5-7.试列出以下梁的剪力方程和弯矩方程,并画出剪力图和弯矩图。
1、 解:首先求出支座反力。考虑梁的整体平衡
Me A 由 MB0,FRAlMe0
l FRB 得 FRAMe lFRA 由 MA0,FRBlMe0 得 FRBMe/l Me l则距左端为x的任一横截面上的剪力和
剪力图 弯矩表达式为:
FSxFRAMe lMex lMe 弯矩图 MxFRAx剪力方程为常数,说明剪图应是一条平行梁轴线的直线;弯矩方程是x的一次函数,说明弯矩图是一条斜直线。(如图) 2、 解:首先求出支座反力。考虑梁的平衡 q l5A 由 Mc0,FRBlql0 C B 245FRB FRC 0.5l l 得 FRBql 81由 MB0,FRClql20
20.125ql 1得 FRCql
2则相应的剪力方程和弯矩方程为: 0.5ql lAB段:〔0x1〕
剪力图 2FSx1qx10.125ql2 12
Mx1qx12BC段:〔
弯矩图
l3lx2〕 22
5ql1qlql828
5qllllMx2qx2x22482FSx2AB段剪力方程为x1的一次函数,弯矩方程为x1的二次函数,因此AB段的剪力图
为斜直线,弯矩图为二次抛物线;BC段剪力方程为常数,弯矩方程为x2的一次函数,所以BC段剪力图为平行梁轴线的水平线段,弯矩图为斜直线。〔如图〕
5-9 用简便方法画以下各梁的剪力图和弯矩图。 〔2〕 q =5KN/m Me =8KN.m 解:由梁的平衡求出支座反力:
A B 4m C 2m FRA8KN,FRB12KN
AB段作用有均布荷载,所以
AB段的剪力图为下倾直线,弯矩图为下凹二次抛物线;BC段没有荷载作用,所以BC段的剪力图为平行梁轴线的水平线段,弯矩图为直线。 在B支座处,剪力图有突变,突变值大小等于集中力〔支座反力FRB〕的大小;弯矩图有转折,转折方向与集中力方向一致。〔如图〕
FRA FRB 8KN 12KN 剪力图 6.4KN.M 弯矩图
〔5〕
8KN.M 解:由梁的平衡求出支座反力:
FRA3.5KN,FRB6.5KN
F =2KN q =4kN/m A B 1m 1m C 2m D FRA FRB AB与BC段没有外载作用,所以AB、BC段的剪力图为平行梁轴线的水平线段,弯矩图为直线;CD段作用均布荷载,所以CD段的剪力图为下倾直线,弯矩图为下凹二次抛物线。
3.5KN 1.5KN
6.5KN
剪力图
3.5KN.m 5.3KN.m 弯矩图
〔7〕
q
A B C q a a qa 剪力图
qa2 弯矩图
5.14试用叠加法画以下各梁的弯矩图。
〔1〕
在B处,剪力图有突变,突变值大小等于集中力F的大小;弯矩图有转折,转折方向与集中力方向一致。〔如图〕
解:AB段作用有均布荷载〔方向向下〕,所以AB段的剪力图为下倾直线,弯矩图为下凹二次抛物线;BC段作用有均布荷载〔方向向上〕,所以BC段的剪力图为上倾直线,弯矩图为
上凸直线。〔如图〕
F =10KN Me =6KN.m Me =6KN.m A C = A B B 3m 3m 3m 3m 6KN.m 6KN.m = 12KN.m 弯矩图
〔4〕 F =0.25ql F =0.25ql q D A A B C B C = 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 0.125ql2 = 0.0625ql2
弯矩图
题型:计算题
F =10KN C + A 3m B 3m C +
15KN.m q D + A 0.5l B 0.5l C 0.5l D 0.125ql2 +
题目:试作图所示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
【解】
1、列剪力方程和弯矩方程
取坐标原点与梁左端点A对应。选取距梁左端点A为x的任一截面,如图(a)所示,以该截面左侧梁段上的外力,写该截面上的剪力和弯矩表达式,即可得到梁AB的剪力方程和弯矩方程为
上面两式后的括号内,说明方程适用范围。由于截面A,B处有集中力作用,则其剪力为不定值,第一式的适用范围为
。由于截面B有
关于
集中力偶作用,则其弯矩也为不定值,第二式的适用范围为这个问题,待后面作进一步说明。 2、作剪力图和弯矩图
剪力方程说明,梁各截面上的剪力都相等,因此剪力图应是一条平行于横轴的直线。取直角坐标系x—
,画出梁的剪力图为一水平直线。因
各横截面的剪力为负值,故画在横轴下面,如图〔b〕所示。
弯矩方程说明,弯矩M是x的一次函数,因此弯矩图应是一条倾斜直
线。可以确定其上两点,在x = 0处,M=0;在x=L处〔应理解为x略小于L处〕,M=PL。取直角坐标系OxM,表示弯矩的纵坐标以向下为正,画出梁的弯矩图,如图〔c〕所示。由图可见,最大弯矩发生在固定端B稍偏左的横截面上,其值为
常见问题题2 题型:计算题
题目:试作图〔a〕所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。
【解】
1、求支座反力
由梁的平衡方程,可求得支座A,B两处的反力为
2、列剪力方程和弯矩方程
取坐标原点与梁左端点A对应。列出梁AB的剪力方程和弯矩方程为
3、作剪力图和弯矩图
剪力方程说明,剪力
是x的一次函数,剪力图应是一条倾斜直线。
处〔应理解为
因此,只要确定其上两点,即可绘出该梁的剪力图。在
x略大于0〕, ;处〔应理解为x略小于〕,。画
出梁的剪力图,如图(b)所示。由剪力图可见,,该梁最大剪力发生在支座
内侧的横截面上,其值为
弯矩方程说明,弯矩M是x的二次函数,弯矩图应是一条抛物线。因此,只要确定其上三个点,即可绘出该梁的弯矩图。在
处,M=0;在
处,M=0;在处,
。画出弯矩图,如图6-12(c)所示。由弯矩图可
见,该梁最大弯矩发生在梁的跨中截面处,其值为
在此截面上剪力为零。 常见问题题3 题型:计算题
题目:试作图(a)所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。
【解】
1、求支座反力
由梁的静力平衡方程,可求得支座A,B两处的反力为
2、列剪力方程和弯矩方程
当作用在梁上的外力不连续时,通常不能角一个方程描述全梁的剪力
或弯矩,必须分段研究。在该例题中,集中力P把梁分成AC和CB两段,这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为
AC段:
CB段:
3、作剪力图和弯矩图
两段梁的剪力方程说明,两段梁的剪力图均为水平直线。画出梁的剪力图,如图(b)所示。由剪力图可见,在集中力P作用的C处,其左右两侧
横截面上剪力的数值分别为和,剪力图发生突变,其突变值等于
集中力P的大小。由此可得,在集中力作用处剪力图发生突变,其突变值等于该集中力的大小。如果b>a,则最大剪力发生在AC段梁的任一截面上,其值为
两段梁的弯矩方程说明,两段梁的弯矩图均为倾斜直线。画出梁的弯矩图,如图 (c)所示。由弯矩图可见,AC和CB两段梁的弯攀图两直线斜率不同,在C处形成向下凸的“尖角”,而剪力图在此处改变了正、负号。最大弯矩发生在集中力P作用的截面上,其值为
如果a=b,则最大弯矩的值为
常见问题题4 题型:计算题
题目:试作图(a)所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。
【解】
1、求支座反力
由梁的静力平衡方程,可求得支座A,B两处的反力为
2、列剪力方程和弯矩方程
集中力偶Me把梁分成AC和CB两段,这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为
AC段:
CB段:
3、作剪力图和弯矩图
在集中力偶作用处的左、右梁段上,剪力方程相同,全梁剪力图为一水平直线。画出梁的剪力图,如图(b)所示示。由剪力图可见,在集中力偶作用处,剪力图并不发生突变,即集中力偶不影响剪力图。
两段梁的弯矩方程说明,两段梁的弯矩图均为倾斜直线。画出梁的弯矩图,如图(c)所示。由弯矩图可见,在集中力偶从作用的C处,其左右两
侧横截面上弯矩的数值分别为和,弯矩图发生突变,其突变值
等于集中力偶Me的大小。由此可得,在集中力偶作用处弯矩图发生突变,其突变值等于该集中力偶的大小。如果b>a,则最大弯矩发生在集中力偶从作用处右侧横截面上,其值为
常见问题题5 题型:计算题
题目:试作图示简支梁的剪力图和弯矩图。
【解】
1、求支座反力
由梁的静力平衡方程可知,支座A,B的反力为
2、列剪力方程和弯矩方程
当梁上荷载不连续,剪力或弯矩不能用一个统一的函数式表达时,必须分段列出剪力方程和弯矩方程。通常分段是以集中力、集中力偶和分布荷载的起点与终点分界。因此,该简支梁应分为AC,CD和DB三段,分别列出剪力方程和弯矩方程。
AC段:
CD段:
DB段:
3、作剪力图和弯矩图
按上述剪力方程和弯矩方程,画出剪力图和弯矩图,如图(b)、〔c〕所示。
在画AC段弯矩图时,由于弯矩方程是二次函数,弯矩图应是一条抛物线,至少需要确定其上三个点,才可绘出该梁的弯矩图。在
处,M=0;
在x=3m处,M=33kN.m。在剪力为零处x=2.4m,该点处弯矩
。用光滑曲线连接这三个点即可得AC段的
弯矩M图。如图〔c〕所示。
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