一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）点A在点B的上方，从A看B的俯角为α，从B看A的仰角为β，则（） A． α=β
2．（5分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，1），则关于x的不等式解集为（） A． （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B． （﹣1，2） C． （1，2） D． （﹣∞，1）∪（2，+∞） 3．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则公差d等于（） A． 1
B．
C． ﹣2
D． 3
的
B． α+β=
C． α+β=π
D． α＞β
4．（5分）已知数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为（） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
5．（5分）已知1是a与b的等比中项，又是与的等差中项，则 A． 1或
B． 1或
C． 1或
2
2
的值是（）
D． 1或
6．（5分）在△ABC中，若（a+b+c）（c+b﹣a）=bc，则A=（） A． A=150° B． A=120° C． A=60° D． A=30° 7．（5分）已知a、b为非零实数，且a＜b，则下列不等式成立的是（） A． a＜b
2
2
B． C． D．
8．（5分）一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（）
A． 5海里
B． 5海里 C． 10海里 D． 10海里
1
9．（5分）若0＜a＜1，0＜b＜1且a≠b，则a+b、2 A． a+b B． 2 C． 2ab
、2ab、a+b中最大的一个是（）
22
D． a+b
22
10．（5分）在等差数列{an}中，其前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，则在中最大的是（） A．
B．
C．
D．
，，…，
11．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（） A．
12．（5分）设a＞0，b＞0，且不等式++
≥0恒成立．则实数k的最小值等于（）
B．
C．
D．
A． 4 B． 0 C． ﹣2 D． ﹣4
二、填空题（共4小题，每小题5，满分20）
2
13．（5分）设a＜0，﹣1＜b＜0，则a，ab，ab从小到大的顺序为
14．（5分）在△ABC中，若a=1，c=
15．（5分）在△ABC中，A=60°，b=1，c=2，求
=．
，∠C=40°，则符合题意的b的值有个．
23n
16．（5分）数列1，1+2，…1+2+2+2+…+2的前n项和Sn=．
三、解答题（共6小题，满分70分）
2
17．（10分）数列{an}的通项公式为an=n﹣5n+4，画出该数列在1≤n≤5的图象，并判断从第几项起，这个数列是递增的．
2
18．（12分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=AD=3，求BD的长．
，AB=3
，
19．（12分）新建一个娱乐场的费用是50万元，每年的固定费用（水、电费、员工工资等）4.5万元，年维修费用第一年1万元，以后逐年递增1万元，问该娱乐乐场使用多少年时，它的平均费用最少？ 20．（12分）在△ABC中，已知三边长是公差为1的等差数列，且最大角是最小角的两倍，求三边的长． 21．（12分）已知数列{an}和{bn}中，数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）在函数y=﹣2x
x的图象上，点（n，bn）在函数y=2的图象上 （1）求数列{an}的通项公式
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn． 22．（12分）已知数列{an}，{bn}满足：a1=2，b1=2015，且对任意的正整数n，an，an+1，bn和an+1，bn+1，bn均成等差数列
（1）证明：{an﹣bn}和{an+2bn}均成等比数列
（2）是否存在唯一的正整数c，使得an＜c＜bn恒成立？证明你的结论．
江西省南昌市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）点A在点B的上方，从A看B的俯角为α，从B看A的仰角为β，则（）
3
A． α=β B． α+β= C． α+β=π D． α＞β
考点： 解三角形．
专题： 计算题；解三角形．
分析： 从A看B的俯角为α，从B看A的仰角为β是内错角，可求俯角与仰角的基本关系，即可判断．
解答： 解：从A看B的俯角为α，从B看A的仰角为β是内错角，两直线平行，内错角相等可知，α=β， 故选：A．
点评： 本题主要考查了仰角、俯角的概念及仰角俯角的基本关系，属于基础试题．
2．（5分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，1），则关于x的不等式
的
解集为（） A． （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B． （﹣1，2） C． （1，2） D． （﹣∞，1）∪（2，+∞）
考点： 其他不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用．
分析： 根据不等式ax﹣b＞0的解集为（﹣∞，1）可求出a、b的等量关系以及符号，然后解分式不等式即可．
解答： 解：∵不等式ax﹣b＞0的解集为（﹣∞，1）， ∴a﹣b=0且a＜0则b＜0， ∵
，
∴（ax+b）（x﹣2）＞0，即a（x+1）（x﹣2）＞0， 解得：﹣1＜x＜2， ∴不等式
的解集为（﹣1，2）
故选：B．
点评： 本题主要考查了分式不等式的解法，以及等价转化的思想，同时考查了计算能力，属于中档题． 3．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则公差d等于（） A． 1
B．
C． ﹣2
D． 3
考点： 等差数列的性质． 专题： 计算题．
分析： 由题意可得 S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，解方程求得公差d的值． 解答： 解：∵S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，
4
故选C．
点评： 本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，前n项和公式的应用，属于基础题． 4．（5分）已知数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为（） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
考点： 数列的概念及简单表示法． 专题： 计算题．
分析： 可先分别求出数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142的通项公式，判断最后一项是第几项，再根据公共项相等，得出含项数m，n的等式，再根据m，n为整数，求出个数即可．
解答： 解；由题意可知数列3，7，11，…，139的通项公式为an=4n﹣1，139是数列第35项．
数列2，9，16，…，142的通项公式为bm=7m﹣5，142是数列第21项，
设数列3，7，11，…，139第n项与，数列2，9，16，…，142的第m项相同，则4n﹣1=7m﹣5，n=
=
﹣1，
∴m为4的倍数，m小于21，n小于35，由
此可知，m只能为4，8，12，16，20．此时n的对应值为6，13，20，27，34 所以，公共项的个数为5． 故选B
点评： 本题考查了等差数列的通项公式，属常规题，必须掌握．
5．（5分）已知1是a与b的等比中项，又是与的等差中项，则 A． 1或
B． 1或
C． 1或
2
2
的值是（）
D． 1或
考点： 等比数列的性质；等差数列的性质． 专题： 计算题．
分析： 先根据1是a与b的等比中项，求得ab的值，进而根据+=2，求得a+b=2ab，代入
答案可得．
2
2
解答： 解：∵1是与的等差中项 ∴+=
2
=2，即a+b=2ab，
2
∵1是a与b的等比中项， ∴ab=±1 ∴
=
=
=1或﹣
5
故选D
点评： 本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．解题的关键是利用等差中项和等比中项求得a和b的关系． 6．（5分）在△ABC中，若（a+b+c）（c+b﹣a）=bc，则A=（） A． A=150° B． A=120° C． A=60° D． A=30°
考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： 由条件里用余弦定理求得cosA的值，可得A的值．
222
解答： 解：△ABC中，由（a+b+c）（c+b﹣a）=bc，可得b+c﹣a=﹣bc， ∴cosA=
=﹣，故A=120°，
故选：B．
点评： 本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题． 7．（5分）已知a、b为非零实数，且a＜b，则下列不等式成立的是（） A． a＜b
2
2
B． C． D．
考点： 不等关系与不等式． 专题： 计算题．
分析： 给实数a，b 在其取值范围内任取2个值a=﹣3，b=1，代入各个选项进行验证，A、B、D都不成立．
解答： 解：∵实数a，b满足a＜0＜b，
若 a=﹣3，b=1，则 A、B、D都不成立，只有C成立， 故选 C．
点评： 此题是基础题．通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法． 8．（5分）一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（）
A． 5海里 B． 5海里
考点： 解三角形的实际应用． 专题： 计算题．
C． 10海里
D． 10
海里
6
分析： 如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，由此能求出这艘船的速度． 解答： 解：如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°， 所以∠CAD=∠CDA=15°， 从而CD=CA=10，
在直角三角形ABC中，得AB=5， 于是这艘船的速度是
=10（海里/小时）．
故选C．
点评： 本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．
9．（5分）若0＜a＜1，0＜b＜1且a≠b，则a+b、2、2ab、a+b中最大的一个是（）
22
A． a+b B． 2 C． 2ab D． a+b
考点： 不等式比较大小． 专题： 不等式．
22
分析： 取a=0.4，b=0.6，再分别求出a+b，2，a+b，2ab的值，由此能够找到四个数中最大的数
解答： 解：取a=0.4，b=0.6，
22
则a+b=0.16+0.36=0.52， 2ab=2×0.4×0.6=0.48， a+b=1，
22
2≤a+b，
∴最大一个是a+b． 故选：A．
点评： 本题主要考查比较几个数的大小问题．比较大小一般通过基本不等式、作差、运用函数的单调性等来完成．
10．（5分）在等差数列{an}中，其前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，则在中最大的是（） A．
B．
C．
D．
，
，…，
2
2
考点： 等差数列的性质；等差数列的前n项和． 专题： 计算题．
分析： 由题意知a8＞0，a9＜0．由此可知
＞0，
＞0，…，
＞0，
＜0，
＜
0，，＜0，所以在，，…，中最大的是．
7
解答： 解：由于S15==15a8＞0，
S16==8（a8+a9）＜0，
所以可得a8＞0，a9＜0． 这样
＞0，
＞0，…，
＞0，
＜0，
＜0，…，
＜0，
而S1＜S2＜＜S8，a1＞a2＞＞a8， 所以在
，
，…，
中最大的是
．
故选B
点评： 本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． 11．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（） A．
B．
C．
D．
考点： 余弦定理；等比数列． 专题： 计算题．
分析： 根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．
解答： 解：△ABC中，a、b、c成等比数列，且c=2a， 则b=
a，
=
，
故选B．
点评： 本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．
12．（5分）设a＞0，b＞0，且不等式++ A． 4 B． 0
考点： 函数恒成立问题．
专题： 计算题；不等式的解法及应用．
≥0恒成立．则实数k的最小值等于（） C． ﹣2
D． ﹣4
分析： 先分离出参数k，得k≥﹣（+）（a+b），然后利用基本不等式求得﹣（+）（a+b）的最大值即可． 解答： 解：由++
≥0，得k≥﹣（+）（a+b），
8
∵﹣（+）（a+b）=﹣（2+）=﹣4，
当且仅当a=b时取等号，
∴k≥﹣4，即实数k的最小值等于﹣4， 故选：D．
点评： 该题考查恒成立问题、利用基本不等式求函数最值，考查学生对问题的分析转化能力．
二、填空题（共4小题，每小题5，满分20）
22
13．（5分）设a＜0，﹣1＜b＜0，则a，ab，ab从小到大的顺序为a＜ab＜ab
考点： 不等式比较大小． 专题： 计算题；作差法．
分析： 作差比较，由差的正负确定减数与被减数的大小． 解答： 解：∵a＜0，﹣1＜b＜0，
222
∴ab﹣ab=ab（1﹣b）＞0，ab﹣a=a（b﹣1）＞0
2
∴a＜ab＜ab，
2
故应填 a＜ab＜ab
点评： 作差法是比较大小的一个基本方法，应好好掌握其规则
14．（5分）在△ABC中，若a=1，c=
，∠C=40°，则符合题意的b的值有2个．
考点： 正弦定理．
专题： 函数的性质及应用；解三角形． 分析： 利用余弦定理列出关系式，将a，c及cosC的值代入，得到关于b的一元二次方程，表示出根的判别式，判断其值大于0，得到方程有两个不相等的实数根，即可确定出b的个数．
解答： 解：∵a=1，c=
2
2
2
，cosC=cos40°，
2
∴由余弦定理得：c=a+b﹣2ab•cosC，即=1+b﹣2b•cos40°，
整理得：2b﹣4cos40°b+1=0，
2
∵△=（4cos40°）﹣8＞0， ∴方程有2实数根，
则符合题意b的值有2个． 故答案为：2．
点评： 此题考查了余弦定理，以及根的判别式与方程解的关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．
15．（5分）在△ABC中，A=60°，b=1，c=2，求
考点： 正弦定理；余弦定理．
9
2
=2．
专题： 解三角形．
222
分析： 由余弦定理可得：a=b+c﹣2bccosA，解得a．由正弦定理可得：
=
，即可得出．
2
2
2
2
2
解答： 解：由余弦定理可得：a=b+c﹣2bccosA=1+2﹣2×1×2cos60°=3， ∴a=． 由正弦定理可得：
=
=
=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查了利用正弦定理余弦定理解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
23n
16．（5分）数列1，1+2，…1+2+2+2+…+2的前n项和Sn=2n+1﹣2﹣n．
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 首先求出数列的通项公式，进一步利用分组法求数列的和．
2n﹣1
解答： 解：an=1+2+2+…+2 =所以：
1
2
n
=2﹣1
+2﹣1+…+2﹣1
2
n
n
=（2+2+…+2）﹣n n+1
=2﹣2﹣n
n+1
故答案为：2﹣2﹣n
点评： 本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，利用分组法求数列的和．
三、解答题（共6小题，满分70分）
2
17．（10分）数列{an}的通项公式为an=n﹣5n+4，画出该数列在1≤n≤5的图象，并判断从第几项起，这个数列是递增的．
考点： 数列的函数特性．
10
专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列． 分析： 如图所示，设an+1＞an，解出即可得出． 解答： 解：如图所示， 设an+1＞an，
2
则（n+1）﹣5（n+1）+4﹣=2n﹣4＞0， 解得n＞2．
∴从第3项起，这个数列是递增的．
点评： 本题考查了数列的单调性、二次函数的单调性，考查了数形结合的思想方法，属于基础题．
18．（12分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=AD=3，求BD的长．
，AB=3
，
考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： 由条件利用诱导公式求得cos∠BAD=解答： 解：在△ABC中，AD⊥AC，sin∠BAC=∴sin∠BAC=sin（
+∠BAD）=cos∠BAD=
2
2
2
，再利用余弦定理求得BD的长． ，AB=3．
×
=3，
，AD=3，
再由余弦定理可得 BD=AB+AD﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣18
故BD=．
点评： 本题主要考查诱导公式、余弦定理，属于基础题． 19．（12分）新建一个娱乐场的费用是50万元，每年的固定费用（水、电费、员工工资等）4.5万元，年维修费用第一年1万元，以后逐年递增1万元，问该娱乐乐场使用多少年时，它的平均费用最少？
11
考点： 基本不等式在最值问题中的应用． 专题： 不等式．
分析： 由题意，设使用x年时平均费用最少，平均费用为y万元，所以总维修费用为
元，得到解析式变形，利用基本不等式求最值．
解答： 解：设使用x年时平均费用最少，平均费用为y万元，所以总维修费用为元， 则y=当且仅当
≥2
时，即x=10时等号成立．
=15，
所以娱乐乐场使用10年时，它的平均费用最少．
点评： 本题考查了基本不等式的应用；关键是建立数学模型，根据解析式特点，利用基本不等式求最值． 20．（12分）在△ABC中，已知三边长是公差为1的等差数列，且最大角是最小角的两倍，求三边的长．
考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： 设△ABC中的三边长为a，a+1，a+2最小角，最小角和最大角为θ，2θ，分别由正弦定理和余弦定理，求出cosθ，解得即可．
解答： 解：设△ABC中的三边长为a，a+1，a+2最小角，最小角和最大角为θ，2θ， 再由正弦定理可得所以cosθ=
，
=
，
由余弦定理得cosθ==，解得a=4，
所以三边的长为4，5，6．
点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，正弦定理、余弦定理，倍角公式的应用，属于中档题． 21．（12分）已知数列{an}和{bn}中，数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）在函数y=﹣2x
x的图象上，点（n，bn）在函数y=2的图象上 （1）求数列{an}的通项公式
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．
考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．
12
分析： （1）由点（n，Sn）在函数y=﹣x的图象上，可得
2
．利用递推式可得当
n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．当n=1时，a1=S1，即可得出．
xnn
（2）由点（n，bn）在函数y=2的图象上，可得bn=2．anbn=（1﹣2n）•2．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．
解答： 解：（1）∵点（n，Sn）在函数y=﹣x的图象上，∴
2
2
2
．
∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣n+（n﹣1）=1﹣2n．当n=1时，a1=S1=﹣1，符合上式． ∴an=﹣2n+1．
xn
（2）∵点（n，bn）在函数y=2的图象上，∴bn=2．
n
∴anbn=（1﹣2n）•2．
123n
∴Tn=﹣1×2﹣3×2﹣5×2﹣…﹣（2n﹣1）﹣2，
23nn+1
∴2Tn=﹣1×2﹣3×2﹣…﹣（2n﹣3）×2﹣（2n﹣1）×2．
23nn+1n+1
∴Tn=2+2×2+2×2+…+2×2+（1﹣2n）×2=（3﹣2n）×2﹣6，
点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22．（12分）已知数列{an}，{bn}满足：a1=2，b1=2015，且对任意的正整数n，an，an+1，bn和an+1，bn+1，bn均成等差数列
（1）证明：{an﹣bn}和{an+2bn}均成等比数列
（2）是否存在唯一的正整数c，使得an＜c＜bn恒成立？证明你的结论．
考点： 等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）由题意和等差中项的性质列出关系式并化简，分别代入
和
化简，利用等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）和等比数列的通项公式求出an和bn，利用指数函数的单调性判断出两个数列
的单调性，以及满足条件的不等式和c的值，令求出n的值进一步证明，即可
得到结论． 解答： 证明：（1）∵对任意的正整数n，an，an+1，bn和an+1，bn+1，bn均成等差数列，
∴，则，
13
∴==，
又a1﹣b1=2﹣2015=﹣2013，
∴数列{an﹣bn}是以﹣2013为首项、为公比的等比数列，
∵==1，
又a1+2b1=2+4030=4032，
∴数列{an+2bn}是以4032为首项、1为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，，
解得，
∴数列{an}是单调递增数列，数列{bn}是单调递减数列，且an＜1344＜bn， ∴存在唯一的正整数c=1344，使得an＜c＜bn恒成立，
令，解得2
2n﹣2
＞1342，则2n﹣2≥11，解得n≥6.5，
∴对任意的正整数n≥7时，有1343＜an＜1344＜bn＜1345， 且存在唯一的正整数c=1344，
综上所述，存在唯一的正整数c=1344，有an＜1344＜bn恒成立．
点评： 本题考查等差中项的性质，等比数列的定义、通项公式，以及等比数列与函数的单调性关系，属于中档题．
14
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容