分治法之汉诺塔实验报告(word文档良心出品)

课题名称 算法分析与设计 项目名称 分治法 汉诺塔问题 学 院 计算机科学学院 专 业 计算机科学与技术 指导老师 王小明

小组人员 刘永军 高富雷 武子超

报告时间 2013/11/28

2013/11/28

分治法之汉诺塔问题

目录

一、 设计目的 ........................................................................................................................... 3 二、 设计内容 ........................................................................................................................... 3

1． 任务描述 ....................................................................................................................... 3

i. 汉诺塔问题简介 ....................................................................................................... 3 ii. 设计任务简介 ........................................................................................................... 3 2． 分治法算法的实现过程 ............................................................................................... 4 三、 流程图 ............................................................................................................................... 6 四、 测试结果 ........................................................................................................................... 7 五、 总结 ................................................................................................................................... 7 附：程序源代码 ............................................................................................................................... 7

一、 设计目的

1、掌握分治法的思想；

2、掌握分治法的典型问题，如汉诺塔问题以及其他问题； 3、进一步多级调度的基本思想和算法设计方法； 4、提高分析与解决问题的能力。

二、 设计内容

1． 任务描述

i.

汉诺塔问题简介

在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神大梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从大梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

ii. 设计任务简介

其实算法非常简单，当盘子的个数为n时，移动的次数应等于2^n - 1（有兴趣的可以自己证明试试看）。后来一位美国学者发现一种出人意料的简单方法，只要轮流进行两步操作就可以了。首先把三根柱子按顺序排成品字型，把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上，根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序：若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 A B C； 若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 A C B。

（1）按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子，即当n为偶数时，若圆盘1在柱子A，则把它移动到B；若圆盘1在柱子B，则把它移动到C；若圆盘1在柱子C，则把它移动到A。

（2）接着，把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都非空时，移动较小的圆盘。这一步没有明确规定移动哪个圆盘，你可能以为会有多种可能性，其实不然，可实施的行动是唯一的。 （3）反复进行（1）（2）操作，最后就能按规定完成汉诺塔的移动。 所以结果非常简单，就是按照移动规则向一个方向移动金片：

如3阶汉诺塔的移动：A→C,A→B,C→B,A→C,B→A,B→C,A→C。

2． 分治法算法的实现过程

首先把三根柱子按顺序排成品字型，把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上，根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序：

若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 A B C； 若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 A C B。

（1）按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子，即当n为偶数时，若圆盘1在柱子A，则把它移动到B；若圆盘1在柱子B，则把它移动到C；若圆盘1在柱子C，则把它移动到A。

（2）接着，把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都非空时，移动较小的圆盘。这一步没有明确规定移动哪个圆盘，你可能以为会有多种可能性，其实不然，可实施的行动是唯一的。 （3）反复进行（1）（2）操作，最后就能按规定完成汉诺塔的移动。 所以结果非常简单，就是按照移动规则向一个方向移动金片：

如是解决，我们就可以将n个盘分治成1个，2个，3个盘来讨论， 如1阶汉诺塔的移动： A→C；

如2阶汉诺塔的移动：A→B, A→C, B→C;

如3阶汉诺塔的移动：A→C,A→B,C→B,A→C,B→A,B→C,A→C。

通过最简单的，最少阶数汉诺塔的移动，我们更具上面的讲解，联想到更多的阶数，不难看出其中的规律！

因此，我们通过将多阶汉诺塔分解成少数像3阶一样的汉诺塔，从繁化简，分而治之。解决汉诺塔问题。

算法如下：

void move(char a,int n,char c) { }

void hanoi(int n, char a, char b, char c, int &time) {

if (n==0) { } else {

hanoi(n-1,a,c,b, time); move(a,n,c); move(a,1,c); time++; return; if (n==1)

printf(\"%c-->%c\\n\",a,c);

}

}

time++;

hanoi(n-1,b,a,c, time);

int main() {

getchar(); getchar(); return 0; }

int n;

printf(\"请输入汉诺塔的盘数: \"); scanf(\"%d\",&n); int time = 0;

printf(\"%d个盘的汉诺塔移动方法是\\n：\",n); hanoi(n,'a','b','c',time); printf(\"移动了%d次\\n\", time);

算法分析：

我们通过递归调用，主函数main()调用hanoi()函数，hanoi（）函数在调用move()函数，以及hanoi()函数对自身的调用，在hanoi()函数自身调用中参数a,b的交换，实现了品字形排列，顺序逆序的实现，从而解决问题。

通过time参数的计算，我可可以知道该函数的时间复杂度是o(2^n)。

其实我们通过数学归纳法就可以知道N阶汉诺塔需要移动的次数为2^n-1。

三、 流程图

开始输入汉诺塔的阶数Nhanoi(n,'a','b','c',time)T=a;a=b;b=TN>1yesno调用move()函数输出N阶汉诺塔的移动方法结束 四、 测试结果

五、 总结

这次的设计的主要内容是分治算法，汉诺塔问题不难，但却是典型的分治算法中递归调用案例之一。因此通过这次练习，让我们小组更加深刻的认识到分治法的优越性以及优中求优，对算法加以修正，做到最好。

附：程序源代码

// 汉罗塔.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。 //

#include\"stdafx.h\" #include

汉罗塔.cpp#include

void move(char a,int n,char c) { }

void hanoi(int n, char a, char b, char c, int &time) { }

int main() { }

getchar(); getchar(); return 0; int n;

printf(\"请输入汉诺塔的盘数: \"); scanf(\"%d\",&n); int time = 0;

printf(\"%d个盘的汉诺塔移动方法是\\n：\",n); hanoi(n,'a','b','c',time); printf(\"移动了%d次\\n\", time); if (n==0) { } else { }

hanoi(n-1,a,c,b, time); move(a,n,c); time++;

hanoi(n-1,b,a,c, time);

move(a,1,c); time++; return; if (n==1)

printf(\"%c-->%c\\n\",a,c);