广东省深圳市育才中学2015届高三第二次月考数学(理) 含答案

育才中学2015届高三第二次月考

理科数学

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．

1.已知全集U1,2,3,4,5,6,7，M3,4,5，N1,3,6，则集合2,7等于 （ B ）

A．MN B．(CUM)2014.10.

(CUN)

C．(CUM)(CUN) D．MN

22.设p：2x3x10，q：x2(2a1)xa2a0，若p是q的必要而不充

分条件,则实数a的取值范围是 （ A ） A．0, B．0, C．(-∞,0]∪, D．(-∞,0)∪,

222211113. 如图，向量ab等于 ( D ) A．2e14e2 B．4e12e2 C．e13e2 D．e13e2

4.给定函数①yx，②ylog1(x1)，③y|x1|，④y2x1，其中在区间（0，1）

212be2e1a上单调递减的函数序号是 （ B ） A.①② B.②③ C.③④ D.①④

5. 已知

322，则tan(x)的值为 （ D ）

cos(x)sin(2x)411A.2 B.2 C. D.

22

sin(x)sin(x)

6.把函数y3cos(2x3)的图象向右平移m(m0)个单位，所得图象关于y轴对称，

则m的值可以是 （ B ） A.

 B. C. D. 364127.如图为函数f(x)ax3bx2cxd的图象，f'(x)为函数f(x)的导函数，则不等式

xf'(x)0的解集为 （ D ）

A．(,3)

B．(0,3)

yC．(3,) D．(,3)

8.设函数F(x)(0,3)

-3o3xf(x)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)f(x)xeB．f(2)e2f(0),f(2012)e2012f(0) D．f(2)e2f(0),f(2012)e2012f(0)

对于xR恒成立，则 （ D ） A．f(2)e2f(0),f(2012)e2012f(0) C．f(2)e2f(0),f(2012)e2012f(0)

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷上。 ．．．．．．．．．9.已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于_60°或120°.

10.函数fx=4x4,x1x4x3,x12的图像与函数gx=log2x的图像交点个数为___3__．

11．函数f(x)Asin(x)(0,22)的部分图象如图所示，则

f(x)_____2sin(2x3)____．

211π

O-2

5π1212

12. 直线y4x与曲线yx3围成的封闭图形的面积为____8_____． 13.关于函数fxcos2x23sinxcosx，下列命题： ① 若x1，x2满足x1x2，则fx1fx2成立； ②fx在区间,上单调递增； 63,0成中心对称； 127个单位后将与y2sin2x的图像重合． 12③函数fx的图像关于点④将函数fx的图像向左平移

其中正确的命题序号 ① ③ ④ （注：把你认为正确的序号都填上）

14.已知函数f(x)exalnx的定义域是D，关于函数f(x)给出下列命题：

①对于任意a(0,)，函数f(x)是D上的减函数； ②对于任意a(,0)，函数f(x)存在最小值；

③存在a(0,)，使得对于任意的xD，都有f(x)0成立； ④存在a(,0)，使得函数f(x)有两个零点．

其中正确命题的序号是_____②④______．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤。 15.(本题满分12分)已知向量a(cos,sin), b(3,1), （Ⅰ）当ab时，求的值； （Ⅱ）求|ab|的取值范围.

解：（Ⅰ）a⊥b ∴ab3cosθsinθ0 ……… 2分 易知cos0，得tanθ又∵. 223 4分

 即：θ= ……6分 22322（Ⅱ）|ab|=|a|2ab|b|12(3cosθsinθ)4

54sin(θ) ……… 9分

35θ θ … 11分 226361 1sin(θ) 24sin(θ)4

3233|ab|3 … 13分

16. (本题满分12分)已知函数f(x)lnx（Ⅰ）求a,b的值；

ab，当x1时，f(x)取得极小值3. x11a解：（Ⅰ）因为fx2 2分

xx（Ⅱ）求函数f(x)在,2上的最大值和最小值.

2f101a0所以 4分 f13ab3解得a1 6分

b212 x11x1 所以fx22

xxx （Ⅱ）因为fxlnx 所以fx0x1 列表如下

x — 1 21(,1) 2 1 0 极小值 (1,2) + 单调递增 2 y y 4ln2 单调递减 5ln2 2 当x1时，f(x)取得极小值即最小值：fxminf13

因为ff2123e2ln2lneln4ln0 243232 当x

11时，f(x)取得最大值fxmaxf4ln2 2217.(本题满分14分)已知向量p(2sin(x1),1)，q(cosx,)，函数 62f(x)pq(xR).

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期对称中心及单调减区间；

,f(C)0，若向量（Ⅱ）已知ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c3m(1,sinA)与n(2,sinB)共线，求a、b的值．

解：f(x)ab2sin(x6)cosx13112(sinxcosx)cosx 2222

2， 2k,kZ， 由2xk,kZ，得x6212kf(x)的对称中心：(,1)，kZ

21235,kZ，解得kxk,kZ， 由2k2x2k262365,kZ f(x)的单调减区间：k，k36f(x)的最小正周期：T

18.(本题满分14分)已知函数f(x)ex(axb)，曲线yf(x)经过点P(0 , 2)，且在点

P处的切线为 l：y4x2．

⑴ 求常数a，b的值；

⑵是否存在常数k，使得x[2 , 1]，f(x)k(4x2)恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由． 解：⑴f/(x)ex(axab)……2分，

0f(0)2e(a0b)2依题意，/即0， 4分

f(0)4e(a0ab)4解得ab2……6分。

⑵x[2 , 1]时，4x20，所以f(x)k(4x2)恒成立当且仅当

f(x)ex(x1)k……8分，

4x22x1ex(x1)ex(2x23x)/记h(x)，x[2 , 1]，h(x)……10分， 22x1(2x1)3由h/(x)0得x0（舍去），x……11分

233//当2x时，h(x)0；当x1时，h(x)0

223ex(x1)312所以h(x)在区间[2 , 1]上的最大值为h()e，常数k的取值范

2x1241围为(e2 , )……14分．

4

3

19.(本题满分14分)已知函数f(x)2cos2x123cosxsinx(01)，直线

x

3是f(x)图象的一条对称轴．

（1）试求的值：

（2）已知函数yg(x)的图象是由y=f(x)图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移

26个单位长度得到，若g(2),(0,),求sin的值。 3352

20．(本题满分14分)已知函数f(x)lnxax2(12a)x(a0)．

（1）求函数f(x)的最大值； （2）求函数f(x)在区间(1，2)上的零点的个数（e为自然对数的底数）； ea(x1，y1)、B(x2，y2)，线段AB的中点（3）设函数yf(x)图象上任意不同的两点为A(x0)． 为C(x0，y0)，记直线AB的斜率为k，证明：kf

（2）a0，01111(,1)(,1)(1,2) 递减； f(x)，在递增，aaaeeex1时，f(x)取得最大值：f(x)maxa1

①若a10，即a1，f(x)图象与x轴只有一个交点，故f(x)只有一个零点； ②若a10，即0a1，f(x)图象与x轴无交点，故f(x)没有零点； ③若a10，即a1，

f(11121121)lna()(12a)a()(12a)a eaeaeaeaeaea11a(a1)2a，

ee111a0，a(a1)2a0，即f(a)0，

eee而f(2)ln24a2(12a)ln220，

f(x)图象与x轴有两个交点，故f(x)有两个零点；

综上所述：a1时，f(x)只有一个零点；

0a1时，f(x)没有零点； a1时，f(x)有两个零点