二面角习题及答案-(1)

二面角

1.如图三棱锥 P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC =为 2的正三角形，求二面角 P-AB－C的大小。 解

】

23 ，D是 BC的中点，且△ADC是边长

P

C

A

D B

2.如图在三棱锥 S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分SC，且分别交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。 解：

￥

S E A D C B

3. 如图：ABCD是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O点，P是平面 ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。 解：

{P M N O R E B C

]

DA

0 4.如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，∠ABC =∠DBC =120，求二面

A

E B C

角 A-BD-C的余弦值。 解：

*

5. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点.

(1)求证平面BDE⊥平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角A—EB—D的平面角大小. 解析：

6 如图，设ABC—A1B1C1是直三棱柱，E、F分别为AB、A1B1的中点，且AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝3a. (1)求证：AF⊥A1C

(2)求二面角C—AF—B的大小

'

7．如图ABCDA1B1C1D1是长方体，AB=2，AA1AD1，求二平面AB1C与A1B1C1D1所成二面角的正切值．

8. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，KBB1，MCC1，且求：平面AKM与ABCD所成角的正切值．

BK13BB1CMCC144，

—

9. 如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角CADC． （1）若二面角CADC是直二面角，求CC的长； （2）求AC与平面CCD所成的角；

（3）若二面角CADC的平面角为120°，求二面角ACCD的平面角的正切值．

?

、

*

参考答案解：由已知条件，D是BC的中点

∴ CD =BD =2 又△ADC是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2

∴ D是△ABC的外心又在BC上

[

∴ △ABC是以∠BAC为直角的三角形， ∴ AB⊥AC， 又 PC⊥面ABC ∴ PA⊥AB (三垂线定理)

∴∠PAC即为二面角 P-AB-C之平面角， 易求 ∠PAC =30°

2、解：∵ BS =BC，又DE垂直平分SC ∴ BE⊥SC，SC⊥面BDE ∴ BD⊥SC，又SA⊥面ABC ∴ BDCD, SA⊥BD，BD⊥面SAC ∴ BD⊥DE且BD⊥DC

则 ∠EDC就是所要求的平面角 设 SA =AB =a，

)

则 BC =SB =2a 且 AC = 3a 易证 △SAC∽△DEC

∴ ∠CDE =∠SAC =60°

P C 、 D B

A

S E ; A D C￥ B P M

3、解：取OC之中点N，则 MN∥PO ∵ PO⊥面ABCD

∴ MN⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2，

`

过 N 作 NR⊥BD 于 R，连MR，

则 ∠MRN即为二面角 M-BD-C的平面角 过 C 作 CE⊥BD于E 则 RN =

1CE,在 Rt△BCD中，CD·BC =BD·CE 2CDBC8

BD545 tanMRN ∴ CE ∴ RNMN5 RN2 ∴ MRNarctan5 24. 解：过 A作 AE⊥CB的延长线于E， 连结 DE，

,

∵ 面ABC⊥面BCD,∴ AE⊥面BCD ∴ E点即为点A在面BCD内的射影

∴ △EBD为△ABD在面BCD内的射影

设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=

3a 2 ∴ AD =

1561a,cosABD， ∴ sin∠ABD =

424∴ SABD12151521aa 又 BEa 248213132aaa 2228 ∴ SBDE∴ cosSBDE5 SABD5

5、解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO. ！

∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，

∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD. (2)EO∥PC，PC平面PBC，

∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离. 作OF⊥BC于F，

∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.

333aa由条件可知，OB＝2,OF＝2×2＝4a，则点E到平面PBC的距离为4a.

·

(3)过O作OG⊥EB于G，连接AG ∵OE⊥AC，BD⊥AC ∴AC⊥平面BDE ∴AG⊥EB(三垂线定理) ∴∠AGO是二面角A—EB—D的平面角

11∵OE＝2PC＝2a,OB＝12a ∴EB＝

2OEOB2a.∴OG＝EB＝

24a 又AO＝

32a.

AO∴tan∠AGO＝OG＝6∴∠AGO＝arctan6.

评析 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.

6、分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识. 解 (1)∵AC＝BC，E为AB中点，∴CE⊥AB 又∵ABC—A1B1C1为直棱柱，∴CE⊥面AA1BB 连结EF，由于AB＝2AA1 ∴AA1FE为正方形

∴AF⊥A1E，从而AF⊥A1C

(2)设AF与A1E交于O，连结CO，由于AF⊥A1E，知AF⊥面CEA1 ∴∠COE即为二面角C—AF—B的平面角 ∵AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝3a

2a22a222∴CE＝a,OE＝a,∴tan∠COE＝＝2.

∴二面角C—AF—B的大小是arctan2.

7、解析：∵ 平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴ 平面AB1C与平面A1B1C1D1的交线l为过点B1且平行于AC的直线．直线l就是二平面AB1C与A1B1C1D1所成二面角的棱．又AA1⊥平面A1B1C1D1，过A1作AH⊥l于H，连结AH．则AHA1为二面角AlA1的平面角．可

求得

tanAHA152．

8.

9、解析： （1）若CDC90，∵ AC=a，∴

DCDC21CCaa22，∴ ．

（2）∵ ADDC，AD⊥DC，∴ AD⊥平面DCC．∴ ACD为AC与平面

DCC所成的角，在Rt△ADC中，

DCDC1AC2，∴ DAC30，于是

ACD60．

（3）取CC的中点E，连结AE、DE，∵ DCDC，ACAC，∴ AECC，

DECC，∴ ∠AED为二面角ACCD的平面角，∵ CDC120，

CDCD1a2，∴

DE31ADaa24，在Rt△AED中，，∴

3aAD2tanAED23．1DEa4