人教版高中数学选择性必修一讲义3.1.1 椭圆(第一课时)(精练)(解析版)

【题组一 椭圆的定义】

1．（2020·全国高三其他（理））已知平面内两个定点M(3,0)和点N(3,0),P是动点,且直线PM,PN的斜率乘积为常数a(a0),设点P的轨迹为C.

① 存在常数a(a0),使C上所有点到两点(4,0),(4,0)距离之和为定值; ② 存在常数a(a0),使C上所有点到两点(0,4),(0,4)距离之和为定值; ③ 不存在常数a(a0),使C上所有点到两点(4,0),(4,0)距离差的绝对值为定值; ④ 不存在常数a(a0),使C上所有点到两点(0,4),(0,4)距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号） 【正确答案】②④

【详细解析】设点P的坐标为:P（x,y）, 依题意,有:

yya, x3x3x2y2整理,得:1,

99a对于①,点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且c＝4,a＜0, 椭圆在x轴上两顶点的距离为:29＝6,焦点为:2×4＝8,不符; 对于②,点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,且c＝4,

25y2x2椭圆方程为:1,则9a916,解得:a,符合;

99a97x2y2对于③,当a时,1,所以,存在满足题意的实数a,③错误;

997y2x2对于④,点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线,即1,

9a9不可能成为焦点在y轴上的双曲线, 所以,不存在满足题意的实数a,正确. 所以,正确命题的序号是②④.

2．（2018·福建高二期末（理））已知△ABC的周长为20,且顶点B （0,﹣4）,C （0,4）,则顶点A的轨迹方

程是（ ）

x2y2A．1（x≠0）

3620x2y2B．1（x≠0）

2036x2y2D．1（x≠0）

206x2y2C．1（x≠0）

620【正确答案】B

【详细解析】∵△ABC的周长为20,顶点B （0,﹣4）,C （0,4）, ∴BC＝8,AB+AC＝20﹣8＝12,

∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值,∴点A的轨迹是椭圆, ∵a＝6,c＝4∴b2＝20,

x2y2∴椭圆的方程是1x0故选B．

2036x2y23．（2020·全国高三其他（文））已知椭圆1,A3,0,B2,1,点M是椭圆上的一动点,则

2516MAMB的最小值为（ ）

A．62 【正确答案】B

【详细解析】由题意知A为椭圆的右焦点,设左焦点为F1,由椭圆的定义知MF1MA10, 所以MAMB10MBMF1. 又MBMF1BF1,

B．102 C．112

D．122

如图,设直线BF1交椭圆于M1,M2两点.当M为点M1时,MBMF1最小,最小值为102.故选:B

x2y24．（2019·湖北襄阳。高二期中）椭圆1的左右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若PF14,则

94F1PF2________.

【正确答案】90

x2y2【详细解析】根据题意,椭圆1,其中a3,b2,则c5,

94点P在椭圆上,若|PF1|4,则|PF2|2a|PF1|642, , 在△F1|4,|PF2|2,|F1PF2中,|PF1F2|2c25则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,则有F1PF290,故正确答案为90．

x2y25．（2020·上海高二课时练习）椭圆1上一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则ON259等于______ 【正确答案】4

【详细解析】:根据椭圆的定义:

．

【题组二 椭圆定义的运用】

1．（2019·吉林省实验高二期末（理））方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 （ ） A．k0 【正确答案】B

B．1k2

C．k1

D．0k1

,所以

,

是MF1中点,

是

的中点,所以

x2y221,表示焦点在x轴上的椭圆,则有:02, 【详细解析】方程x2＋ky2＝2可变形为:22kk解得k1.易知当1k2时,k1,当k1时未必有1k2,所以1k2是k1的充分但不必要条件.故选B.

x2y22．（2018·天津静海一中高二期末（理））已知方程（ ） 1表示椭圆,则实数m的取值范围是

2mm1A．(,C．(,1) B．(2,D．(2,)

3)(1,) 233)(,1) 22【正确答案】D

【详细解析】2mm10,且2mm1,所以2m故选D．

33或m1． 22x2y23． （2019·福建城厢.莆田一中高二期中）“1k4”是“方程1表示的曲线为椭圆”的（ ）

4kk1A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【正确答案】B

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4k055,解得:1k或k4 【详细解析】若方程表示椭圆,则k10224kk12255xy{k1k或k4}是k1k4的真子集,所以“1k4”是“方程1表示的曲线

224kk1为椭圆”的必要不充分条件.故选:B

x2y24．（2020·四川射洪中学高二期中（文））若椭圆C:21的一个焦点坐标为0,1,则C的长轴长

mm1为（ ） A．3 【正确答案】D

B．2

C．22 D．23 m0m210x2y2,解得m2,所以【详细解析】由于方程21为椭圆,且焦点0,1在y轴上,所以2m1mmm12m1m1a2213,长轴长为2a23.故选:D

x2y25．（2020·湖北江岸.武汉二中高二期末）0m1是方程． 1表示椭圆的（ ）

2mm1A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【正确答案】B

B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

2m01xy【详细解析】若方程1表示椭圆,则有m10,解得0m1且m

32mm12m1m22x2y2所以0m1是方程1表示椭圆的必要不充分条件故选:B

2mm1x2y26．（2020·江西九江一中高二月考（理））方程1表示椭圆的一个必要不充分条件是（ ）

4mA．m＞0 【正确答案】A

B．m＞4

C．m＞0且m≠4

D．m＜0

x2y2【详细解析】若方程1表示椭圆,则m＞0且m≠4,

4mx2y2∴m＞0是方程1表示椭圆的一个必要不充分条件,故选:A

4mx2y27．（2019·浙江高三其他）已知p:方程1表示椭圆,q:5k3.则p是q的（ ）

5k3kA．充分不必要条件 C．充分必要条件 【正确答案】A

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5k0,xy【详细解析】若方程解得5k3且k1, 1表示椭圆,则3k0,5k3k5k3k,22易知p可以推出q,但是q不能推出p,故p是q的充分不必要条件．故选:A.

x2y28．（2020·广西钦州一中高三开学考试（理））设椭圆C:221(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2,离

ab心率为A．1

【正确答案】C 【详细解析】

3.PC

是上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=（ ） 2B．2

C．4

D．8

c3,3a24c2,由椭圆定义,PF1PF22a, a22由F1P⊥F2P得|PF1|PF222c,

21△PF1F2的面积为4,则|PF1|PF24,即|PF1|PF28,

2PF1PF222PF1PF24c2,即4a2163a2,解得a216,即a4,故选:C.

【题组三 椭圆的标准方程】

1．（2020·四川青羊.树德中学高三月考（文））已知椭圆C的焦点为F1(1,0),F2(1,0)．过点F1的直线与C交于A,B两点．若ABF2的周长为8,则椭圆C的标准方程为（ ）．

x2y2A．1

1615【正确答案】C

x2y2B．1

87x2y2C．1

43x2y2D．1

34【详细解析】根据椭圆的定义知ABF2的周长为4a8,∴a2,又c1,,∴b2a2c23,

x2y2∴椭圆C的标准方程为1．

4322xy2)且与2．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一期末）过点(3，1有相同焦点的椭圆的方程94是（ ）

x2y2A．1

1510x2y2C．1

1015【正确答案】A

x2y2B．1

225100x2y2D．1

100225x2y2【详细解析】椭圆1,

94∴焦点坐标为:（5 ,0）,（-5,0）,c=5,

x2y2∵椭圆的焦点与椭圆1有相同焦点

94x2y2设椭圆的方程为:2+2=1,

ab∴椭圆的半焦距c=5,即a2-b2=5 结合

94+21,解得:a2=15,b2=10 2abx2y2∴椭圆的标准方程为 1,故选A．

15103．（2020·上海高二课时练习）中心在原点,焦点在y轴上,焦距为8,且过点（3,0）的椭圆方程为（ ）.

x2y2A．1

259x2y2x2y2C．1或1

259925【正确答案】B

x2y2B．1

925x2y2x2y2D．1或1

916169【详细解析】因为焦距为8,所以2c8,即c4

22xy又因为椭圆的焦点在y轴上,且过点（3,0）,所以b3,a25 ,所以椭圆的方程为1.

9252故选:B

4．（2019·山西高三开学考试（文））在平面直角坐标系xoy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1、F2在x轴上,离心率为

2,过F1的直线l交C于A、B两点,且ABF2的周长为16,那么C的方程为（ ） 2x2y2A．1

3618x2y2C．1

42【正确答案】D

x2y2B．1

1610x2y2D．1

168【详细解析】根据题意,ABF2的周长为16,即BF2AF2BF1AF116, 根据椭圆的性质,有4a16,即a4;椭圆的离心率为2c2,即,则a2c,故c22,则2a2x2y21,故选:D． bac8,则椭圆的方程为1682225．（2020·福建高二期末（文））焦点在𝑥轴上的椭圆

𝑥24

+𝑚=1的离心率为2,则实数𝑚的值为（ ）

𝑦21

A．1

【正确答案】D

B．√3 C．2 D．3

【详细解析】焦点在𝑥轴上的椭圆𝑚=3. 故正确答案为:D.

𝑥24

1√4−𝑚+𝑚=1的离心率为2,则𝑎2=4,𝑏2=𝑚,𝑐2=4−𝑚,故𝑒==⇒22

𝑦21

1x2y26．（2020·河北衡水中学高考模拟（文））已知椭圆C:221(ab0)的离心率为,且椭圆C的长

2ab轴长与焦距之和为6,则椭圆C的标准方程为( )

4x2y2A．1

256【正确答案】D

x2y2B．1

42x2C．y21

2x2y2D．1

431c1x2y2【详细解析】依题意椭圆C:221(ab0)的离心率为得,

2a2ab椭圆C的长轴长与焦距之和为6,2a2c6,

x2y2解得a2,c1,则b3,所以椭圆C的标准方程为:1,故选D

437．（2020·海林市朝鲜族中学高三课时练习）已知椭圆过点P,4和点Q354,3,则此椭圆的方程是 5y2A．x21

25x2C．y21

25【正确答案】A

x2y222B．y1或x1

2525D．以上均不正确

【详细解析】设经过两点P,4和点Q354,3的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0,m≠n）, 59m16n＝1125y22

,解得m1，n ,∴所求椭圆方程为+x=1．故选A． 代入A、B得, 162525m9n＝1258．（2020·全国高二课时练习）已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且F1F2＝23,若|PF1|与|PF2|的

等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为( )

x2y2A．1

129x2y2C．1

912【正确答案】B

x2y2x2y2B．1或1

129912x2y2x2y2D．1或1

4845454823,∴c＝3. 【详细解析】由已知2c＝FF12＝2FF43,∴a＝23. ∵2a＝PF1＋PF2＝12＝∴b2＝a2－c2＝9.

x2y2x2y2故椭圆C的标准方程是1或1.

129912【题组四 离心率】

x2y21．点P(x,y)是椭圆221(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2≤90°,则该椭圆的离

ab心率的取值范围是( ) A．02 2B．

2≤e<1 22 2C．0D．e＝【详细解析】方法一:∵点P(x,y)是椭圆上的任意一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2≤90°, ∴以F1F2为直径的圆与椭圆至多有一个公共点,∴cb,∴c2b2a2c2,∴2c2a2,

c2122,∴0e∴2,e．故选A．

2a22方法二:

由题意得当点P为短轴的端点时,∠F1PF2最大,只要此时∠F1PF2≤90°即可, 这时|PF1|＝|PF2|＝a,|F1F2|＝2c,在△PF1F2中由余弦定理得

a2a24c2c22222,aa≥4c,,∴＋解得∴．故选A． cosF1PF20e0e22a2a2x2y202．（2020·四川高三一模（理））已知椭圆221(ab0)的左焦点F1,过点F1作倾斜角为30的直线

ab与圆x2y2b2相交的弦长为3b,则椭圆的离心率为（ ） A．

1 2B．

2 2C．

3 4D．3 2【正确答案】B

0【详细解析】过点F1倾斜角为30的直线方程为:y3xc,即x3yc0, 3则圆心0,0到直线的距离:dc13c, 22c由弦长公式可得:2b3b,

42整理可得:b2c2,a2c2c2,a22c2则:e212.本题选择B选项. ,e22x2y23,m

3．（2020·河北新华.石家庄二中）若焦点在x轴上的椭圆 则（）1的离心率为m162A．31 【正确答案】D

【详细解析】焦点在x轴上,所以a2m1,b26 所以c2m16m5离心率eB．28

C．25

D．23

3 ,所以2c2m53e2 解方程得m=23所以选D

am1424．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（文））在平面直角坐标系xOy中,已知ABC顶点A2,0和

sinAsinCx2y2C2,0,顶点B在椭圆1上,则 （ ）

sinB73A．7 2B．3 2C．2 D．

1 2【正确答案】A

x2y2【详细解析】 1可得:a7,b3 73又

ca2b2=732 故椭圆的左右焦点分别为:2,0,2,0

A2,0和C2,0是椭圆的左右焦点

由顶点B在椭圆,根据椭圆的定义可得:BCAB2a27 根据正弦定理:

abc,“角化边” sinAsinBsinCsinAsinCBCAB2a7,

sinBAC2c2故选:A.

x2y25．（2020·四川内江.高二期末（理））已知椭圆C:221ab0的右顶点为A,左焦点为F,若以AFab为直径的圆过短轴的一个顶点,则椭圆的离心率为（ ） A．3 【正确答案】B

B．51 2C．3 2D．

51

4

x2y2【详细解析】设椭圆C:221的焦距为2c,则Fc,0,Aa,0,

ab因为圆以AF为直径, 所以半径racac,圆心到原点的距离为a22ac, 2因为以AF为直径的圆过短轴的一个顶点, 所以r2b2ac222ac,即

222b2ac22,

cc2化简得acb,acac,12,

aa21则e1e,ee10,e222255151,解得e或（舍去）, 422故选:B.

x2y210．（2020·全国高三课时练习（理））已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆221ab0上一点,若

abPF1PF2,tanPF2F12,则椭圆的离心率e（ ）

A．5 3B．

1 3C．

2 3D．

1 2【正确答案】A

x2y【详细解析】∵点P是以F1,F2为焦点的椭圆2+2=1（a＞b＞0）上一点,PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,

ba∴

PF1PF2=2,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由椭圆定义知x+2x=2a,∴x=

2a2a4a,∴|PF2|=,则|PF1|==,由勾股定理知333|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,∴解得c=

c55a,∴e==．

a33