1、勾股定理与几何证明的综合问题

练习一、利用勾股定理证明一些重要的几何定理

1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高. 证明： （1）CDAD•BD

（这个结果表明，利用勾股定理可以导出三角形相似的一系列结果） （2）

2111 222ACBCCD

2、如图，锐角△ABC中，CD是AB边上的高，我们称线段AD与AC的比值为锐角∠A的余弦函数（想想看，这符合函数的定义吗？为什么？），记为cosAAD。 ACb2c2a2证明：cosA.

2bc

3、如图，在△ABC的BC边上任取一点D，并记：BC＝a，AB＝c，AC＝b，AD＝p，BD＝m，DC＝n. （1）证明：mbncamnp

222

（2）上面这个结果称为Stewart定理，它的理论价值要比实际用处更重要些。相对而言，它

的两个特例在应用上显得更重要些。根据提示写出它的特例形式：

① 当b＝c即等腰三角形时， ；

② 当m＝n即AD为中线时， ；

练习二、将勾股定理应用于四边形

1、四边形ABCD的对角线为AC和BD.

（1）证明：若ACBD，则ABCDADBC；

（2）证明：若ABCDADBC，则ACBD.

（提示：证明逆命题的一般方法是什么？）

2、一个四边形的顶点分别在一个边长为1的正方形各边上，其边长依次为a、b、c、d. 求证：2abcd4.

222222222222*3、如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，∠BEG与∠CFH都是锐角，EG＝3，FH

＝4，四边形EFGH的面积是5，求正方形ABCD的面积.

*4、如图，一个边长分别为3、4、5的直角三角形的一个顶点与正方形

的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，求正方形的面积.

练习三、勾股定理结合图形变换

1、已知等腰△ABC中，AD是底边BC的高，BE是腰AC上的高，AD与BE交于点H，EF⊥BC于F，M是AD延长线上一点，且DM＝EF，又N是AH的中点. 设MN2＝b，BN2＝m，BM2＝n，则b、m、n之间的关系是（ ） （A）b＜m＋n （B）b＝m＋n （C）b＞m＋n （D）b≠m＋n

2、在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A的平分线交CD于E（交BC于F），过E作EG∥AB交BC于G，若CE＝3，求BG的长.

*3、如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝3，CD＝2，求△ABC的面积。 （提示：45°暗示着作轴对称变化后能得到直角。）

*4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，AB＝10，BD＝

14.5，求BC的长. （提示：图中有一个等边三角形，这暗示我们可以考虑通过旋转60°的图形变换来揭示隐藏关系。）