一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分，在每道小题给出的四 个选项中，选出符合要求的一项） 1．（3 分）2018 的倒数是（ A．2018
B．
C．﹣
）
D．﹣2018
）
﹣
2．（3 分）下列运算结果正确的是（ A．a3•a2=a5 B．（a3）2=a5 3．（3 分）函数 y= A．x＞3
C．a3+a2=a5 D．a2=﹣a2 中自变量 x 的取值范围是（
）
B．x≠3C．x≥3D．x≥0
）
4．（3 分）抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（ A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） 5．（3 分）已知不等式组
C．（2，5） D．（2，﹣5） ，其解集在数轴上表示正确的是（
）
A． B ．
C． D．
6．（3 分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：98，90，88， 96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（ A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92 7．（3 分）下列命题是真命题的是（ A．平行四边形的对角线相等
B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点 C．五边形的内角和是 540° D．圆内接四边形的对角相等
8．（3 分）在同一直角坐标系中，二次函数 y=x2 与反比例函数 y= （x＞0）的图 象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点 A（x1，m），B（x2，m），C（x3， m），其中 m 为常数，令 ω=x1+x2+x3，则 ω 的值为（
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）
）
）
A．1 B．m C．m2 D．
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 9．（4 分）因式分解：x2﹣4=
．
10．（4 分 ）2018 年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄” 专项资金 120000000 元，用于改造农村义务教育薄弱学校 100 所，数据 120000000 科学记数法表示为
．
11．（4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取 值范围是
．
．
．
12．（4 分）已知 a2+2a=1，则 3（a2+2a）+2 的值为
13．（4 分）在﹣2，1，4，﹣3，0 这 5 个数字中，任取一个数是负数的概率是 14．（4 分）如图，直线 a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3=
．
15．（4 分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步， 股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长 为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大 是多少步？”该问题的答案是
步．
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16．（4 分）如图，以 AB 为直径的⊙O 与 CE 相切于点 C，CE 交 AB 的延长线于点 E，直径 AB=18，∠A=30°，弦 CD⊥AB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论 正确的是 ① = ；
②扇形 OBC 的面积为 ③△OCF∽△OEC；
④若点 P 为线段 OA 上一动点，则 AP•OP 有最大值 20.25．
π；
．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共 8 小题，满分 64 分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤）
17．（6 分）计算：（﹣1）﹣2sin45°+（π﹣2018）+|﹣ |
18．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF，求证：四边形 BFDE 是平行 四边形．
2
0
19．（8 分）如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B 在点 A 的右侧），作 BC⊥y 轴，垂足为点 C，连结 AB，AC． （1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC 的面积为 6，求直线 AB 的表达式．
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20．（8 分）为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民 文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内 随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计 图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）这次参与调查的村民人数为 （2）请将条形统计图补充完整；
人；
（3）求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数；
（4）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端 午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两 个项目的概率．
21．（8 分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护， 还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为 33000 平方 米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增 加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了 20%，结果提前 11 天完成 任务，求实际平均每天施工多少平方米？
22．（8 分）图 1 是某小区入口实景图，图 2 是该入口抽象成的平面示意图．已 知入口 BC 宽 3.9 米，门卫室外墙 AB 上的 O 点处装有一盏路灯，点 O 与地面 BC 的距离为 3.3 米，灯臂 OM 长为 1.2 米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．
（1）求点 M 到地面的距离；
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（2）某搬家公司一辆总宽 2.55 米，总高 3.5 米的货车从该入口进入时，货车需 与护栏 CD 保持 0.65 米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计 算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：
≈1.73，结果精确到 0.01 米）
23．（10 分）已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿 CD 所在的直线对折，使点 B 落在点 B′处，连结 AB'，BB'，延长 CD 交 BB'于点 E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．
（1）如图 1，若 AB=AC，求证：CD=2BE；
（2）如图 2，若 AB≠AC，试求 CD 与 BE 的数量关系（用含 α 的式子表示）； （3）如图 3，将（2）中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段 FC， 连结 EF 交 BC 于点 O，设△COE 的面积为 S1，△COF 的面积为 S2，求 的式子表示）．
24．（10 分）已知抛物线 F：y=x2+bx+c 的图象经过坐标原点 O，且与 x 轴另一交 点为（﹣
，0）．
（用含 α
（1）求抛物线 F 的解析式； （2）如图 1，直线 l：y=
x+m（m＞0）与抛物线 F 相交于点 A（x1，y1）和点
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B（x2，y2）（点 A 在第二象限），求 y2﹣y1 的值（用含 m 的式子表示）； （3）在（2）中，若 m= ，设点 A′是点 A 关于原点 O 的对称点，如图 2． ①判断△AA′B 的形状，并说明理由；
②平面内是否存在点 P，使得以点 A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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2018 年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分，在每道小题给出的四 个选项中，选出符合要求的一项） 1．（3 分）2018 的倒数是（ A．2018
B．
C．﹣
）
D．﹣2018 ，
【解答】解：2018 的倒数是 故选：B．
2．（3 分）下列运算结果正确的是（ A．a3•a2=a5 B．（a3）2=a5
）
﹣
C．a3+a2=a5 D．a2=﹣a2
【解答】解：A、a3•a2=a5，正确，故本选项符合题意； B、（a3）2=a6，故本选项不符合题意；
C、不是同类项不能合并，故本选项不符合题意； D、a2=
﹣
，故本选项不符合题意，
故选：A．
3．（3 分）函数 y= A．x＞3
中自变量 x 的取值范围是（ ）
B．x≠3C．x≥3D．x≥0
中 x﹣3≥0，
【解答】解：函数 y= 所以 x≥3， 故选：C．
4．（3 分）抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（ A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5）
）
C．（2，5） D．（2，﹣5）
【解答】解：抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标为（2，5），
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故选：C．
5．（3 分）已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B ．
C． 【解答】解： 解①得：x＜2， 解②得：x≥﹣1，
，
D．
故不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
故解集在数轴上表示为： 故选：D．
．
6．（3 分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：98，90，88， 96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（ A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92
【解答】解：将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98；可得中位数 为 92，众数为 96． 故选：B．
）
7．（3 分）下列命题是真命题的是（ A．平行四边形的对角线相等
）
B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点 C．五边形的内角和是 540° D．圆内接四边形的对角相等
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，A 是假命题； 三角形的重心是三条边的中线的交点，B 是假命题；
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五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，C 是真命题； 圆内接四边形的对角互补，D 是假命题； 故选：C．
8．（3 分）在同一直角坐标系中，二次函数 y=x2 与反比例函数 y= （x＞0）的图 象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点 A（x1，m），B（x2，m），C（x3， m），其中 m 为常数，令 ω=x1+x2+x3，则 ω 的值为（
）
A．1 B．m C．m2 D．
【解答】解：设点 A、B 在二次函数 y=x2 图象上，点 C 在反比例函数 y= （x＞0） 的图象上．因为 AB 两点纵坐标相同，则 A、B 关于 y 轴对称，则 x1+x2=0，因为 点 C（x3，m）在反比例函数图象上，则 x3= ∴ω=x1+x2+x3=x3= 故选：D．
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 9．（4 分）因式分解：x2﹣4= （x+2）（x﹣2） ． 【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x+2）（x﹣2）．
10．（4 分 ）2018 年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄” 专项资金 120000000 元，用于改造农村义务教育薄弱学校 100 所，数据 120000000 科学记数法表示为 1.2×108 ． 【解答】解：120000000=1.2×108，
第 9 页（共 22 页）
故答案为：1.2×10．
8
11．（4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取 值范围是 k＜1 ．
【解答】解：由已知得：△=4﹣4k＞0， 解得：k＜1． 故答案为：k＜1．
12．（4 分）已知 a2+2a=1，则 3（a2+2a）+2 的值为 5 ． 【解答】解：∵a2+2a=1， ∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5， 故答案为 5．
13．（4 分）在﹣2，1，4，﹣3，0 这 5 个数字中，任取一个数是负数的概率是
．
【解答】解：任取一个数是负数的概率是：P= ， 故答案为： ．
14．（4 分）如图，直线 a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3= 80° ．
【解答】解：∵a∥b， ∴∠4=∠l=60°，
∴∠3=180°﹣∠4﹣∠2=80°， 故答案为：80°．
第 10 页（共 22 页）
15．（4 分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步， 股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长 为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大 是多少步？”该问题的答案是
步．
【解答】解：∵四边形 CDEF 是正方形， ∴CD=ED，DE∥CF，
设 ED=x，则 CD=x，AD=12﹣x， ∵DE∥CF，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B， ∴△ADE∽△ACB， ∴ ∴ x=
，
（步），
， ，
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是 故答案为：
．
第 11 页（共 22 页）
16．（4 分）如图，以 AB 为直径的⊙O 与 CE 相切于点 C，CE 交 AB 的延长线于点 E，直径 AB=18，∠A=30°，弦 CD⊥AB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论 正确的是 ①③ ．（写出所有正确结论的序号） ① = ；
②扇形 OBC 的面积为 ③△OCF∽△OEC；
④若点 P 为线段 OA 上一动点，则 AP•OP 有最大值 20.25．
π；
【解答】解：∵弦 CD⊥AB， ∴ = ，所以①正确； ∴∠BOC=2∠A=60°， ∴扇形 OBC 的面积= ∵⊙O 与 CE 相切于点 C， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE=90，
∵∠COF=∠EOC，∠OFC=∠OCE， ∴△OCF∽△OEC；所以③正确； AP•OP=（9﹣OP）•OP=﹣（OP﹣3）2+9，
当 OP=3 时，AP•OP 的最大值为 9，所以④错误．
第 12 页（共 22 页）
= π，所以②错误；
故答案为①③．
三、解答题（本大题共 8 小题，满分 64 分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤）
17．（6 分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣ | 【解答】解：原式=1﹣2× =1﹣ =2．
+1+
+1+
18．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF，求证：四边形 BFDE 是平行 四边形．
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，且 AB=CD， 又∵AE=CF， ∴BE=DF，
∴BE∥DF 且 BE=DF，
∴四边形 BFDE 是平行四边形．
19．（8 分）如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B 在点 A 的右侧），作 BC⊥y 轴，垂足为点 C，连结 AB，AC． （1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC 的面积为 6，求直线 AB 的表达式．
第 13 页（共 22 页）
【解答】解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6 ∴反比例函数的解析式为 y= ．
（2）设 B 点坐标为（a，b），如图 作 AD⊥BC 于 D，则 D（2，b）
∵反比例函数 y= 的图象经过点 B（a，b） ∴b=
∴AD=3﹣ ． ∴S△ABC= BC•AD = a（3﹣ ）=6 解得 a=6 ∴b= =1 ∴B（6，1）．
设 AB 的解析式为 y=kx+b，
将 A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得
，
第 14 页（共 22 页）
，
解得 ，
直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+4．
20．（8 分）为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民 文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内 随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计 图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）这次参与调查的村民人数为 120 人； （2）请将条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数；
（4）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端 午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两 个项目的概率．
【解答】解：（1）这次参与调查的村民人数为：24÷20%=120（人）； 故答案为：120；
（2）喜欢广场舞的人数为：120﹣24﹣15﹣30﹣9=42（人）， 如图所示：
第 15 页（共 22 页）
；
（3）扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数为： ×360°=90°；
（4）如图所示：
，
一共有 12 种可能，恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的有 2 种可能， 故恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率为： ．
21．（8 分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护， 还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为 33000 平方 米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增 加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了 20%，结果提前 11 天完成 任务，求实际平均每天施工多少平方米？
【解答】解：设原计划平均每天施工 x 平方米，则实际平均每天施工 1.2x 平方 米，
根据题意得： 解得：x=500，
经检验，x=500 是原方程的解， ∴1.2x=600．
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﹣ =11，
答：实际平均每天施工 600 平方米．
22．（8 分）图 1 是某小区入口实景图，图 2 是该入口抽象成的平面示意图．已 知入口 BC 宽 3.9 米，门卫室外墙 AB 上的 O 点处装有一盏路灯，点 O 与地面 BC 的距离为 3.3 米，灯臂 OM 长为 1.2 米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．
（1）求点 M 到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽 2.55 米，总高 3.5 米的货车从该入口进入时，货车需 与护栏 CD 保持 0.65 米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计 算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：
≈1.73，结果精确到 0.01 米）
【解答】解：（1）如图，过 M 作 MN⊥AB 于 N，交 BA 的延长线于 N， Rt△OMN 中，∠NOM=60°，OM=1.2， ∴∠M=30°， ∴ON= OM=0.6，
∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9； 即点 M 到地面的距离是 3.9 米；
（2）取 CE=0.65，EH=2.55， ∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7，
过 H 作 GH⊥BC，交 OM 于 G，过 O 作 OP⊥GH 于 P， ∵∠GOP=30°， ∴tan30°= ∴GP=
OP=
=
，
≈0.404，
∴GH=3.3+0.404=3.704≈3.70＞3.5，
第 17 页（共 22 页）
∴货车能安全通过．
23．（10 分）已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿 CD 所在的直线对折，使点 B 落在点 B′处，连结 AB'，BB'，延长 CD 交 BB'于点 E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．
（1）如图 1，若 AB=AC，求证：CD=2BE；
（2）如图 2，若 AB≠AC，试求 CD 与 BE 的数量关系（用含 α 的式子表示）； （3）如图 3，将（2）中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段 FC， 连结 EF 交 BC 于点 O，设△COE 的面积为 S1，△COF 的面积为 S2，求 的式子表示）．
【解答】解：（1）如图 1 中，
（用含 α
第 18 页（共 22 页）
∵B、B′关于 EC 对称， ∴BB′⊥EC，BE=EB′， ∴∠DEB=∠DAC=90°， ∵∠EDB=∠ADC， ∴∠DBE=∠ACD，
∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°， ∴△BAB′≌CAD， ∴CD=BB′=2BE．
（2）如图 2 中，结论：CD=2•BE•tan2α．
理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°， ∴△BAB′∽△CAD， ∴ ∴
= =
=
，
，
∴CD=2•BE•tan2α．
（3）如图 3 中，
第 19 页（共 22 页）
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°﹣2α， ∵EC 平分∠ACB，
∴∠ECB= （90°﹣2α）=45°﹣α， ∵∠BCF=45°+α，
∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°， ∴∠BEC+∠ECF=180°， ∴BB′∥CF， ∴ ∵
= =
= ，
=sin（45°﹣α），
∴ =sin（45°﹣α）．
24．（10 分）已知抛物线 F：y=x2+bx+c 的图象经过坐标原点 O，且与 x 轴另一交 点为（﹣
，0）．
（1）求抛物线 F 的解析式； （2）如图 1，直线 l：y=
x+m（m＞0）与抛物线 F 相交于点 A（x1，y1）和点
B（x2，y2）（点 A 在第二象限），求 y2﹣y1 的值（用含 m 的式子表示）； （3）在（2）中，若 m= ，设点 A′是点 A 关于原点 O 的对称点，如图 2． ①判断△AA′B 的形状，并说明理由；
②平面内是否存在点 P，使得以点 A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
第 20 页（共 22 页）
【解答】解：（1）∵抛物线 y=x+bx+c 的图象经过点（0，0）和（﹣ ∴
，解得：
， x．
x，得：x2=m，
2
，0），
∴抛物线 F 的解析式为 y=x2+ （2）将 y= 解得：x1=﹣ ∴y1=﹣ ∴y2﹣y1=（ （3）∵m= ， ∴点 A 的坐标为（﹣
x+m 代入 y=x2+ ，x2= +m，y2=
，
+m，
+m）﹣（﹣ +m）= （m＞0）．
， ），点 B 的坐标为（ ，2）．
∵点 A′是点 A 关于原点 O 的对称点， ∴点 A′的坐标为（
，﹣）．
①△AA′B 为等边三角形，理由如下： ∵A（﹣
，），B（
，2），A′（
，﹣），
∴AA′= ，AB= ，A′B= ， ∴AA′=AB=A′B， ∴△AA′B 为等边三角形． ②∵△AA′B 为等边三角形，
∴存在符合题意得点 P，且以点 A、B、A′、P 为顶点的菱形分三种情况，设点 P 的坐标为（x，y）．
（i）当 A′B 为对角线时，有 ，
解得： ，
，）；
第 21 页（共 22 页）
∴点 P 的坐标为（2
（ii）当 AB 为对角线时，有 ，
解得： ，
∴点 P 的坐标为（﹣ ，）；
（iii）当 AA′为对角线时，有 ，
解得： ，
，﹣2）．
∴点 P 的坐标为（﹣
综上所述：平面内存在点 P，使得以点 A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形，点 P 的坐标为（2
， ）、（ ﹣
，
）和（﹣
，﹣2）．
第 22 页（共 22 页）
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