2002考研数四真题及解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题

一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)

n2na1(1) 设常数a1，则limlnn2n(12a)n.

(2) 已知f (x)的一个原函数为lnx，则

2xf(x)dx1(3) 设矩阵.

121BA3A2E,,则B231.

(4) 设向量组(a,0,c),2(b,c,0),3 (0,a,b),线性无关,则

a,b,c必须满足关系式. 0 1 (5) 设随机变量X,Y的联合概率密度分布为

Y X 0 1 则X,Y的相关系数-1 0.07 0.08 .

0.18 0.32 0.15 0.20

二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内可导，则 ( )

(A)当f(a)f(b)0时，存在(a,b)，使f()0. (B)对任何(a,b)，有lim[f(x)f()]0.

x(C)当f(a)f(b)时，存在(a,b)，使f()0.

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(D)存在(a,b)，使f(b)f(a)f()(ba).

(2) 设函数f(x)连续，则在下列变上限定积分定义的函数中,必为偶函数的是 ( )

(A)(C)

x0xt[f(t)f(t)]dt (B)t[f(t)f(t)]dt

0x0f(t2)dt (D)f2(t)dt

0x(3) 设A,B为n阶矩阵, A,B分别为A,B对应的伴随矩阵,分块矩阵C的伴随矩阵C ( )

A0，则C 0BAA(A)0BB0, (B)0BBAB0, (C)0AABA0, (D)0BA0 AB(4) 设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为f1(x) 和f2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则 ( )

(A)f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度. (B)F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数. (C)F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数. (D)f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度. (5) 设随机变量X1,X2,德柏格(Levy,Xn相互独立,SnX1X2Xn则根据列维—林

Lindberg)中心极限定理, 当n充分大时,Sn近似服从正态分布, 只要

X1,X2,,Xn ( )

(A) 有相同的数学期望. (B) 有相同的方差.

(C) 服从同一指数分布. (D) 服从同一离散型分布.

三、(本题满分5分)

求极限 limx0x0uarctan(1t)dtdu0

x(1cosx)2四、(本题满分7分)

设函数uf(x,y,z)有连续偏导数，且zz(x,y)由方程xeyeze所确定，求

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xyz__________________________________________________

du.

五、(本题满分6分)

设f(sinx)六、(本题满分7分)

设闭区域D:xyy,x0.f(x,y)为D上的连续函数,且

222xx,求f(x)dx. sinx1xf(x,y)1x2y2求f(x,y). 七、(本题满分7分)

8f(u,v)dudv.

D22p设某商品需求量Q是价格p的单调减少函数:QQ(p),其需求弹性0. 192p2(1) 设R为总收益函数,证明

dRQ(1). dp(2) 求p6时,总收益对价格的弹性,并说明其经济意义. 八、(本题满分6分)

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)0.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[a,b]，使 九、(本题满分8分)

设四元齐次方程组(I)为baf(x)g(x)dxf()g(x)dx.

ab2x13x2x30,且已知另一四元齐次线性方程组(II)x12x2x3x40,TT的一个基础解系为1(2,1,a2,1),2(1,2,4,a8).

(1) 求方程组(I)的一个基础解系;

(2)当a为何值时,方程组(I)与(II)有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零公共解. 十、(本题满分8分)

a111设实对称矩阵A1a1, 求可逆矩阵P，使PAP为对角形矩阵,并计算行列

11a式AE的值. 十一、(本题满分8分)

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设A, B 是任意二事件,其中A 的概率不等于0和1,证明：P(B|A) P(B|A)是事件A与B独立的充分必要条件. 十二、(本题满分8分)

假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间E(X) 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y).

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析

一、填空题 (1)【答案】

1 12a【详解】里面为型，通过凑成重要极限形式来求极限， “1”“ln”n2na11limlnlimln1nn(12a)nn(12a)11limln1n12an(12a)

(2)【答案】2lnxlnxC

2n1n(12a)12a

n(12a)11lne． 12a12a__________________________________________________

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【详解】用分部积分法

xf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dx

由题设知f(x)(lnx)所以 所以

(3)【答案】2lnx， x2lnxf(x)dxdx2lnxdlnxln2xC1,

x22xf(x)dxxf(x)f(x)dx2lnxlnxC． 012

11111101，故，A2EAE，

2321222【详解】A所以 BA3A2E(A2E)(AE)因为B0，故B可逆，B的同时，单位矩阵化为B1)

110121 212220B1(B经过初等行变换化为单位矩阵

E初等行变换EB21102001 E交换1，2行的顺序2001211020011行1210012 2行1行01112行(1)0111故 B1012． 11

(4)【答案】abc0

【详解】方法1：由题设条件三个三维向量1,2,3线性无关，则以1,2,3为列向量的

三阶矩阵的秩为31,2,30,(n阶矩阵A的秩等于n的充要条件是A0)

ab01,2,30caabcabc0000c20a20b22abc

c0b故abc0．

方法2：1,2,3线性无关则以1,2,3为列向量的三阶矩阵的秩为3

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齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数，故线

性齐次方程组1x12x23x31,2,3x0只有零解．

当齐次方程组对应矩阵为方阵时，有1,2,30(Amn时，r(A)n)

ab0故 1,2,30

(5) 【答案】0.02．

【详解】X2、Y2和X2Y2都是01分布，而01分布的期望值恰为取1时的概率p．

由离散型随机变量X和Y的联合概率分布表可得X2的可能取值为0和1，且Y2的可能取值也为0和1，且X和Y的边缘分布为

caabcabc0000c20a20b22abc0 c0bPX00.070.180.150.4；PX10.080.320.200.6； PY10.070.080.15；PY00.180.320.5； PY10.150.200.35；

故有

X 0 1

Y 1 0 1

0.15 0.5 0.35

0.4 0.6

PX20,Y20PX0,Y00.18,

PX20,Y21PX0,Y1PX0,Y10.070.150.22, PX21,Y20PX1,Y00.32,

PX21,Y21PX1,Y1PX1,Y10.080.200.28,

而边缘分布律：

PX20PX00.4，PX21PX10.6， PY20PY00.5，

PY21PY1PY10.150.350.5

所以，(X,Y)的联合分布及其边缘分布为

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22__________________________________________________

Y2 X2 0 1 0 0．18 0．32 0．50 1 0．22 0．28 0．50 0．40 0．60 1 由上表同理可求得X2Y2的分布律为

X2Y2 0 0．72 1 0．28 P 所以由01分布的期望值恰为取1时的概率p得到：

E(X2)0.5，E(Y2)0.60,E(X2Y2）0.28cov（X，Y）E（XY）E(X)E(Y)0.280.60.50.02

二、选择题 (1)【答案】(B)

222222

【详解】方法1：论证法．由题设f(x)在开区间(a,b)内可导，所以f(x)在(a,b)内连续，

因此，对于(a,b)内的任意一点，必有limf(x)f(). 即有lim[f(x)f()]0．故

xx选(B)．

方法2：排除法．

(A)的反例：f(x)1x(a,b]，有f(a)1,f(b)1,f(a)f(b)10，

1xa但f(x)在(a,b)内无零点．

(C)与(D)的反例，f(x)x1x(1,1]x1 f(1)f(1)1，但f(x)1(当

x(1,1))，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．

(2)【答案】(D)

【详解】对与(D)，令F(x)x0t[f(t)f(t)]dt，则F(x)t[f(t)f(t)]dt，令

0xxtu，则dtdu，所以

F(x)t[f(t)f(t)]dt(u)[f(u)f(u)]du

00xu[f(u)f(u)]duF(x),

0x__________________________________________________

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所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如f(t)1t．故应选(D)．

(3)【答案】(D)

【详解】方法1：直接算出C

A1A2因为准对角矩阵AA11A211A可逆的充要条件是A(i1,2,iAnA2An0 1B,n)均可逆，且有

A1，故A,B均可逆. 又AAn11A1A2An，故

A0A0A11CCCAB0B0B0ABA10故应选(D)．

BAABB1000 AB方法2：对四个选项逐个验算，选使CCCE2n(C为2n2n矩阵，故这里的单位矩阵

为2n阶方阵)成立的C即可．对(D)有

A0BACC00B

0BAAAB0(矩阵的乘法) ABB0ABEn00(AAAE，BBBE)

ABEnEABn(提取公因子) EnA1CE2n(因为

A2AnA1A2An，故CAB)

(4) 【答案】D

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【分析】函数f(x)成为概率密度的充要条件为：(1)f(x)0; (2)

函数F(x)成为分布函数的充要条件为：(1)F(x)单调不减； (2)limF(x)0,limF(x)1;(3)F(x)右连续.

xxf(x)dx1.

我们可以用以上的充要条件去判断各个选项，也可以用随机变量的定义直接推导. 【详解】方法1：

(A)选项不可能，因为

[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx1121

也不能选(B)，因为可取反例，令

1,f1(x)0,1x0其他1,f2(x)0,0x1其他

显然f1(x)，f2(x)均是均匀分布的概率密度. 而

f1(x)f2(x)0，不满足(C)当然也不正确，因为

xf1(x)f2(x)dx1条件.

lim[F(x1)F(x2)]1121

根据排除法，答案应选(D).

方法2：令Xmax(X1,X2)，显然X也是一个随机变量. X的分布函数为

F(x)PXxPmax(X1,X2)xPX1x,X2x

PX1xPX2xF1(x)F2(x).

(5)【答案】C．

【分析】列维—林德柏格(LevyLindberg)中心极限定理要求随机变量X1,X2,,Xn相

互独立、同分布且方差存在．当n充分大时，SnX1X2Xn才近似服从正态分布，

故本题只要求验证满足同分布和方差存在的条件．

【详解】方法1：当条件(C)成立时，同分布满足，方差存在也满足，因为指数分布的随机

变量方差存在的，答案应选(C)． 方法2：条件(A)、(B)均不能保证X1,X2,,Xn具有相同的分布．条件(D)不能保证方差的

存在，根据排除法，唯一的正确选项只能是(C)．

三【详解】

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22limx0x0xuuarctan(1t)dtduduarctan(1t)dt0等价无穷小lim00 x013x(1cosx)x2x2洛必达法则limx00arctan(1t)dt32x2arctan(1x2)2x洛必达法则lim

x03x2． 346

四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．duf1dxf2dyf3dz

zz(x,y)由xexyeyzez所确定，两边求全微分，有

d(xexyey)d(zez)d(xex)d(yey)d(zez) xexdxexdxyeydyeydyzezdzezdz，

ex(x1)dxey(y1)dy,(设z10). 解出 dzez(z1)xye(x1)dxe(y1)dy所以 duf1dxf2dyf3 ze(z1)xye(x1)e(y1)f1f3zdxff32dy ze(z1)e(z1)方法2：

uzuzf1f3,f2f3(根据多元函数偏导数的链式法则) xxyy下面通过隐函数求导得到

zzxyz，．由xeyeze两边对x求偏导数，有 xyxexex(zezez)z, xzyeyeyzxexexuu,表达式 z(设z10)得，．类似可得，，代入zzzyzeexyxzeexxuxeef1f3(z),xzeezyyuyeef2f3(z)， yzeez再代入 duuudxdy中，得 xy__________________________________________________

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xye(x1)e(y1)dxffdy． duf1f3z23ze(z1)e(z1)

五【详解】首先要从f(sinx)22x求出f(x)． sinxu，xarcsinu，于是f(u)命usinx，则有sinx求出函数的表达式)

arcsinu．(通过换元uxxarcsinxarcsinxf(x)dxdxdx 1x1xx1xxsintt2sintcostdt(换元积分法) costtsintdt2tcostsintC(分部积分法)

21xarcsinxxC．

六【详解】令

Df(u,v)dudvA, 于是f(x,y)1x2y288A.

把f(u,v)1uv22A代入f(u,v)dudvA,得

D88AA1u2v2Adudv1u2v2dudvdudv． DDD而区域D是以(0,12)为圆心，以12为半径的半圆面(如图所示)，

11所以 dudvD的面积

228D2D1uvdudv极坐标dsin2220sin01rrdr2d02sin03122d(1r) 331222(1r)030d201113(1cos)d2cos3d 3323011111312222(1sin)dsinsin|0sin|02(), 32303239323__________________________________________________

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12()A, 32312解得 A()

623得到 A所以 f(x,y)1xy

七【分析】弹性公式：|2242(). 323pdQ|

Q(p)dp【详解】(1) 总收益R(p)pQ(p), 两端对p求导得

dRdQpdQQ(p)pQ(p)1 (1) dpdpQ(p)dp又因为Q(p)是p的单调减函数，故

dQpdQ0，按弹性公式有，即dpQ(p)dppdQ，代入(1)，得

Q(p)dpdRQ(p)(1). dp(2) 总收益R对价格p的弹性

2p21923p2ERpdRpQ(1)11

192p2192p2EpRdpR所以

EREpp670.54. 13经济意义：当p6时，若价格上涨1%，则总收益将增加0.54%.

八【详解】方法1：因为f(x)与g(x)在a,b上连续，所以存在x1x2使得

f(x1)Mmaxf(x)，f(x2)mminf(x)，

x[a,b]x[a,b]满足mf(x)M．又g(x)0，故根据不等式的性质

mg(x)f(x)g(x)Mg(x)

根据定积分的不等式性质有

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mg(x)dxf(x)g(x)dxMg(x)dx,

aaabbb所以 mbaf(x)g(x)dxbag(x)dxM.

由连续函数的介值定理知，存在[a,b]，使f()即有

baf(x)g(x)dxb

ag(x)dxbaf(x)g(x)dxf()g(x)dx．

ab方法2：因为f(x)与g(x)在a,b上连续，且g(x)0，故

存在，且

bbaf(x)g(x)dx与g(x)dx都

abag(x)dx0.

bbb记

baf(x)g(x)dxbag(x)dxh，于是f(x)g(x)dxhg(x)dxhg(x)dx,即

aaaba(f(x)h)g(x)dx0

因此必存在(a,b)使f()h．不然，则在(a,b)内由连续函数的零点定理知要么

f(x)h恒为正，从而根据积分的基本性质得(f(x)h)g(x)dx0；要么f(x)hab恒为负，同理得

ba(f(x)h)g(x)dx0，均与(f(x)h)g(x)dx0不符．由此推

ab知存在(a,b)使f()h，从而



baf(x)g(x)dxf()g(x)dx．

ab九【详解】(1)对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有：

2310A1211交换1，行的顺序2121123102行1行21211 0132系数矩阵的秩为2，故基础解系由4-2个线性无关解向量组成，选x3,x4为自由未知量，分别取x31，x40及x30，x41，求得方程组的两个线性无关解

1(5,3,1,0)T，2(3,2,0,1)T

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TT由此可得方程组(I)的基础解系为1(5,3,1,0)，2(3,2,0,1)．

(2)方法1：由题设条件，根据齐次线性方程组的解的结构，方程组(II)的通解为

212k1k212k2k12k2 k11k22k1a24(a2)k14k21a8k(a8)k12(数乘运算，数与向量的每个元素相乘)； (对应元素相加)

方程组(I)与(II)有非零公共解，即方程组(II)的有些解也是(I)的解，把(II)的通解表达式代入方程组(I)，整理后得

(a1)k10(a1)k1(a1)k20()

要使方程组(I)(II)有非零公共解，只需关于k1,k2的方程组()有非零解．

所以，当a1时，由()知k1k20，方程组(I)与(II)无非零公共解；当a1时，无论k1,k2为何值，()恒成立，(II)的通解满足方程组(I)，即方程组(II)的全部解都是(I)的解，故a1时，

2112k11k22k1k2

1417是方程组(I)、(II)的全部非零公共解(k1,k2为不全为零的任意常数)．

方法2：方程组(I)的通解为1122，(II)的通解为k11k22，则方程组(I)(II)的公

共解应满足

k11k221122，即1122k11k220

方程组(I)与(II)有非零公共解，即存在不全为零的1,2,k1,k2使得上式成立，把

1,2,k1,k2看作未知数，问题转化为上式存在非零解，写成矩阵的形式

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2111533212220[1,2,1,2]k110a24k1kk011a822对系数矩阵做初等变换

()

153223211行2行3210a241011a80交换1，2的顺序1201122行1行1121a241a80313行2行4行2行011701a2711a8010111011103 a241a8011210312行1行23行1行011100a2411a80103117 0a1000a1当a1时，系数矩阵的秩为4，()只有零解，方程组(I)与(II)无非零公共解． 若a1时，系数矩阵的秩为2(小于未知量的个数)，故上述方程组()有无穷多解，一定有非零解，即方程组(I)(II)有非零公共解，其同解方程组为

123k20，取k1,k2为自由未知量， 分别取k1c1,k2c2，解得 2k17k202c17c2,123k2c17c23c2c14c2

此时k11k221122，故c11c22(或1122)，其中c1,c2是不同时为零的任意常数，为方程组(I)(II)的非零公共解．

十【详解】矩阵A的特征多项式

aEA111111行3行a111020a11

a10a1aaa13列1列11a1(a1)(1)11a12a111a1

(按第1行展开，其中(1)中的两个1分别指(a1)所在的行数和列数)

(a1)[(a)(a1)2](a1)[(a)2(a)2]

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(a1)(a1)(a2)(a1)2(a2)

令

EA0，得矩阵A的特征值12a1,3a2.

111x11对于特征值12a1, 由[(a1)EA)]X0，即11x20，

111x3系数矩阵进行初等行变换

2行1行1111113111111行1行1110001r000，故r111， 111000111000基础解系中含有2个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，同解方程组为

x1x2x30，选x2,x3为自由未知量，取x21,x30和x20,x31，

可得对应的两个线性无关的特征向量

1(1,1,0)T,2(1,0,1)T

211x1对于特征值3a2，由[(a2)EA)]X0，即121x20，

112x3系数矩阵做初等行变换

211121121交换1，2行2行1行2121211033的顺序3行-1行 11211203312112113行-2行0333行011，

3000000211121112，故r121r0基础解系中含有1个(未知量的个数-系数矩阵

112000的秩)线性无关的解向量，同解方程组为可得对应的特征向量

x12x2x30，选x3为自由未知量，取x31，

xx0233(1,1,1)T

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令矩阵P(12111a1,有P1AP

3)101a1a2011由A的特征值为a1,a1,a2，可得AE的特征值为a,a,a3. n阶矩阵的行列式等于它的n个特征值的乘积，所以

AEa2(a3).

十一【详解】本题涉及条件概率及独立性．应熟记有关的公式

P(B|A) P(AB) 及P(AB)P(A)P(B)； P(A)方法1：由P(B|A) P(B|A)P(AB)P(AB)P(B)P(AB) P(A)1P(A)P(A)P(AB)1P(A)P(A)P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(B)

所以，P(B|A) P(B|A)是A与B独立的充分必要条件． 方法2：A与B独立，等价于A与B也独立， 由A与B独立有

P(B|A)P(AB)P(A)P(B) =P(B). P(A)P(A)同理，A,B独立有 P(B|A) P(B)．

总之，A与B独立，等价于A与B也独立，又等价于 P(BA)P(B|A)．

十二【详解】首先找出随机变量Y的表达式． Y由X和2(小时)来确定，所以

Ymin(X,2)．

指数分布的X的分布参数为 x11e5fX(x)50 11,其密度函数为： E(X)5x0x0 其中0是参数

由分布函数的定义：F(y)PYyPmin(X,2)y

(1) 当y0时，FY(y)0(因为YminX,2，其中X和2都大于0，那么小于0是

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不可能事件)

(2) 当y2时，FY(y)1(因为YminX,2最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)

(3) 当0y2时, F(y)PYyPmin(X,2)yPXy

所以

yfX(x)dxy01xy11e5dx1e5 50 y01yFY(y)1e5 0y2

1 y2

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