｃｈ、Ｂｏｅｈｒｉｎｇｅｒ　Ｍａｎｎｈｅｉｍ、美国的Ｆｅ　，ＰＥ，Ｐｅｒｓｅｐ—　ｒｉｖｅ，瑞典的Ｐｈａｒｍａｃｉａ、法国的Ｅｓｔａｐｏｒ＠、德国的Ｍｉｃｒｏｍｏｄ￣以及加拿大的Ｂ［ｏｃｈｅｍ　Ｉｍｍｕｎｏｓｙｓｔｅｍ￣等都有相　关商业化产品，以毫克或毫升为单位计量的国外产品，价格非常昂贵，国内几乎没有成熟的磁性复合微粒相　关产品，其主要原因是没有具有自主知识产权的磁性复合微粒。　本项目的关键创新点，是利用磁性纳米颗粒的可分离性和金表面生物分子的可修饰性等特点，将Ｆｅ，Ｏ　磁性粒子与金复合，得到纳米级核壳结构和微米级组装结构的Ｆｅ，０　／Ａｕ磁性复合微粒。在世界范围内，未　见此类组成及结构的磁性复合微粒及其相关产品。　本项目研究工作先后得到西安市科技计划项目、陕西省自然科学基金和国家自然科学基金的资助，自　２００１年以来，相关研究成果在《中国科学》杂志发表论文３篇，目前已被《中国科学》录用和正在印刷的还有　两篇，在Ｂｉｏｍｅｄｉｃａｌ　Ｍｉｃｒｄｅｖｉｃｅ等国内外刊物发表论文多篇；本研究工作报道３年后的２００４年，日本和美国　的科学家才有类似的研究论文发表。　本项目成果形成的实验室水平的产品已经成熟，商品名金磁微粒（ＧｏｌｄＭａｇ　），由陕西西大北美基因股　份有限公司进行商业化生产（见陕西西大北蔓基因股份有限公司网站ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．１ｉｆｅｇｅｎ．ｃｏｎ）；ｒ金磁微粒及　其相关产品已申报６项中国国家发明专利，其中１项已经获得专利授权。此外，申报了１项美国发明专利；　相关产品已经在国内外试销。　金磁微粒是一种纳米或微米级的新型复合材料，可广泛用于细胞分选、酶的固定化、免疫检测、药物载体　及核酸的纯化与分离、肿瘤的靶向治疗、食品安全检测等方面。本项目成果拥有我国自主知识产权，与进口　产品相比，金磁微粒及其相关产品技术独特、价格合理、附加值高，具有明显的竞争优势，也具有广阔的市场　前景。　（崔延堂）