【苏科版】九年级数学上期中试卷(及答案)

一、选择题

1．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，掷得面朝上的点数之和是5的概率是（ ） A．

1 6B．

1 9C．

1 18D．

2 152．在一个不透明的袋子中，装有红球、黄球、篮球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出一个球，取出红球的概率为（ ） A．

1 2C．

B．

1 3D．1

1 43．从一个装有3个红球、2个白球的盒子里（球除颜色外其他都相同），先摸出一个球，不再放进盒子里，然后又摸出一个球，两次摸到的都是红球的概率是（ ） A．

1 2B．

3 5C．

1 6D．

3 104．下列说法正确的是（ ） A．“清明时节雨纷纷”是必然事件

B．要了解路边行人边步行边低头看手机的情况，可采取对在路边行走的学生随机发放问卷的方式进行调查

C．做重复试验：抛掷同一枚瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频数为550次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“凸面向上”的概率为0.55

D．射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是0.5和1.2，则运动员甲的成绩较好

5．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是（ ） A．﹣2

B．﹣3

C．2

D．3

6．某产品成本价为100万元，由于改进技术，成本连续降低，每次降低x%，连续两次降低后成本为64万元，则x的值为（ ） A．10

B．15

C．18

D．20

7．若关于x的方程ax22ax10的一个根是1，则a的值是（ ） A．1

B．1

C．1 3D．3

8．由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为x，则列方程为（ ） A．2000(1x)2420 C．2000(1x)22420

B．2000(12x)2420 D．2000(1x)22420

9．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC

交EF于点G，给出下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；其中结论正确的共有（ ）

A．4个 C．2个

B．3个 D．1个

10．如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，若将正方形AEFG绕点A旋转，则在旋转过程中，点C,E之间的最小距离为 （ ）

A．3

B．421 C．321 D．42 11．如图，AC，BD是四边形ABCD对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需要添加的条件是（ ）

A．ABCD,ABCD C．ABCD,ACBD

B．ABCD,ADBC D．ABCD,AD//BC

12．如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点B'处，当CEB'为直角三角形时，BE的长为（ ）

A．3 B．

3 2C．2或3 D．3或

3 2二、填空题

13．在一个不透明的袋子中有四个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球不放回，再随机摸取一个小球，两次摸出的小球的标号的和等于4的概率是____________．

14．一个不透明的袋子中装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量反复实验发现，摸到黄球的频率约为0.3，由此推测从这个袋中摸到红球的概率约为_____________．

15．设m、n分别为一元二次方程x23x70的两个实数根，则

2mnmn______．

16．在实数范围内分解因式:x23x1_______________________． 17．关于x的方程x210x90的实数根为______．

18．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(4，1)在AB边上，把△CDB绕点C旋转90°，点D的对应点为点D′，则OD′的长为_________．

19．将边长为2的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45到FECG的位置（如图），

EF与AD相交于点H，则HD的长为___________．（结果保留根号）

20．如图，在矩形ABCD中，AB5,BC6，点M,N分别在AD,BC上，且

AM11AD,BNBC，E为直线BC上一动点，连接DE，将DCE沿DE所在直33线翻折得到DC'E，当点C'恰好落在直线MN上时，CE的长为________．

三、解答题

21．一个不透明的口袋中装有三个除所标数字外完全相同的小球，小球上分别标有数字

1,0,1．小丽先从袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x，不放回，再从袋中

随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点M的坐标为x,y． （1）请写出点M所有可能的坐标； （2）求点M在一次函数yx图象上的概率．

22．在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，5，乙口袋中的小球上分别标有数字3，4，5，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为

n．

（1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式x27x12的值为0的概率； （2）若m，n都是方程x27x120的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程

x27x120的解时，则小张获胜；问他们两人谁获胜的概率大．

23．解下列方程： （1）2x2﹣3x﹣5＝0； （2）（x+1）2＝6x+6． 24．解方程：

（1）x22x10； （2）3x(x1)2(x1)．

25．如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB90，现将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90，得到△CBE（点A的对应点为点C），延长AE交CE于点F．

（1）如图1，求证：四边形BEFE是正方形； （2）连接DE．

①如图2，若DADE，求证：F为CE的中点； ②如图3，若AB15，CF3，试求DE的长．

26．如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，EC⊥BC与点C，连接BD、DE、AE且CE=BD，

求证：△ADE为等边三角形

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与掷得面朝上的点数之和是5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】 解：列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∵共有36种等可能的结果，掷得面朝上的点数之和是5的有4种情况， ∴掷得面朝上的点数之和是5的概率是：故选：B． 【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

41． 3692．C

解析：C

【详解】

解：∵共有4个球，红球有1个， ∴摸出的球是红球的概率是：P=故选C． 【点睛】

本题考查概率公式．

1． 43．D

解析：D 【分析】

画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】 解：画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，两次摸到的球的颜色都是红球的有6种情况， ∴两次摸到的球的颜色相同的概率为：故选：D． 【点睛】

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

3． 104．C

解析：C 【分析】

根据随机事件的概念、抽样调查的特点、方差的意义及概率公式分别判断可得． 【详解】

解：A、“清明时节雨纷纷”是随机事件，此选项错误；

B、要了解路边行人边步行边低头看手机的情况，采取对在路边行走的学生随机发放问卷的方式进行调查不具代表性，此选项错误；

C、做重复试验：抛掷同一枚瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频数为550次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“凸面向上”的概率为0.55，正确；

D、射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是0.5和1.2，则运动员甲的成绩较稳定，此选项错误；

5．B

解析：B 【分析】

直接根据根与系数的关系解答即可．

【详解】

解：∵x1、x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根， ∴x1x2=-3． 故选B． 【点睛】

本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-

bc，x1•x2=． aa6．D

解析：D 【分析】

设平均每次降低成本的百分率为x%的话，经过第一次下降，成本变为100（1-x%）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x%）（1-x%）元，根据两次降低后的成本是64元列方程求解即可． 【详解】

解：设平均每次降低成本的百分率为x%，根据题意得100（1-x%）（1-x%）=64， 解得x=20或180（不合题意，舍去） 故选：D． 【点睛】

考查了一元二次方程的应用的知识，是一道典型的数量调整问题，数量上调或下调x%后就变为原来的（1±x%）倍，调整2次就是（1±x%）2倍．

7．C

解析：C 【分析】

根据方程根的定义，回代原方程中，解关于a的方程求解即可. 【详解】 ∵

x的方程ax22ax10的一个根是1，

1， 3∴a(-1)22a(-1)10， 解得 a=故选C. 【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，熟记根的定义是解题关键.

8．D

解析：D 【分析】

根据开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为2420元列方程即可得到结论．

【详解】

设每天的增长率为x，

依题意，得：2000(1x)22420． 故选：D． 【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

9．B

解析：B 【分析】

通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，由勾股定理就可以表示出BE与EF，再通过比较可以得出结论． 【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°． ∵△AEF等边三角形， ∴AE=EF=AF，∠EAF=60°． ∴∠BAE+∠DAF=30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AE＝AF AB＝AD∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF． 故①正确； ∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°， 即∠DAF=15° 故②正确； ∵BC=CD，

∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF， ∵AE=AF， ∴AC垂直平分EF． 故③正确；

设EC=x，由勾股定理，得 EF=2x，CG=62x x ，AG=22∴AC=∴AB=∴BE=

62x 231x 23131xxx 22∴BE+DF=

31x≠2x=EF

故④错误； 故选：B 【点睛】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．

10．B

解析：B 【分析】

连接CE、AC，根据正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，可以求出AC的长，又因为CE≥AC-AE，所以当A、E、C三点共线时取等号，即可求值； 【详解】

如图，连接CE、AC，

已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1， ∴ AB=BC=4，AE=1，

由勾股定理得：AC2AB2BC2 ， ∴AC424242 ∵ CE≥AC-AE， ∴CE≥421，

∴CE的最小值为421， 故选：B．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及三角形的三边关系，正确掌握知识点是解题的关键．

11．A

解析：A 【分析】

证出EN、NF、FM、ME分别是△ABD、BCD、ABC、△ACD的中位线，得出EN//AB//FM，ME//CD//NF，EN11ABFM，MECDNF，证出四边形22EMFN为平行四边形，当ABCD时，ENFMMENF，得出平行四边形EMFN是

菱形；当ABCD时，ENME，则MEN90，即可得出菱形EMFN是正方形． 【详解】 解：

点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，

11ABFM，MECDNF， 22EN、NF、FM、ME分别是△ABD、BCD、ABC、△ACD的中位线，

∴EN//AB//FM，ME//CD//NF，EN四边形EMFN为平行四边形，

当ABCD时，ENFMMENF，

平行四边形EMFN是菱形；

当ABCD时，ENME， 则MEN90，

菱形EMFN是正方形；

故选：A． 【点睛】

本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．

12．D

解析：D 【分析】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．

②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC=4232=5

∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处，

∴∠AB′E=∠B=90°，

当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90°,

∴点A. B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′,AB=AB′=3， ∴CB′=5−3=2，

设BE=x,则EB′=x，CE=4−x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=(4−x)2,解得x=∴BE=

3， 23； 2②当点B′落在AD边上时，如答图2所示． 此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3. 综上所述,BE的长为故选D.

3或3. 2

【点睛】

此题主要考查矩形的折叠问题，解题的关键是根据题意分情况讨论.

二、填空题

13．【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种然后根据概率的概念计算即可【详解】画树状图得：由树状图可知：所有可能情况有12种其中两次摸出的小球标号的和等于4

1解析：

6【分析】

先画树状图展示所有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概率的概念计算即可． 【详解】 画树状图得：

由树状图可知：所有可能情况有12种，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占2种，所以其概率＝故答案为：【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．

21， 1261． 614．7【分析】由于摸到红球和黄球的频率之和等于1根据摸到黄球的频率可以得到摸到红球的频率【详解】解：由题意可得摸到红球和黄球的频率之和为：1摸到黄球的频率约为03∴摸到红球的频率约为1-03=07故答案

解析：7 【分析】

由于摸到红球和黄球的频率之和等于1，根据摸到黄球的频率，可以得到摸到红球的频率． 【详解】 解：由题意可得，

摸到红球和黄球的频率之和为：1，摸到黄球的频率约为0.3， ∴摸到红球的频率约为1-0.3=0.7， 故答案为：0.7． 【点睛】

本题考查利用频率估计概率，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

15．-11【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n=-3mn=-7将其代入中即可求出结论【详解】解：∵mn分别为一元二次方程的两个实数根∴m+n=-3mn=-7则故答案为：-11【点睛】本题

解析：-11 【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n=-3，mn=-7，将其代入

2mnmn2mn(mn)中即可求出结论．

【详解】

解：∵m，n分别为一元二次方程x23x70的两个实数根， ∴m+n=-3，mn=-7，

则2mnmn2mn(mn)=2(7)(3)14311． 故答案为：-11．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=-2，mn=-1是解题的关键．

16．【分析】先解方程0然后把已知的多项式写成的形式即可【详解】解：解方程0得∴故答案为：【点睛】本题考查了利用解一元二次方程分解因式掌握解答的方法是解题的关键

3535解析：x2x2

【分析】

先解方程x23x10，然后把已知的多项式写成axx1xx2的形式即可． 【详解】

解：解方程x23x10，得x1∴x3x1x23535， ,x2223535x． 223535xx故答案为：． 22【点睛】

本题考查了利用解一元二次方程分解因式，掌握解答的方法是解题的关键．

17．【分析】利用因式分解法解方程【详解】解：（x+1）（x+9）

=0∴x+1=0x+9=0∴故答案为:【点睛】此题考查解一元二次方程掌握解方程的方法：直接开平方法公式法配方法因式分解法根据每个一元二次方

解析：x11，x29 【分析】

利用因式分解法解方程． 【详解】

解：x210x90 （x+1）（x+9）=0 ∴x+1=0，x+9=0， ∴x11，x29． 故答案为: x11，x29． 【点睛】

此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．

18．3或【分析】由题意可分为逆时针旋转和顺时针旋转进行分析分别求出点

OD′的长即可得到答案【详解】解：因为点D（41）在边AB上所以AB=BC=4BD=4-1=3；（1）若把△CDB顺时针旋转90°则点

解析：3或73 【分析】

由题意，可分为逆时针旋转和顺时针旋转进行分析，分别求出点OD′的长，即可得到答案． 【详解】

解：因为点D（4，1）在边AB上， 所以AB=BC=4，BD=4-1=3；

（1）若把△CDB顺时针旋转90°， 则点D′在x轴上，OD′=BD=3， 所以D′（-3，0）； ∴OD3；

（2）若把△CDB逆时针旋转90°，

则点D′到x轴的距离为8，到y轴的距离为3， 所以D′（3，8）， ∴OD328273； 故答案为：3或73． 【点睛】

此题主要考查了坐标与图形变化——旋转，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要注意分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况．

19．【分析】先根据正方形的性质得到CD=2∠CDA=90°再利用旋转的性质得CF=2根据正方形的性质得∠CFE=45°则可判断△DFH为等腰直角三角形从而计算CF-CD即可【详解】解：∵四边形ABCD为 解析：222

【分析】

先根据正方形的性质得到CD=2，∠CDA=90°，再利用旋转的性质得CF=22，根据正方形的性质得∠CFE=45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF-CD即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD为正方形， ∴CD=2，∠CDA=90°，

∵边长为2的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，

∴CF=22，∠CFE=45°， ∴△DFH为等腰直角三角形， ∴DH=DF=CF-CD=222． 故答案为：222． 【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．

20．或10【分析】分两种情况：E点在BC上证明四边形MNCD是矩形利用矩形的性质与轴对称的性质求解设CE=x则利用勾股定理列方程求解即可；点E在CB的延长线上画出符合题意的图形同理可得答案【详解】解：设

解析：

5或10 2【分析】

分两种情况：E点在BC上，证明四边形MNCD是矩形，利用矩形的性质与轴对称的性质求解MC3,CN2,设CE=x，则CEx，利用勾股定理列方程求解即可；点E在CB的延长线上，画出符合题意的图形，同理可得答案． 【详解】

解：设CE=x，则CEx， 当E点在线段BC上时，如图1，

∵矩形ABCD中，AB=5， ∴CD=AB=5，AD=BC=6，AD∥BC， ∵点M，N分别在AD，BC上，且AM∴DM=CN=4，

∴四边形CDMN为平行四边形， ∵∠NCD=90°，

11AD,BNBC， 33∴四边形MNCD是矩形， ∴∠DMN=∠MNC=90°，MN=CD=5， 由折叠知，CDCD5,

∴MCCD2MD252423, ∴CN532, ∵EN=CN-CE=4-x， 由CE2NE2CN2， ∴x24x22，

2解得，x=2.5，即CE=2.5；

当E点在CB的延长线上时，如图2，

∵矩形ABCD中，AB=5， ∴CD=AB=5，AD=BC=6，AD∥BC， ∵点M，N分别在AD，BC上，且AM∴DM=CN=4，

∴四边形CDMN为平行四边形， ∵∠NCD=90°， ∴四边形MNCD是矩形， ∴∠DMN=∠MNC=90°，MN=CD=5， 由折叠知，CDCD5，

∴MCCD2MD252423, ∴CN538， ∵EN=CE-CN=x-4， 由CE2NE2CN2， ∴x2x482，

211AD,BNBC， 33解得，x=10，即CE=10； 综上，CE=2.5或10． 故答案为：2.5或10． 【点睛】

本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性质，掌握

以上知识及分情况讨论是解题的关键．

三、解答题

21．（1）点M的坐标为：（-1,0）或（-1，1）或（0，-1）或（0,1）或（1，-1）或（1,0）；（2）【分析】

（1）列树状图解答； （2）确定点M在一次函数y计算即可． 【详解】 （1）列树状图：

21 63

x图象上的坐标为：（-1,1）或（1，-1），根据概率公式

共有6种等可能的结果：（-1,0），（-1，1），（0，-1），（0,1），（1，-1），（1,0），

∴点M的坐标为：（-1,0）或（-1，1）或（0，-1）或（0,1）或（1，-1）或（1,0）； （2）点M在一次函数yx图象上的坐标为：（-1,1）或（1，-1），

21． 63

∴点M在一次函数yx图象上的概率为【点睛】

此题考查列举法求事件的概率，正确理解概率事件中“放回”或“不放回”事件是解此类问题的关键． 22．（1）【分析】

（1）先解方程，根据概率公式即可得出概率；

（2）列出表格，分别计算出小明和小张获胜的概率，比较即可． 【详解】

解：（1）当代数式x27x12的值为0时，

1；（2）小明获胜的概率大． 2x27x120，

解得x13,x24，

所以，从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式x27x12的值为0的概率为：

21； 42（2）列表如下：

n m 3 4 5 2 (3,2) (4,2) (5,2) 3 (3,3) (4,3) (5,3) 4 (3,4) (4,4) (5,4) 5 (3,5) (4,5) (5,5) 总共有12种等可能结果，其中都是该方程的解的可能性有4种， 故小明获胜的概率为：

41； 123都不是该方程的解的可能性有2种， 故小张获胜的概率为

21， 126所以，小明获胜的概率大． 【点睛】

本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；正确列出表格是解题的关键． 23．（1）x1【分析】

（1）利用公式法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【详解】

解：（1）2x2﹣3x﹣5＝0 ∵a=2、b=-3、c=-5， ∴△=9-4×2×（-5）=49＞0， 则x∴x15，x21；（2）x1=-1，x2=5． 237， 45，x21； 2（2）（x+1）2＝6x+6 ∴（x+1）2-6（x+1）=0， ∴（x+1）（x-5）=0， 则x+1=0或x-5=0， 解得：x1=-1，x2=5． 【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

24．（1）x112，x212；（2）x11，x22 3【分析】

（1）配方法求解可得； （2）因式分解法求解可得； 【详解】

（1）解：x22x12

(x1)22

x12 x112,x212．

（2）解：3x(x1)2(x1)0

(x1)(3x2)0

x10；或3x20

x11，x22． 3【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键． 25．（1）见解析；（2）①见解析；②317 【分析】

（1）由旋转性质知，CEBAEB90，由EBE90，可证四边形BEFE是矩形．由BEBE，可证四边形BEFE是正方形；

（2）如图，过点D 作DHEA，垂足为H．由DADE，得AH1AE．可证2△DHA≌△AEB．可得AHBEFE，由旋转性质知，CEAE即可； （3）设正方形BEFE的边长为x．在Rt△CEB中，CE3x，BEx，CBAB15，由勾股定理CE2BE2BC2可求BE，由△DHA≌△AEB，可求CEAEDH3912，HEAEAH1293．在Rt△DHE中，得

DEDH2HE2317．

【详解】

（1）证明：由旋转性质知，CEBAEB90， 又∵AE延长与CE于F点，

FEBAEB90．

∵Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90，

EBE90，

四边形BEFE是矩形．

又∵BEBE，

四边形BEFE是正方形．

（2）证明：如图，过点D 作DHEA，垂足为H．

由DADE，得AH1AE． 2HDADAHEABDAH90， HDAEAB．

又DHAAEB90，ADAB， △DHA≌△AEB． AHBEFE，

由旋转性质知，CEAE，

故FEAH1CE，即CFFE． 2

（3）解：设正方形BEFE的边长为x．

在Rt△CEB中，CE3x，BEx，CBAB15，

(3x)2x2152，

解得x9（舍去x12）．

如图，过点D 作DHEA，垂足为H，同（2）知△DHA≌△AEB，

DHAE，AHBEBE．

CEAEDH3912，HEAEAH1293．

在Rt△DHE中，得DEDH2HE2317．

【点睛】

本题考查正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理应用是解题关键． 26．证明见解析 【分析】

利用△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，求得∠ADB=90°，再用SAS证明

△CBD≌△ACE，推出AE=CD=AD，∠AEC=∠BDC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=AD，即可证明． 【详解】

证明：∵△ABC是等边三角形，D是边AC的中点， ∴AD=DC，BC=CA，BD⊥AC， ∴∠BDC=90°，即∠DBC+∠DCB=90°， ∵EC⊥BC，

∴∠BCE=90°，即∠ACE+∠BCD=90°， ∴∠ACE=∠DBC， 在△CBD和△ACE中，

BCCADBCACE BDCE∴△CBD△ACE（SAS） ∴CD=AE ， ∴∠AEC=∠CDB=90° ∵D为AC的中点 ∴AD=DE，AD=DC， ∴ AD=AE=DE， 即△ADE为等边三角形． 【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等．解答此题的关键是先证明△CBD≌△ACE，然后再利用三边相等证明此三角形是等边三角形．