第２７卷第３期 ２Ｏ１０年Ｏ６月 工 程 数 学 学 报 ｖ０１．２７ Ｎｏ．３ Ｊｕｎｅ ２０１０ ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ 文章编￣－：１００５—３０８５（２０１０）０３—０４７９—０８ 非线性微分动力系统稳定域计算的波形松弛方法术 蔺小林 （西安交通大学理学院，西安７１００４９） 摘要：非线性微分动力系统稳定域计算是在许多领域具有实际应用的问题。本文对非线性微分动力系统 稳定域的计算方法进行了总结，通过对稳定域边界流形的全面分析，提出了用波形松弛方法计算 稳定域边界流形的思想，给出了计算稳定域边界流形的波形松弛算法。第一步，找出微分动力系 统的所有平衡点，确定渐近稳定平衡点稳定域边界上的平衡点；第二步，用微分动力系统的反方 向系统确定原系统渐近稳定平衡点稳定域边界上平衡点的稳定流形；第三步，渐近稳定平衡点稳 定域的边界是由边界上平衡点和该平衡点稳定流形的并集构成。最后用例子来说明波形松弛方法 在计算稳定域边界流形的有效性。 关键词：非线性微分动力系统：稳定域；波形松弛方法 分类号：ＡＭＳ（２０００１ ６５Ｌ０７ 中图分类号：Ｏ１７５．１４ 文献标识码：Ａ １ 引言 非线性微分动力系统平衡点的稳定域ｆ或称为吸引域）在诸如电力系统，经济系统，生 物系统等方面都有非常重要的应用。从应用的观点来看希望得到最大的稳定域，这样在 电力系统的设计【 】及相关参数的选取中可以节省由于不必要的过保护设计而产生的浪费。 同样在经济系统、化学反应器、生物系统ｆ２】等方面可以节省大量的人力物力，实现最大 的经济效益。确定稳定域的方法有Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数方法、拓扑动力系统方法和其它数值方 法等，此方面比较早的综述文章有Ｇｅｎｅｓｉｏ，Ｔａｒｔａｇｌｉａ，Ｖｉｃｉｎｏ［３Ｊ和Ｖａｒａｉｙａ，Ｗｕ，Ｃｈｅｎ［４】， 他ｉｔ＂］总结了二十世纪八十年代以前稳定域的研究工作，给出了计算稳定域的方法和所 取得的成果，同时基于轨线的拓扑结构提出了“轨线逆转”方法。Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数方法就 是通过对所研究的微分系统构造相应的Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，应用稳定性方面的结论得到系统 渐近稳定平衡点的稳定域，这种稳定域具有较大的保守性，通常是稳定域的子域，如 通过对Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数进行逐次迭代来得到稳定域的一部分以及通过构造最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ函 数方法［ ］来得到稳定域等。最近，Ｃｈｅｓｉ［６，７］提出了用一系列连续Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数而不是一 个Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数来估计多项式微分系统的稳定域。拓扑动力系统方法主要是基于微分拓 扑和动力系统的基本理论，在相空间对轨线的全局结构进行分析，进而给出稳定域的计算 方法，Ｃｈｉａｎｇ，Ｈｉｒｓｃｈ和Ｗｕ［８】，Ｃｈｉａｎｇ和Ｔｈｏｒｐ［９ｊ，Ｌｅｅ和Ｃｈｉａｎｇ［１０】以及Ｚａｂｏｒｓｚｋｙ，Ｈｕａｎｇ， Ｚｈｅｎｇ和Ｌｅｕｎｇ［１１］等从拓扑动力学的观点出发对稳定域进行了深入研究，取得了显著的结果。 计算稳定域还有其他方法，如能量函数方法、数值方法等。 波形松弛方法是微分方程数值解法，它将整个微分系统分成若干个子系统，各自独立进行 仿真计算，子系统之间的耦合关系通过子系统中的一些波形信号的相互传递来实现，在系统之 收稿日期：２００８—０３—０７．作者简介：蔺小林（１９６１年６月生），男，教授．研究方向：微分动力系统稳定域计算 基金项目：国家自然科学基金（１０７７１１６８）． 工 程 数 学 学 报 第２７卷 间联系相对较弱的情况下，比较容易得到收敛结果。 本文对微分动力系统的稳定域进行了综合分析，得到微分动力系统一个渐近稳定平衡点稳 定域的边界是由闭轨线或由不稳定平衡点以及该不稳定平衡点的稳定或不稳定流形构成。基于 这些结果给出了寻找稳定域边界流形的波形松弛数值算法，并用例子说明波形松弛方法在计算 稳定域边界流形的有效性。 ２ 动力系统基本概念与波形松驰算法 对于非线性自治微分动力系统 警： ）出 、 ， ：一 （１） （２） ）， 其中Ｘ∈Ｍ ｃ Ｒ ，ｆ：Ｍ—Ｍ，我们假设向量场．厂是连续函数并且对其变量具有一阶连续偏 导数，以保证系统（１）和（２）解的存在唯一性，在相同时间变化情况下，系统（１）和（２）的轨线 走向方向相反，因此称系统（２）为系统（１）的反方向系统。 方程 ｆ（ｘ）＝０ （３） 的一个解称为系统（１）的一个平衡点，我们用集合Ｅ＝｛ ：．厂 ）＝０｝来表示系统（１）的平衡点 集合，Ｅ中既有孤立点也可能含有连续可微闭轨线。 在局部坐标系下，如果在平衡点Ｘ 处的雅可比矩阵 ．，的特征值没有零实部，则称平 衡点 为系统（１）的双曲平衡点。对一个双曲平衡点Ｘ ，可以把系统（１）在点 处的切空 间 （Ｍ）唯一地分解成两个子空间 和Ｅ“的直和，即Ｅ ０ Ｅ“，每个子空间在线性算 子 ，下是不变的。对于Ｅ 来说， ，的特征值具有负实部；对于Ｅ 来说，厶 ，的特征值 具有正实部。记Ｅｓ的维数为ｎ ，记Ｅ“的维数为礼 子空间Ｅｓ和Ｅｕ可表示如下 稳定的子空间 Ｅ ＝ｓｐａｎ｛ｖ ，Ｖ ，…，ｖｎａ）， 不稳定的子空间Ｅ“＝ｓｐａｎ｛ｗ ，Ｗ ，．一，Ｗ ｕ） 这里Ｖ ，ｕ。，…，Ｖ 是佗 个（正交化）特征向量，它们的特征值具有负实部， 是ｎ 个（正交化）特征向量，它们的特征值具有正实部，显然ｎ ＋ｎ ＝ｎ。 对系统（１），称平衡点ｘ 为ｎ 型。一个零型的平衡点称为汇，一个ｎ型的平衡点称为源， 其它型的平衡点称为鞍点，显然汇是渐近稳定的平衡点，源和鞍点是不稳定的平衡点。 设圣是一个双曲平衡点，它的稳定流形 。（圣）和不稳定流形 “（ ）定义如下 （ ）＝｛ Ｅ Ｍ：Ｏｔ（ｘ）一圣，当ｔ一＋。。）， （４） “（岔）＝（ Ｅ Ｍ：西ｔ（ ）一圣，当ｔ一一。。）． 类似地，一个双曲型闭轨 的稳定流形 （７）和不稳定流形 “ ）定义如下 （７）＝｛ Ｅ Ｍ：Ｏｔ（ｘ）一７，当ｔ一＋。ｏ）， “（７）＝｛ ∈Ｍ：西ｔ（ ）一，ｙ，当ｔ一一。。｝． （５） （６） （７） 第３期 蔺小林：非线性微分动力系统稳定域计算的波形松弛方法 ４８１ 由于流圣￡（．）临界元素的稳定流形对应于 一ｃ（．）临界元素的不稳定流形，通过这种性质可 以把稳定流形的性质转换为不稳定流形的性质。对于一个集Ｓｃ ，如果从 中出发的 微分动力系统（１）的每一条轨线对任何时刻ｔ始终属于Ｓ，则称 为（１）的不变集。显然集 合 ｓ（．）和 “（．）都是（１）的不变集。 轨线的无穷远性质可以用它的 一极限集和 一极限集来研究。如果存在 中的时问序 列｛￡ｉ，，当ｔ 一＋。。时，使得 Ｙ＝．１ｉｒａｔｔ—＋ｏ。 ． ｔｔ（ ）， 则称Ｙ属于 的 一极限集（记为 （ ））。类似地，Ｑ一极限集Ｑ（ ）由ｔｔ一一。。来定义。可以证明 这些极限集是集合Ｍ的闭不变子集。例如，一个平衡点是它自己的ｕ一极限集，轨线的ｕ一极 限集在它的稳定流形内，轨线的ａ一极限集属于它的不稳定流形。一个闭轨 既是 上任何点 的 极限集，也是 上任何点的ＯＬ一极限集。 横截性的概念是动力系统的基本概念，如果４，Ｂ是 中的单射浸入流形，且满足在每一 点 ∈ＡｎＢ处， 和Ｂ的切空间张成ｚ处Ｍ的切空间，即 （Ａ）＋ （Ｂ）＝ （Ｍ）， ∈Ａ ｎ Ｂ， 或 ， 完全不相交，则称 和Ｂ满足横截性条件。 个双曲平衡点 的重要特性之一就是它的稳定和不稳定流形在 处横截相交。横截相交 ～的重要性是由于在向量场的扰动下它保持不变。 对系统（１）和系统（２）作如下假设： Ａ１１稳定边界上的所有平衡点是双曲型； Ａ２１在稳定边界上所有平衡点的稳定和不稳定流形满足横截相交条件； Ａ３１稳定边界上每条轨线当ｔ一。ｏ时趋于平衡点之一。 考虑微分方程的初值问题 ）， （８） Ｉ ｘ（ｔｏ）＝Ｘ０，ｔ∈［ｔｏ， ， 其中，：［ｔｏ，Ｔ］× 一Ｒ ， ∈ ，假设 满足解的存在唯一性条件。 微分动力系统（８）一般的波形松弛迭代格式为 １）（ ））｛ （９１ Ｉ （ ＋ ）（ｔｏ）＝Ｘ０，ｔ∈［ｔｏ， ］， 此处函数Ｆ满足 Ｆ：［ｔｏ，Ｔ］×Ⅱ ×Ⅱ 一Ⅱ “， Ｆ（ｔ， ， ）：ｆ（ｔ， ）． 用波形松弛方法来计算微分动力系统初值问题已有许多较好的结论，Ｊｉａｎｇ［１２，１３】和Ｇａｎｄｅｒ， Ｒｕｅｈｌｉ［１４１等用波形松弛方法研究了微分动力系统初值问题，给出了迭代格式收敛的充分性条 件，用波形松弛方法、单调波形松弛方法和Ｋｒｙｌｏｖ子空间波形松弛方法等对微分动力系统初 值问题以及周期边值问题进行了研究，得到了迭代序列收敛及单调收敛的充分性条件，这些充 分性条件保证本文用波形松弛方法计算微分动力系统一个渐近稳定平衡点稳定域边界流形算法 的收敛性。 ４８２ 工 程 数 学 学 报 第２７卷 ３ 确定稳定域边界流形的波形松弛算法 根据渐近稳定平衡点稳定域边界流形的结构特征，在假设条件Ａ１）到Ａ３）成立情况下，有 如下计算稳定域边界的波形松弛算法。 算法确定渐近稳定平衡点Ｘ 的稳定域边界ＯＡ（ｘ ）。 第１步：找出系统（１）的所有平衡点，确定渐近稳定平衡点Ｘ。稳定域边界上的平衡点； 第２步：用系统（２）确定系统（１）渐近稳定平衡点 。稳定域边界上这些平衡点的稳定流形： 第３步：渐近稳定平衡点Ｘ 稳定域的边界是由第２步确定的平衡点和该平衡点稳定流形的 并集构成。 算法中第１步包括找出ｆ（ｚ）＝０的所有解。第２步可以用波形松弛方法来完成，过程如 下： 首先，确定系统（１）渐近稳定平衡点Ｘ 稳定域边界上的平衡点。 ｉ）找出系统（１）的所有平衡点，零型平衡点记为Ｘ ，否则记为岔 ，并求出系统（１）在平衡 点圣ｔ处的雅可比矩阵； ｉｉ）找出雅可比矩阵具有正实部特征值且具有单位长度的不稳定特征向量，记为Ｙｉ； ｉｉｉ）找出这些具有单位长度的不稳定特征向量 和平衡点岔 的Ｅ一球边界的每一个交截（交 截点是 ＋ｅｙｉ和 ｉ一￡ ）； ｉｖ）从每个交截点开始对系统（２）用波形松弛方法计算积分轨线到某一步，如果轨线 保留在这个￡．球内，则进行下一步；否则，用 Ｅ代替Ｅ，相应的交截点为幺士ｏｌ￣ｙｉ，此 处０＜ｏｌ＜１，重复这一步； ｖ）从这些交截点开始用波形松弛方法计算积分轨线： ｖｉ）重复ｉｊｉ）到ｖ）步。如果任何轨线趋于Ｘ ，则平衡点在稳定域边界上。 其次，确定系统（１）渐近稳定平衡点 稳定域边界上平衡点的稳定流形。 对平面系统，稳定域边界上平衡点的类型是一个鞍点或两个源。在这种情型下，１．型平衡 点的稳定流形是一维，它可以用波形松弛方法确定如下： ａ）找出在平衡点圣处雅可比矩阵单位长度的稳定特征向量Ｙ； ｂ）找出这个单位长度的稳定特征向量Ｙ与平衡点岔的 一球边界的交截（交截点为仝＋ 和仝一ｃｙ）； Ｃ）从这些交截点开始对系统（２）用波形松弛方法计算向量场的积分轨线到某一步。如果轨 线保留在这个￡一球内，则进行下一步；相反，我们用ＯｌＥ代替￡，相应的交截点为 士ｏｉｌｙ，此 处０＜Ｏｌ＜１，重复这一步； ｄ）从这些交截点开始对系统（２）用波形松弛方法计算积分轨线； ｅ）所得轨线是系统（２）平衡点的不稳定流形。 对高维系统，计算过程类似于上述过程，计算结果能提供渐近稳定平衡点稳定域边界的稳 定流形轨线集。 注如果系统（１）只有一个渐近稳定平衡点，则在该平衡点较远处取几个点，从这些点处开 始用波形松弛方法计算积分轨线，可以得到渐近稳定平衡点稳定域边界。 ４ 数值算例 例１考虑如下系统【８】 第３期 蔺小林：非线性微分动力系统稳定域计算的波形松弛方法 ｄＸｌ ＝ ’ ｄＸｌ ’ （１０） （１１） 容易得到系统（１０）的两个平衡点（０，０）和（１，２），其中（０，０）是渐近稳定平衡点，而（１，２）是１－型 平衡点，其部分不稳定流形收敛到平衡点（０，０）。对系统（１１）在点（１，２）处，由于 Ｏｆ ０，２）＝（２ ）ｊ（１ｊ （ 特征值Ａ１＝ 所对应的单位特征向量为Ｑ１＝（一１／３，ｖ￣／３）Ｔ，特征值Ａ２＝一 所对应的单 位特征向量为ＯＬ２：（１／３， ／３） ，取ｅ＝０．１，则在点 （ （０ ， ）＝（０．９６６６６７，２．０４７１３３）和（面（０ ， ’）＝（１．０３３３３３，１．９５２８６７） 处用波形松弛方法对系统（ｉｉ）进行求解，其雅可比迭代格式为 ｆ 一 卅 ，， ｌ ： 一 ，七 １）２，…． 画出轨线图如图１所示，其中虚线为用波形松弛方法计算出的系统（１０）渐近稳定平衡 点（０，０）的稳定域边界流形，所得稳定域与系统实际稳定域相同。 一 ———— ＼＼、＼＇｝——————一 —／。 图１： 系统（１０）渐近稳定平衡点（０，０）的稳定域 例２考虑如下系统ｆ３，ｓｌ Ｉ， 一卅 Ｉ ｄｘ２：０ 一２ｍ 一 －－Ｏ．１ｘ１３， （１２） 工 程 数 学 学 报 第２７卷 （１ｘ１ ＿ｄｔ 二１一 ２， ｌ＋２．。 ２＋ ＋０．１ｘ３・ （１３） ｄｘ２＝一 系统有三个平衡点：（０，０）是系统（１２）的局部渐近稳定平衡点，（一２．５５，。２．５５）是系统（１２）的 １一型平衡点，（一７．４５，一７．４５）是系统（１２）的局部渐近稳定平衡点。对于系统（１３）在点（－２・５５，－２．５５） 处，由于 、 ， ＼ ｏｆ ｌ 一 ＝． ，一 ．（一。． ＋２ １ ＋。．３ ２－．。１）ｊ 一。． 。，一 ． （一３． ９２５－２１）， 特征值 １：３．３７０６２８所对应的特征向量为 １：（１，一２．３７０６２８） ，特征值 ２＝一０・３７０６２８所对 应的特征向量为ａ２＝（１，０．６２９３７２）Ｔ，取Ｅ＝０．１，则在点 ）， ：（－２．４５００００，一２．８２３０６３）和（童（０ ， ）＝（－２．６５００００，一２．３１２９３７） 处用波形松弛方法对系统（１３）进行求解，其雅可比迭代格式为 ｆ ： ｉ ，， ｌ ｄｘ（ｋ＋１）－０．１ｘ￣州）＋２ｍ ＋（ｚ ＋０．１（ ， １ｊ２，…・ 画出轨线图如图２所示，其中虚线为用波形松弛方法计算出的系统（１２）渐近稳定平衡点 的（０，０）和（一７．４５， ７．４５）的稳定域边界流形，所得稳定域与系统实际稳定域相同。 ｙ 图２： 系统０２）渐近稳定平衡点（０，０）和（一７．４５，一７．４５）的稳定域 例３考虑Ｖａｎ ｄｅｒ ｐｏｌ振子方程［。 ｄ １ —ｄ—ｔ —一 。， （１４） ｄｘ２———ｄ ｔ ： １＋ （＋Ａ【 一Ｊ、 ｉ一１）Ｘ２，一 ， （１５） ｄｘ２－面Ｘｌ－－）￣（ｚ ＿１） 第３期 蔺小林：非线性微分动力系统稳定域计算的波形松弛方法 系统仅有一个平衡点（０，０），取参数 ＝１，在（０，０）较远处取一点（ｘ７ ， ），比如（－１．８，０．３）， 从此点开始对系统（１５）用波形松弛方法求解，其雅可比迭代格式为 ｆ ｄｘ￣ｋ ＋１）： ， 【 ｄｘ（ｋ＋１）：一 ； ）＋ ＋¨一（ ｉ ） ， ：。，１，２，…． 图３： ＝ｌ时系统（１４）渐近稳定平衡点（０，０）的稳定域 ５ 小结 我们用波形松弛方法计算了微分动力系统渐近稳定平衡点稳定域的边界流形，得到了渐近 稳定平衡点的稳定域，由于已经得到微分代数系统多指标【１５，１６，１８］以及泛函微分方程【ｌ７】波形松 弛算法的收敛性结论，我们可以尝试用波形松弛方法计算微分代数系统（含多指标）以及泛函微 分方程的稳定域或者收敛域问题。 参考文献： ［１】Ｐｒａｐｒｏｓｔ Ｋ Ｌ，Ｌｏｐａｒｏ Ｋ Ａ．Ａ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｐｏｗｅｒ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ】．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９９６，４１（１１）：１６０５—１６１７ 【２】Ｒａｔｌｅｄｇｅ Ｃ，Ｋｒｉｓｔｉａｎｓｅｎ Ｂ．Ｂａｓｉｃ Ｂｉｏｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，２００１ 【３】Ｇｅｎｅｓｉｏ Ｒ，Ｔａｒｔａｇｌｉａ Ｍ，Ｖｉｃｉｎｏ Ａ．Ｏｎ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｙｍｐｔａｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｒｅｇｉｏｎｓ：ｓｔａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｒｔ ａｎｄ ｎｅｗ ｐｒｏｐｏｓａｌｓ［Ｊ】．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９８５，ａｃ一３（８）：７４７—７５５ 【４】Ｖａｒａｉｙａ Ｐ，Ｗｕ Ｆ Ｆ，Ｃｈｅｎ Ｒ Ｌ．Ｄｉｒｅｃｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｒａｎｓｉｅｎｔ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｐｏｗｅｒ ｓｙｓｔｅｍｓ：ｒｅｃｅｎｔ ｒｅｓｕｌｔｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ＩＥＥＥ，１９８５，７３：１７０３－１７１５ 【５】Ｖａｎｎｅｌｌｉ Ａ，Ｖｉｄｙａｓａｇａｒ Ｍ．Ｍａｘｉｍａｌ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｄｏｍａｉｎｓ ｏｆ ａｔｔｒｃｔｉａｏｎ ｆｏｒ ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｎｏｎ— ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，１９８５，２１：６９—８０ 【６】Ｃｈｅｓｉ Ｇ．Ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｏｆ ａｔｔｒａｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，２００４，４０： １９８１—１９８６ 【７】Ｃｈｅｓｉ Ｇ．Ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｏｆ ａｔｔｒａｃｔｉｏｎ ｖｉａ ｕｎｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ［Ｊ］． Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２００７，５６：３２６ ３３３ 工 程 数 学 学 报 第２７卷 【８】Ｃｈｉａｎｇ Ｈ Ｄ，Ｈｉｒｓｃｈ Ｍ，Ｗｕ Ｆ Ｆ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｒｅｇｉＯＩｌＳ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９８８，３３：１６—２７ 【９】Ｃｈｉａｎｇ Ｈ Ｄ，Ｔｈｏｒｐ Ｊ Ｓ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ：ａ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９８９，ａｃ一３４：１２２９—１２４１ 【１０】Ｌｅｅ Ｊ，Ｃｈｉａｎｇ Ｈ Ｄ．Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｒｅｇｉｏｎ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏ ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉ— ｃａｔｉｏｎ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｓａｔｉｓｆｃｔａｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ１．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓｃｔａｉｏｎｓ ｏｎ Ｃｉｒｃｕｉｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｉ：Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００２，４９（２）：１９６－２０９ ［１１】Ｚａｂｏｒｓｚｋｙ Ｊ，Ｈｕａｎｇ Ｇ，Ｚｈｅｎｇ Ｂ，ｅｔ ａ１．Ｏｎ ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｐｏｒｔｒａｉｔ ｏｆ ａ ｃｌｓｓａ ｏｆ ｌａｒｇｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９８８，３３：４－１５ ［１２】Ｊｉａｎｇ Ｙ Ｌ，Ｃｈｅｎ Ｒ Ｍ Ｍ，Ｗａｎｇ Ｏ．Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］． ＩＥＥＥ ｒａｎｓＴａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｃｉｒｃｕｉｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｉ：Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００１，４８（１１）：１３４ １３４７ 【１３］Ｊｉａｎｇ Ｙ Ｌ．Ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｗａｖｅｏｒｆｍ ｒｅｌｘａｔａｉｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈ－ ｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００３，１３５（２—３）：２１９－２２６ ｆ１４１ Ｇａｎｄｅｒ Ｍ，Ｒｕｅｈｌｉ Ａ Ｅ．Ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ ｗａｖｅｆｏｒｍ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｒｆ ＲＣ ｔｙｐｅ ｃｉｒｃｕｉｔｓ［Ｊ１．ＩＥＥＥ ｒａｎｓＴａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｃｉｒｃｕｉｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｉ：Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００４，５１（４）：７５５—７６８ 【１５】李宝成，蒋耀林．关于动力学系统伪谱与扰动系统谱之间关系的研究［Ｊ］．工程数学学报，２００４，２１（６）：９３６—９４０ Ｌｉ Ｂ Ｃ，Ｊｉａｎｇ Ｙ Ｌ．Ａ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ ｆｏｒ ｐｓｅｕｄ０ｓｐｅｃｔｒａ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ ｓｐｅｃｔｒａ ｏｆ ｉｔｓ ｐｅｒｔｕｒｂｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ［ＪＪ．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００４，２１（６）：９３６—９４０ 『１６１孙卫，樊晓光，李立．关于微分．代数系统Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ迭代方法的研究［Ｊ］．工程数学学报，２００５，２２（６）：１０７０． １０７５ Ｓｕｎ Ｗ，Ｆａｎ Ｘ Ｇ，Ｌｉ Ｌ．Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ＤＡＥｓ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００５，２２（６）：１０７０—１０７５ ［１７］王宇莹，赵炜，王峰．一类泛函微分代数系统的波形松弛方法［Ｊ］．工程数学学报，２００６，２３（１）：７１—７９ Ｗａｎｇ Ｙ Ｙ，Ｚｈａｏ Ｗ，Ｗａｎｇ Ｆ．Ｔｈｅ ｗａｖｅｆｏｒｍ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ・ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｅｑｕａ－ ｔｉｏｎｓ［Ｊ】．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００６，２３（１）：７１—７９ ［１８】孙卫，邹建华，王彤．非线性指标．３微分．代数系统波形松弛算法的实现【Ｊ］．工程数学学报，２００７，２４（３）：５３９—５４２ Ｓｕｎ Ｗ，Ｚｏｕ Ｊ Ｈ，Ｗａｎｇ Ｔ．Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｉｎｇ ｗａｖｅｆｏｒｍ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ—ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆ ｉｎｄｅｘ一３［Ｊ】．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００７，２４（３）：５３９—５４２ Ｔｈｅ Ｗａｖｅｆｏｒｍ Ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｔｈｅ Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ Ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｓｙｓｔｅｍｓ ＬＩＮ Ｘｉａｏ－ｌｉｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉ’ａｎ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１００４９） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ｉｓ ａ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｍａｎｙ ｆｉｅｌｄｓ．Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｏｕｔｌｉｎｅｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｔｈｅ ａｓｙｍｐ－ ｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｂｙ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｍａｎｉｆｏｌｄｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｒｅｇｉｏｎ，ｗｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｍａｎｉｆｏｌｄｓ ｏｆ ａｓｙｍｐ￣ ｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｒｅｇｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｗａｖｅｆｏｒｍ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｏｆｆｅｒ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｆｉｎｄ ｏｕｔ ａｌｌ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｐｏｉｎｔｓ ａｎｄ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｗｈｉｃｈ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｐｏｉｎｔ ｓｔａｔｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｆ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔａｂｌｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｐｏｉｎｔ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｕｓｅ ｔｈｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒ— ｅｎｔｉａｌ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ｔｏ ｆｉｘ ｓｔａｂｌｅ ｍａｎｉｆｏｌｄｓ ｏｆ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｐｏｉｎｔ ｓｅｔｔｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ．Ｔｈｉｒｄｌｙ， ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｓｔａｂｌｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｐｏｉｎｔ ｉｓ ｃｏｍｐｏｓｅｄ ｏｆ ｓｔａｂｌｅ ｅｑｕｉ— ｌｉｂｒｉｕｍ ｐｏｉｎｔｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｓｔａｂｌｅ ｍａｎｉｆｏｌｄｓ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｆｕｒｔｈｅｒ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ；ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｗａｖｅｆｏｒｍ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ Ｒｅｃｅｉｖｅｄ：０７ Ｍａｒ ２００８． Ａｃｃｅｐｔｅｄ：０７ Ｍａｙ ２００８． Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｉｔｅｍ：Ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（１０７７１ １６８）