・ ６Ｏ ・ 数学教育研究 ２０１０年第３期 椭圆中一类轨迹问题的探究 黄俊峰 袁方程 （湖北省大冶市第一中学４３５１００） 笔者通过几何画板作图对椭圆进行了研究，发现 了以下相关轨迹，现与读者共同分享． 轨迹一：／ＡＦ Ｆ２的角分 线 与过点Ａ的切线ｍ的交 点Ｄ的轨迹是过椭圆右顶点的 切线． 将（４）代人（３）得： （口 ＋ｆ ） 【Ｙ一—＿＝ 即｛ …等＋等 所…。 一 研ｙＺ— 一证明：如图建立直角坐标 系，可设椭圆的方程为： 的轨迹方程为： ｘｚ＋等一１设Ｇ（２口ｃｏｓ２０ ａｓｉｎ２０），切线ｍ的方程为： ｙ—ｎｓｉｎ２０一 ｃ－－ ａｃｏ ｓ２０Ｌ．Ｘ－－ａＣＯＳ２ ） 图一 口。。， ａ ＋ｃ 、一１（ ≠０） 、 ， 一ｆ，２ａｓｉｎ２０），Ｆ１（一Ｃ，０），Ｆ２（Ｃ，０），中点Ｅ（ａｃｏｓ２０， （１） 轨迹三： ＡＢＦ 的角分 线与 ＡＦ Ｆ 的角分线的交 点Ｄ的轨迹是以已知椭圆的 焦距为短轴的椭圆． 证明：建立如图坐标系， Ａ Ｆ１ 的角分线 方程为： ＝ｔａｎ０（ｘ＋ｃ） （２） 联立方程并消掉Ｙ得： 口２一盘 ｔａｎＯｓｉｎ２ 一口ｆｃｏｓ２９ 可设椭圆的方程为：手＋ｙ＿６５２ —一 一五 ２ａｓｉｎ ｚ—ｃ＋口一２ａｓｉｎ ０ １ 堡！二 堡！ ！ 二生！± 堡￡ 呈！ 设Ｐ（２ａｃｏｓ２０一ｆ， 图三 ２ａｓｉｎ２０），贝０ Ｇ（一２ａｃｏｓ２０－－ｆ， ２ａｓｉｎ２０）且ＦＩ（ｃ，０）， 轨迹二： ＡＢＦｉ的角分线 与过点Ａ的切线ｍ的交点Ｄ 的轨迹是以已知椭圆的长轴为 ， ） 所以ＫＧＦ 一 ＧＦ 成立 ，又上面易知性质ＢＤｆｆ 短轴的椭圆． 证明：如图建立直角坐标 一因此在Ｂ点处的切线斜率为一＿ｃ＋ ａ ｃｏｓ２０， ２ ．２ 系，设椭圆的方程为： ＋ 一１ 设Ａ（ｚ１，ｙ１），Ｂ（ｚ２，ｙ２），Ｍ ｜ 又因为 。 由导数的几何意义得： 图二 ｂ ｚ ｃ＋ａｃｏｓ２０ 一鲁高， （ｚ， ），则切线ｍ的方程为： ＋ 一１ （１） ｎ —ｓｉｎ—ＺＯ一’ ２三 一一 一ｚ２ 口 解得：ｚ一 ＬＡＢＦ 的角分线的方程为：Ｙ－－Ｙ２＝ 联立（１）和（２）解得： （Ｘ－－Ｘ２） ≠ ｂ。ｓｉｎ２０ 将其代人事＋ 一 可得：Ｙ＝ 口＋ｃｃｏｓ２０’ 所以Ｂｆ ２ （３）； ｌｆ 一 丝± ：＊ｙ。￣ｙ２。－｝－，ｂ４ＸｌＸ、因此 ＡＢＦ 的角分线方程为： ＋ 一 ｝一（ｌ 一 ｎ ｂ －ｂ 。ｚ１ｚ２） ２ ｆ 一走（ｚ十ｃ） ，…’ ［ ａ（ｃ＋ａｃｏｓ２０）］ ｆ＋ａｃｏｓ２０ Ｌ ‘ 十ｃｃｏｓ２０ （１） … 设直线ＡＢ的方程为： 一 （ 十ｆ）联立得： 气事＋等一１整理 丑一 ＡＦ２Ｆ 的角分线方程为：ｊ，一ｔａｎＯ（ｘ－｝－ｃ） ｆ 一—ｃ（ｃ＋ａ—ｃｏｓ２０） （２） 联立方程（１）（２）解得｛。 ＋ｃ ｏｏｆｓ２ｉｎ０２ 消去参数０得到方程为： ㈤； ‘Ｙ——‘（。。ａ。。 。－。。 。。。ｃ。。‘）‘。（。。。。ａ。。。‘＋。‘‘ 。ｃ ‘ｃ。ｏ。。‘ ‘ｓ‘２。。。０‘—）— 得 Ｉｙ ｙ 一—ｂ２＋—ａＺｋ２ 十南一１（ｙ＝ｚｅ０） ２０１０年第３期 轨迹四： ＡＦ。Ｆ 的角分 线与 ＢＡＦ 的角分线的交点 Ｎ的轨迹是以已知椭圆焦距 为长轴的椭圆． 数学教育研究 ・ ６１ ・ ｙ－－ １一譬 （ｚ—ｚ１）一 （ 一 １ 二 ／ ／ （２）（ ） 证明：建立如图坐标系， 设Ｄ（ｘ， ），Ａ（ｚ１，Ｙ１），Ｎ（ｚ０， ０） ｊ。ａｆ 一 二 ！兰 兰 ｘｌｙ２） ２ （３） １ｌ ｃ （ｚ１一ｚ２） ｌ ２ 、。＝ … 图四 由角分线定理及等比定 理得： 又因为Ａ（ｘ ，Ｙ ），Ｂ（ ， 。），Ｆ （一Ｃ，Ｏ）共线，所 Ｉ）Ａ Ｙ － ￣一 ，即 一－ｚ ２＝ｃ（ｙ。一 （４） ＮＤ ＮＦｚ ＮＦｌ ＮＦ２＋ＮＦ、 ２ｃ ＤＡ ＡＦ２ ＡＦ】 ＡＦ２＋ＡＦ】２ ２ａ 。 ３ＬＡＦ２ Ｆ２ Ｎ一 由第二定义知： Ｘｏ－｝－ｃ— ａ－￣ －ｅ，勰 ㈤ Ａ，ｉｘｌ， ㈤弛 ｌ ６ （此－－ｙ１） 又设直线ＡＢ的方程为： —ｋ（ｚ＋ｃ）联立椭圆方 『 一 程得： １Ｉ 一■ ｚ０＋ｅ．２３ 一 ｆ 一 （ｚ＋ｃ） － １薯十菩＝ 整理得： Ｉ Ｙｌ一 ＿ ‘ 整理得：（６。＋ｎ ｋ ）ｚ。＋２ａ ｋ ｃｘ＋“ ｋ Ｃ。一ｎ ｂ 一 一 将 （ 又因为 ０Ｃ１ ２十菩＝１，所以轨迹方程为： ｘ２十 ．』１ Ｘ１．７７２一 ６ ） ｒ ｂ４ （…６） 雨ｙ２ 外 人 （ ５ ） 轨迹五： ＡＢＦ 的角 得 再ｆ¨Ｕ 、 ６ ，十，ｆ 消去 得 ” 分线与 ＢＡＦ 的角分线的 ，●●●● ●，、 ● ｌ 干 交点Ｄ的轨迹是过已知椭圆 右焦点并中心在ｚ轴上的椭 — 、 ＝二：＝ ｝Ｘ 圆． 丢（篆） （＋ ） 、、— 证明：建立如图坐标系， ～２ ．２ 设椭圆的方程为： ＋ 一 可知方程曲线的特点是过定点（ｃ，０）并且焦点在 图五 ｚ轴上的椭圆． 设Ａ（ｘ１， １），Ｂ（ｘ２， ２），Ｄ（ｘ， ），则 ＡＢＦ１的角 以上的曲线让笔者感到在和谐中更加的美丽！在 分线的方程为： 美丽中更加的和谐！只要我们善于发现，数学中的美 ｙ－－ ２一 一 （－ｚ—ｚ２）一 ） （１） 丽无处不在． ＢＡＦ 的角分线的方程为： ［责任编校钱骁勇］ （上接第３１页） 札记．数学教学研究［，］，２００３，（３）． 参考文献 ［４］徐小建．捕捉学生创造性思维的火花一——“四边形 Ｅ１］蒋永晶，刘长华．数学新课程教学设计［Ｍ］．辽宁师 内角和定理”证明实录．数学教学研究［－，］，２００５， 范大学出版社，２Ｏ０２． （８）． ［２］关成志．初中几何教学研究［Ｍ］．教育科学出版社， ［５］罗增儒．四边形内角和定理的认知分析与教学设 ２Ｏ０２． 计．中学数学教育（初中）［刀，２００７，（１／２）． ［３］渠东剑．同舟共济 相得益彰一四边形内角和教学 ［责任编校王蓓］