一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．下列说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．全等三角形是指周长相等的两个三角形 D．全等三角形的面积，周长分别相等
2．如图，小华书上的三角形被墨水弄污了一部分，他能在作业本上作一个完成一样的三角形，其根据为（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
3．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． 4．若分式
B． C． D．
的值为零，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
6．如图，DE是线段AB的垂直平分线，如果BD+CD=2014，那么AC的长度是（ ）
A．2013 B．2011 C．2014 D．2012
7．下列计算错误的是（ ） A．
B．
C． D．
8．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（ ） A．32.5° B．57.5° C．65°或57.5° D．32.5°或57.5° 9．化简
的结果是（ ）
A．x+1 B． C．x﹣1 D．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
11．若关于x的方程
+
=2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8
12．甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是（ ） A．
B．
C．
D．
2
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
13．点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为 ．
14．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= °．
15．如图所示，△ABC和△A′B′C′是两个全等的三角形，其中某些边的长度及某些角已知，则x= ．
16．如图，四边形ABCD中，CB=CD，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，则∠ACB的度数为 ．
17．若关于x的方程 18．已知
≠0，则
的值为 ． +
=2有增根，则m的值是 ．
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，CD=15cm，则点D到AB的距离是 cm．
3
2
20．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm．
三、解答题（共6小题，满分60分） 21．计算与化简 （1）化简（1+
）
．
（2）解方程：．
22．如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等． （1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．
23．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？
24．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）． （1）求出△ABC的面积；
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （3）写出点A1，B1，C1的坐标．
4
25．将四张形状，大小相同的长方形纸片分别折叠成如图所示的图形，请仔细观察重叠部分的图形特征，并解决下列问题：
（1）观察图①，②，③，④，∠1和∠2有怎样的关系？并说明你的依据． （2）猜想图③中重叠部分图形△MBD的形状（按边），验证你的猜想． （3）若图④中∠1=60°，猜想重叠部分图形△MEF的形状（按边），验证你的猜想．
26．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
5
2015-2016学年山东省潍坊市潍城区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．下列说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．全等三角形是指周长相等的两个三角形 D．全等三角形的面积，周长分别相等 【考点】全等图形．
【分析】要判断选项的正误，要根据全等三角形的概念和特点逐个验证，与之相符合是正确的，反之，是错误的，如选项D就是正确的，其它是错误的．
【解答】解：A、全等三角形必须是完全相同的两个三角形，错；
B、两个三角形面积相等，但不一定能完全重合，故不能说是全等三角形，错； C、两三角形的周长相等，但不一定能完全重合，错； D、全等三角形一定重合，则面积、周长一定相等，正确． 故选D．
【点评】本题考查了全等形的概念和特点，做题时要根据定义，逐个仔细思考．
2．如图，小华书上的三角形被墨水弄污了一部分，他能在作业本上作一个完成一样的三角形，其根据为（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【考点】全等三角形的应用．
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
3．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
6
【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意； B、不是轴对称图形，故B不符合题意； C、不是轴对称图形，故C不符合题意； D、不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A．
【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4．若分式
的值为零，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 【考点】分式的值为零的条件． 【专题】计算题．
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，由此条件解出x．
2
【解答】解：由x﹣1=0， 得x=±1．
①当x=1时，x﹣1=0， ∴x=1不合题意；
②当x=﹣1时，x﹣1=﹣2≠0， ∴x=﹣1时分式的值为0． 故选：C．
【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点． 5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数． 【解答】解：∵AE∥BD， ∴∠CBD=∠E=35°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBA=70°， ∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，
∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°． 故选：A．
7
【点评】考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．
6．如图，DE是线段AB的垂直平分线，如果BD+CD=2014，那么AC的长度是（ ）
A．2013 B．2011 C．2014 D．2012 【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，进而可得出结论． 【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，BD+CD=2014， ∴AD=BD．
∴AC=AD+CD=BD+CD=2014． 故选C．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
7．下列计算错误的是（ ） A．
B．
C． D．
【考点】分式的混合运算．
【分析】利用分式的加减运算法则与约分的性质，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：A、
，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、D、
=﹣1，故本选项正确；
，故本选项正确．
故选A．
【点评】此题考查了分式的加减运算与分式的约分．此题比较简单，注意运算要细心，注意掌握分式的基本性质．
8．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（ ） A．32.5° B．57.5° C．65°或57.5° D．32.5°或57.5°
8
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理． 【专题】分类讨论．
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当高在三角形内部时底角是57.5°，当高在三角形外部时底角是32.5度，故选D． 【点评】熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出75°一种情况，把三角形简单的化成锐角三角形． 9．化简
的结果是（ ）
A．x+1 B． C．x﹣1 D．
【考点】分式的加减法． 【专题】计算题．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=
﹣
=
=
=x+1．
故选A
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】等腰三角形的判定；三角形内角和定理． 【专题】证明题．
【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【解答】解：共有5个． （1）∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线 ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD， ∵△ABC是等腰三角形， ∴∠EBC=∠ECB，
9
∴△BCE是等腰三角形；
（3）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°， 又BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，
∴△ABD是等腰三角形；
同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形． 故选：A．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．
11．若关于x的方程
+
=2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8 【考点】分式方程的解．
【分析】先得出分式方程的解，再得出关于m的不等式，解答即可． 【解答】解：原方程化为整式方程得：2﹣x﹣m=2（x﹣2）， 解得：x=2﹣， 因为关于x的方程可得：
，
+
=2的解为正数，
解得：m＜6，
因为x=2时原方程无解， 所以可得
，
解得：m≠0． 故选C．
【点评】此题考查分式方程，关键是根据分式方程的解法进行分析．
12．甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】题中等量关系：甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，据此列出关系式． 【解答】解：设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为（x+15）千米/时， 根据题意，得 =
．
故选C．
10
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：时间=路程÷速度．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
13．点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为 （﹣3，﹣2） ． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【解答】解：点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2）． 故答案为：（﹣3，﹣2）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= 30° °．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据正三角形ABC得到∠BAC=60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°和等腰三角形的三线合一是解题的关键．
15．如图所示，△ABC和△A′B′C′是两个全等的三角形，其中某些边的长度及某些角已知，则x= 60° ．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】首先利用三角形内角和计算出∠C的度数，再根据全等三角形对应角相等可得x的值． 【解答】解：∵∠A=65°，∠B=55°， ∴∠C=180°﹣65°﹣55°=60°，
11
∵△ABC和△A′B′C′是两个全等的三角形， ∴∠C=∠B′=60°， ∴x=60°，
故答案为：60°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是找准对应角．
16．如图，四边形ABCD中，CB=CD，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，则∠ACB的度数为 60° ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】利用HL判定△ABC≌△ADC，得出∠BAC=∠DAC，利用已知求得∠BAC=30°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵∠B=∠D=90°， 在Rt△ABC与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠BAC=∠DAC， ∵∠BAD=60°， ∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=90°﹣∠BAC=60°． 故答案为：60°．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定常用的方法有AAS、ASA、SSS、SAS、HL，做题时注意灵活运用．
17．若关于x的方程
+
=2有增根，则m的值是 0 ．
【考点】分式方程的增根． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值． 【解答】解：方程两边都乘以（x﹣2）得，
12
2﹣x﹣m=2（x﹣2）， ∵分式方程有增根， ∴x﹣2=0， 解得x=2，
∴2﹣2﹣m=2（2﹣2）， 解得m=0． 故答案为：0．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 18．已知
≠0，则
的值为
．
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质，可用a表示b、c，根据分式的性质，可得答案． 【解答】解：由比例的性质，得 c=a，b=a．
===．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出a表示b、c是解题关键，又利用了分式的性质．
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，CD=15cm，则点D到AB的距离是 15 cm．
【考点】角平分线的性质．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=CD，得到答案． 【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°， ∴DE=CD=15cm， 故答案为：15．
13
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
2
20．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 8 cm．
【考点】轴对称的性质．
【分析】正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线；由图形条件可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．
【解答】解：依题意有S阴影=×4×4=8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
三、解答题（共6小题，满分60分） 21．计算与化简 （1）化简（1+
）
．
2
（2）解方程：．
【考点】分式的混合运算；解分式方程． 【分析】（1）根据有括号先算括号内的，分式的除法法则进行计算即可； （2）根据解分式方程的方法进行计算即可． 【解答】解：（1）（1+
）
=×
=
14
=x﹣1； （2）
方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得 x（x﹣1）﹣4=（x+1）（x﹣1） 化简，得 x+3=0
解得，x=﹣3 检验：x=﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0． 故原分式方程的根是x=﹣3．
【点评】本题考查分式的混合运算和解分式方程，解题的关键是注意解分式方程要检验．
22．如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等． （1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质． 【专题】作图题． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D点坐标即可；
（2）利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可． 【解答】解：（1）如图所示：点D即为所求；
（2）在Rt△ABC中，∠B=37°， ∴∠CAB=53°， 又∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=37°，
∴∠CAD=53°﹣37°=16°．
【点评】此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BAD=∠B=37°是解题关键．
23．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？
15
【考点】分式方程的应用．
【分析】可设第二批鲜花每盒的进价是x元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可．
【解答】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意有
=×
，
解得x=150，
经检验：x=150是原方程的解．
故第二批鲜花每盒的进价是150元．
【点评】考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是正确确定题目中的相等关系，根据相等关系确定所设的未知数，列方程．
24．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）． （1）求出△ABC的面积；
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （3）写出点A1，B1，C1的坐标．
【考点】作图-轴对称变换． 【分析】（1）利用长方形的面积剪去周围多余三角形的面积即可； （2）首先找出A、B、C三点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据坐标系写出各点坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积：3×5﹣
（2）如图所示：
（3）A1（2，5），B1（1，0），C1（4，3）．
﹣
﹣
=6；
16
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，关键是找出对称点的位置，再顺次连接即可．
25．将四张形状，大小相同的长方形纸片分别折叠成如图所示的图形，请仔细观察重叠部分的图形特征，并解决下列问题：
（1）观察图①，②，③，④，∠1和∠2有怎样的关系？并说明你的依据． （2）猜想图③中重叠部分图形△MBD的形状（按边），验证你的猜想． （3）若图④中∠1=60°，猜想重叠部分图形△MEF的形状（按边），验证你的猜想．
【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】（1）由折叠的性质容易得出结论；
（2）由折叠的性质得出∠1=∠2，由平行线的性质得出∠MDB=∠1，得出∠MDB=∠2，由等角对等边得出MB=MD即可；
（3）由折叠的性质得出∠2=∠1=60°，由（2）得出△MEF是等腰三角形，即可得出结论． 【解答】解：（1）图①，②，③，④中∠1=∠2；理由如下： 由折叠的性质得：∠1=∠2；
（2）△MBD是等腰三角形；理由如下： 由折叠的性质得：∠1=∠2， ∵AD∥BC， ∴∠MDB=∠1， ∴∠MDB=∠2， ∴MB=MD，
∴△MBD是等腰三角形；
（3）△MEF是等边三角形，理由如下： 由折叠的性质得：∠2=∠1=60°， 由（2）得：△MEF是等腰三角形， 故△MEF是等边三角形．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、等边三角形的判定；熟练掌握翻折变换的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键．
17
26．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】计算题；证明题． 【分析】（1）由SAS可得△BDE≌△CEF，得出DE=EF，第一问可求解；
（2）由（1）中的全等得出∠BDE=∠CEF，再由角之间的转化，从而可求解∠DEF的大小； （3）由于AB=AC，∴∠B=∠C≠90°=∠DEF，所以其不可能是等腰直角三角形． 【解答】（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C， 在△BDE与△CEF中
∴△BDE≌△CEF．
∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．
（2）解：由（1）知△BDE≌△CEF， ∴∠BDE=∠CEF
∵∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B ∴∠DEF=∠B（9分） ∵AB=AC，∠A=40° ∴∠DEF=∠B=
．
（3）解：△DEF不可能是等腰直角三角形． ∵AB=AC，∴∠B=∠C≠90° ∴∠DEF=∠B≠90°，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定和性质问题，能够熟练掌握三角形的性质求解一些简单的计算、证明等问题．
18
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