一元二次不等式及分式不等式的解法(含答案)

典题探究

1例1 若0＜a＜1，则不等式(x－a)(x－)＜0的解是a（ ）

A.ax1111D.x或xaB.xaC.x或xaaa aa

2例2 xx6有意义，则x的取值范围是

例3 若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．

k(1x)10x2例4 解关于x的不等式(k≥0，k≠1).

演练方阵

A档（巩固专练）

1．关于x的不等式|x2|m的解集为R的充要条件是 （ ）

（A）m0 （B）m2 （C）m0 （D）m2

2．不等式(x1)x20的解集为 （ ）

（A）[1,) （B）[1,){2} （C）[2,1) （D）[2,)

3．不等式|x4||3x|a的解集为非空集合，则实数a的取值范围是（ ）

（A）a1 （B）a1 （C）a1 （D）3a4

4 .不等式

log1(x1)13的解集为 ( )

2（D）{x|1（A）{x|x>4} （B）{x|x<4} （C）{x|1axb0(1,)xxaxb0x25 .已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）

（A） (1,2) （B）(1,2) （C）(,1)(2,) （D）(2,)

22x2xay2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是（ ）6．若不等式

（A）a0 （B） a1 （C）a2 （D） a3

2g(x)aa1(xR)的解集为空集，则实数a的取值范围x7．若关于的不等式

是 ．

1axx28.关于的不等式（其中a0）的解集为 ．

ax502xxa9. 已知关于的不等式的解集为M．

（1）当a4时，求集合M； （2）若3M且5M，求实数a的取值范围．

2a1,P:a(x2)10,Q:(x1)a(x2)1.试寻求使得P,Q都成立的x的集合． 10.已知

B档（提升精练）

1．已知a，b都是实数，那么“a＞|b|”是“a2＞b2”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．在两个实数之间定义一种运算“#”，规定

1，a＜b，

a#b＝

－1，a≥b.

则方程|－

1

x2|#2＝1的解集是( )

1111

A．{} B．(，＋∞) C．(－∞，) D．[，＋∞)

4444

3．若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是( )

11baA.＞ B．|a|＞|b| C.＋＞2 D．a＋b＞ab

abab4．已知集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x||x－3|＞4}，则A∩(∁RB)为( )

A．(4,7] B．[－7，－1)

C．(－∞，－1)∪(7，＋∞) D．[－1,7]

5．对于非零实数a、b，“b(b－a)≤0”是“≥1”的( )

abA．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．设集合A＝{x| |x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是( )

A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2，或a≥4}

C．{a|a≤0，或a≥6} D．{a|2≤a≤4}

7．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )

911

A．3 B．4 C. D. 22

ax11,其中|a|1.xa8．解关于x的不等式

9．设a，b，c∈R＋，则(a＋b＋c)(

1

a＋bc1

＋)的最小值为__________．

10． (1)设x＞－1，求实数y＝

x＋5x＋2

x＋1

的最小值．

3

(2)设0＜x＜，求函数y＝5x(3－4x)的最大值．

4

C档（跨越导练）

21.不等式xx的解集是( )

A．,0 B. 0,11,,01, C.  D. 

2. 关于x的不等式(mx-1)( x-2)＞0，若此不等式的解集为{x|值范围是（ ）

＜x＜2}，则m的取

A. m＞0 B.0＜m＜2 C. m＞ D. m＜0

3．已知a1、a2∈(0,1)．记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是 ( )

A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不确定

4．“a＞0且b＞0”是“

a＋b2

≥ab”成立的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条

5．下列命题中的真命题是 ( )

A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若|a|＞b，则a2＞b2

C．若a＞b，则a2＞b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2

6．若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是( )

A.1a＞1b B.1a－b＞1a C．|a|＞|b| D．a2＞b27．若实数a，b，c满足|a－c|＜|b|，则下列不等式中成立的是( A．|a|＞|b|－|c| B．|a|＜|b|＋|c|

C．a＞c－b D．a＜b＋c

8．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则11

x＋y的最小值为( )

)

件 A．6 B．5 C．3＋22 D．42

9．已知a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系为________．

10．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是

一元二次不等式及分式不等式的解法参考答案

典题探究

11a例1 【答案】A【解析】比较a与a的大小后写出答案0根之间”，得

ax1a

例2【答案】x≥3或x≤－2．【解析】分析 求算术根，被开方数必须是非负数．

据题意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2．

11，b．22【解析】分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－

例3【答案】

a1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理．

解 根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知

b(1)21a得111(1)×22a，b．a22

(1k)xk20x2例4【解析】原不等式即，

1°若k=0，原不等式的解集为空集；

2k)(x2)0,1k

2°若1－k>0，即0(x2k2k2k此时1k－2=1k>0，∴若03°若1－k<0，即k>1时，原不等式等价于

(x2k)(x2)0,1k

2k2k此时恒有2>1k，所以原不等式的解集为{x|x<1k，或x>2}

演练方阵

A档（巩固专练）

1【答案】A【解析】由|x2|m得，m<0

2【答案】B【解析】x20x10即可x1

3【答案】B【解析】 有绝对值得几何意义可知: |x4||3x|表示数轴上的点到点4和点3的距离之和,所以|x4||3x|1, a>1即可

4【答案】Ｃ【解析】：由

log1(x1)13,得

log1(x1)log131log13333,

即0x13,即1x4.选C

bbaxbba010(x2)(x)0a5【答案】A【解析】由题a意得且a0,x2即x2，即.

x226【答案】C【解析】 x2xaa1，y2y1即a11，a2.选C.

7．【答案】a(,1)(0,)

22【解析】： g(x)aa1(xR)的解集为空集，就是1= [g(x)]max＜aa1所以

a(,1)(0,)

1ax2a1a00x28【解析】：x2.

当a0时

(x2)(x2a11)0x(2,2)aa. ，则

5a1,9【答案】39,25

54x5M,20,224. 【解析】：（1）当a4时，不等式为x4，解之，得

3a50,59aa9或a,3M,35a55a1,01a25.5M3（2）当a25时， 25a

9,25.

125x5M,50,525， 当a25时，不等式为x25， 解之，得

5a1,则3M且5M， ∴a25满足条件.综上可知39,25.

a(x2)10,2(x1)a(x2)1 P,Q10【解析】：由题意，要使都成立，当且仅当不等式组

1x2,a成立.此不等式组等价于(xa)(x2)0.

1x2,a111a(2)a20,a2aaa， ①当1a2时，则有x2或xa,而

所以

x2或21xaa ;

②当a2时，

x3且x22 ;

1x2,a1xa或2x2x2或xa,a③当a2时，则有所以.

1xx2或2xaa; 综上，当1a2时，使P,Q都成立的x的集合是当a2时，使P,Q都成立的x的集合是

B档（提升精练）

1【答案】A【解析】：由a＞|b|≥0一定能得出a2＞b2，但当a与b都小于0时，若

a2＞b2，则有a＜|b|，故其为充分不必要条件．

11

2【答案】B【解析】：运用规定的运算“#”转化求解，∵|－2|#2＝1，故|－2|＜2.

xx1解得x＞.

4

11b－a3【答案】C【解析】：－＝＜0，A选项错；b＜a＜0⇒－b＞－a＞0⇒|b|＞|a|，

ababB选项错；＋＝||＋||≥2，由于≠，所以等号不成立，C选项正确；a＋b＜0且abbabaabaabbab＞0，D选项错．

4【答案】A【解析】：因为A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝(－∞，－1)∪(7，＋∞)，所以A∩(∁RB)＝(4,7]．

5【答案】C【解析】：∵a≠0，b≠0，故有3 b(b－a)≤0⇔

b－ab≤0⇔1－≤0⇔≥1.

aabb6【答案】C【解析】：由于不等式|x－a|＜1的解是a－1＜x＜a＋1，当A∩B＝∅时，只要a＋1≤1或a－1≥5即可，即a≤0或a≥6.

7【答案】B【解析】：依题意得(x＋1)(2y＋1)＝9，

(x＋1)＋(2y＋1) ≥2x＋12y＋1＝6，x＋2y≥4，即x＋2y的最小值是4.

ax1xa(a1)x(a1)0即0,xaxa8解：

x10xa若

a1,则x10xa得原不等式的解集为{x|x1或xa};

若

a1,则,当

1a1时,a1,得原不等式的解集为{x|ax1}；

当a1时,a1，得原不等式的解集为{x|1xa}.

1ca＋bca＋b9【答案】4【解析】：(a＋b＋c)(＋)＝1＋＋＋1＝2＋＋≥2

a＋bca＋bca＋bc1

＋2＝4.

10【解析】解：(1)设x＋1＝t，∵x＞－1，∴t＞0，

原式化为y＝

t－12＋7t－1＋10t2＋5t＋4

＝

tt4

＝t＋＋5≥2 t4

t·＋5＝9，

t4

当且仅当t＝，即t＝2时，取等号，∴当x＝1时，y取最小值9.

t3x＋－x43333

2(2)∵0＜x＜，∴－x＞0.∴y＝5x(3－4x)＝20x(－x)≤20×[]＝20×()2

4442845

＝， 16

33345

当且仅当x＝－x，即x＝时，取等号．∴当x＝时，y取最大值.

48816

C档（跨越导练）

2,01,1.【答案】 D【解析】由xx得x(x1)0,所以解集为,故选D;别解:抓

住选择题的特点,显然当x2时满足不等式,故选D.

2.【答案】D【解析】解析：由不等式的解集形式知m＜0.

3.【答案】B【解析】：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，

∵a1、a2∈(0,1)，∴(a1－1)(a2－1)＞0，∴M＞N.

4.【答案】A【解析】：由于a＞0且b＞0⇒＞0.只能推出a≥0且b≥0.

a＋b2

≥ab，但

a＋b2

≥ab⇒/ a＞0且b5.【答案】D【解析】：∵a＞|b|≥0，∴a2＞b2.

6.【答案】B【解析】：∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0.由a＜b＜0得＞，∴A成立．由

11

aba＜b＜0得|a|＞|b|，∴C成立．由－a＞－b＞0得(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2，∴D成立．

∵a＜b＜0，∴a－b＜0，∴a＜a－b＜0，∴－a＞b－a＞0，

∴＜－a－

1

11，∴＞，∴B不成立．

a－baa－b1

7.【答案】B【解析】：∵|a－c|＜|b|，而|a|－|c|≤|a－c|，∴|a|－|c|＜|b|，即|a|＜|b|＋|c|.

11x＋2yx＋2y2yx8.【答案】C【解析】：＋＝＋＝3＋＋≥3＋22.

xyxyxy2yx2(当＝即x＝2－1，y＝1－时取“＝”)

xy2

9.【答案】a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1

【解析】解析：法一：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(b1－b2)(a1－a2)，a1≤a2，b1≤b2，∴a1－a2≤0，b1－b2≤0，∴(b1－b2)(a1－a2)≥0，∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.

法二：取a1＝a2＝b1＝b2，则两式相等．取a1＝1，a2＝2，b1＝3，b2＝4，则a1b1＋a2b2＝11，a1b2＋a2b1＝10，∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.

10.【答案】(－3,3)【解析】：∵－4＜β＜2，则0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.