梁的剪力方程和弯矩方程--常用弯矩图

5-7．试列出以下梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。

1、 解：首先求出支座反力。考虑梁的整体平衡

Me A 由 MB0,FRAlMe0

l FRB 得 FRAMe lFRA 由 MA0,FRBlMe0 得 FRBMe/l Me l则距左端为x的任一横截面上的剪力和

剪力图 弯矩表达式为：

FSxFRAMe lMex lMe 弯矩图 MxFRAx剪力方程为常数，说明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x的一次函数，说明弯矩图是一条斜直线。(如图) 2、 解：首先求出支座反力。考虑梁的平衡 q l5A 由 Mc0,FRBlql0 C B 245FRB FRC 0.5l l 得 FRBql 81由 MB0,FRClql20

20.125ql 1得 FRCql

2则相应的剪力方程和弯矩方程为： 0.5ql lAB段：〔0x1〕

剪力图 2FSx1qx10.125ql2 12

Mx1qx12BC段：〔

弯矩图

l3lx2〕 22

5ql1qlql828

5qllllMx2qx2x22482FSx2AB段剪力方程为x1的一次函数，弯矩方程为x1的二次函数，因此AB段的剪力图

为斜直线，弯矩图为二次抛物线；BC段剪力方程为常数，弯矩方程为x2的一次函数，所以BC段剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为斜直线。〔如图〕

5-9 用简便方法画以下各梁的剪力图和弯矩图。 〔2〕 q =5KN/m Me =8KN.m 解：由梁的平衡求出支座反力：

A B 4m C 2m FRA8KN,FRB12KN

AB段作用有均布荷载，所以

AB段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC段没有荷载作用，所以BC段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。 在B支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力〔支座反力FRB〕的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。〔如图〕

FRA FRB 8KN 12KN 剪力图 6.4KN.M 弯矩图

〔5〕

8KN.M 解：由梁的平衡求出支座反力：

FRA3.5KN,FRB6.5KN

F =2KN q =4kN/m A B 1m 1m C 2m D FRA FRB AB与BC段没有外载作用，所以AB、BC段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD段作用均布荷载，所以CD段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线。

3.5KN 1.5KN

6.5KN

剪力图

3.5KN.m 5.3KN.m 弯矩图

〔7〕

q

A B C q a a qa 剪力图

qa2 弯矩图

5.14试用叠加法画以下各梁的弯矩图。

〔1〕

在B处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力F的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。〔如图〕

解：AB段作用有均布荷载〔方向向下〕，所以AB段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC段作用有均布荷载〔方向向上〕，所以BC段的剪力图为上倾直线，弯矩图为

上凸直线。〔如图〕

F =10KN Me =6KN.m Me =6KN.m A C = A B B 3m 3m 3m 3m 6KN.m 6KN.m = 12KN.m 弯矩图

〔4〕 F =0.25ql F =0.25ql q D A A B C B C = 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 0.125ql2 = 0.0625ql2

弯矩图

题型：计算题

F =10KN C + A 3m B 3m C +

15KN.m q D + A 0.5l B 0.5l C 0.5l D 0.125ql2 +

题目：试作图所示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。

【解】

1、列剪力方程和弯矩方程

取坐标原点与梁左端点A对应。选取距梁左端点A为x的任一截面，如图(a)所示，以该截面左侧梁段上的外力，写该截面上的剪力和弯矩表达式，即可得到梁AB的剪力方程和弯矩方程为

上面两式后的括号内，说明方程适用范围。由于截面A,B处有集中力作用，则其剪力为不定值，第一式的适用范围为

。由于截面B有

关于

集中力偶作用，则其弯矩也为不定值，第二式的适用范围为这个问题，待后面作进一步说明。 2、作剪力图和弯矩图

剪力方程说明，梁各截面上的剪力都相等，因此剪力图应是一条平行于横轴的直线。取直角坐标系x—

，画出梁的剪力图为一水平直线。因

各横截面的剪力为负值，故画在横轴下面，如图〔b〕所示。

弯矩方程说明，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图应是一条倾斜直

线。可以确定其上两点，在x = 0处，M=0；在x=L处〔应理解为x略小于L处〕，M=PL。取直角坐标系OxM，表示弯矩的纵坐标以向下为正，画出梁的弯矩图，如图〔c〕所示。由图可见，最大弯矩发生在固定端B稍偏左的横截面上，其值为

常见问题题2 题型：计算题

题目：试作图〔a〕所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。

【解】

1、求支座反力

由梁的平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为

2、列剪力方程和弯矩方程

取坐标原点与梁左端点A对应。列出梁AB的剪力方程和弯矩方程为

3、作剪力图和弯矩图

剪力方程说明，剪力

是x的一次函数，剪力图应是一条倾斜直线。

处〔应理解为

因此，只要确定其上两点，即可绘出该梁的剪力图。在

x略大于0〕, ；处〔应理解为x略小于〕，。画

出梁的剪力图，如图(b)所示。由剪力图可见，，该梁最大剪力发生在支座

内侧的横截面上，其值为

弯矩方程说明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图应是一条抛物线。因此，只要确定其上三个点，即可绘出该梁的弯矩图。在

处，M=0；在

处，M=0；在处，

。画出弯矩图，如图6-12(c)所示。由弯矩图可

见，该梁最大弯矩发生在梁的跨中截面处，其值为

在此截面上剪力为零。 常见问题题3 题型：计算题

题目：试作图(a)所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。

【解】

1、求支座反力

由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为

2、列剪力方程和弯矩方程

当作用在梁上的外力不连续时，通常不能角一个方程描述全梁的剪力

或弯矩，必须分段研究。在该例题中，集中力P把梁分成AC和CB两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为

AC段：

CB段：

3、作剪力图和弯矩图

两段梁的剪力方程说明，两段梁的剪力图均为水平直线。画出梁的剪力图，如图(b)所示。由剪力图可见，在集中力P作用的C处，其左右两侧

横截面上剪力的数值分别为和，剪力图发生突变，其突变值等于

集中力P的大小。由此可得，在集中力作用处剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小。如果b＞a，则最大剪力发生在AC段梁的任一截面上，其值为

两段梁的弯矩方程说明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线。画出梁的弯矩图，如图 (c)所示。由弯矩图可见，AC和CB两段梁的弯攀图两直线斜率不同，在C处形成向下凸的“尖角”，而剪力图在此处改变了正、负号。最大弯矩发生在集中力P作用的截面上，其值为

如果a=b，则最大弯矩的值为

常见问题题4 题型：计算题

题目：试作图(a)所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。

【解】

1、求支座反力

由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为

2、列剪力方程和弯矩方程

集中力偶Me把梁分成AC和CB两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为

AC段：

CB段：

3、作剪力图和弯矩图

在集中力偶作用处的左、右梁段上，剪力方程相同，全梁剪力图为一水平直线。画出梁的剪力图，如图(b)所示示。由剪力图可见，在集中力偶作用处，剪力图并不发生突变，即集中力偶不影响剪力图。

两段梁的弯矩方程说明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线。画出梁的弯矩图，如图(c)所示。由弯矩图可见，在集中力偶从作用的C处，其左右两

侧横截面上弯矩的数值分别为和，弯矩图发生突变，其突变值

等于集中力偶Me的大小。由此可得，在集中力偶作用处弯矩图发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。如果b＞a，则最大弯矩发生在集中力偶从作用处右侧横截面上，其值为

常见问题题5 题型：计算题

题目：试作图示简支梁的剪力图和弯矩图。

【解】

1、求支座反力

由梁的静力平衡方程可知，支座A,B的反力为

2、列剪力方程和弯矩方程

当梁上荷载不连续，剪力或弯矩不能用一个统一的函数式表达时，必须分段列出剪力方程和弯矩方程。通常分段是以集中力、集中力偶和分布荷载的起点与终点分界。因此，该简支梁应分为AC,CD和DB三段，分别列出剪力方程和弯矩方程。

AC段：

CD段：

DB段：

3、作剪力图和弯矩图

按上述剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图，如图(b)、〔c〕所示。

在画AC段弯矩图时，由于弯矩方程是二次函数，弯矩图应是一条抛物线，至少需要确定其上三个点，才可绘出该梁的弯矩图。在

处,M=0；

在x＝3m处，M＝33kN．m。在剪力为零处x=2.4m，该点处弯矩

。用光滑曲线连接这三个点即可得AC段的

弯矩M图。如图〔c〕所示。