【精选】2020中考数学结合专题：圆中的相似问题(含答案)

1. 已知：如图，△ABC内接于eO，AB为直径，弦CEAB于F，C是AD的中

点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q． G （1）求证：P是△ACQ的外心；

3（2）若tanABC，CF8，求CQ的长；

4（3）求证：(FPPQ)2FPFG． DCQ

15P（1）证明CPAPQP；（2）CQ；

AgB2FO（3）△AFP∽△GFB.

2. 已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为

圆心，OA长为半径作eO，eO经过B、D两点，过点B作BKAC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、eO及CB的延长线相交于点E、F、G、H．

（1）求证：AECK；

1（2）如果ABa，ADa（a为大于零的常数），求BK的长：

3（3）若F是EG的中点，且DE6，求eO的半径和GH的长．

（1）证明△AED≌△CKB；（2）（3）OA92，HG6． 210a； 10 A EDgOKGF HB3. 如图，四边形ABCD内接于eO，AB是eO的直

2径，AC和BD相交于点E，且BCCECA． FD（1）求证：BCCD；

C（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作

E若PBOB，AFCD交CD的延长线于点F，

gABCD22，求DF的长． O

（1）证明△CDE∽（2）△CAD；

32. 2CP4. 如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直线AC与过B

点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交

D直线AB于点G. （1）求证：点F是BD中点； CF（2）求证：CG是eO的切线；

E（3）若FBFE2，求eO的半径.

g

GABOH（1）线束定理；（2）证明

（3）22. OCFOBF90；

»5. 如图，eO是△ABC的外接圆，点E在劣弧BC上，连接AE交BC于点D，经

过点B、C两点的圆弧交AE于点I，已知BE2AEDE，BI平分ABC. （1）求证：BEEI；

（2）若eO的半径为5，BC8，BDE45；

¼的半径和AD的长； i）求BICii）求sinABC的值. OgAOgABEIDC

BIDCE备用图

（1）证明△BED~△BAE；

¼的圆心，BE25，AD32；ii）sinABC10. （2）i）E为BIC10

6. 如图，在Rt△ABC中，ABC90，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB

的延长线相交于点D，E，F，且BFBC. eO是△BEF的外接圆，EBF的平分线交EF于点G，交eO于点H，连接BD、FH. （1）求证：△ABC≌△EBF；

（2）试判断BD与eO的位置关系，并说明理由； （3）若AB1，求HGHB的值. C

（1）在Rt△ABC和Rt△EBF中HCEFBD BCBFABCEBFEG△ABC≌△EBF(ASA) O（2）连结BO，BD为eO的切线

FABQFD垂直平分AC，

D为AC的中点 DCBDBC Q△ABC≌△EBF EFBACB

DBCDFBDBF QBH平分EBF

EBHHBF45 HBOOBF45 DBCHBO45

DBCHBOCBH90 BD为eO的切线

（3）连结HO，设eO的半径为R，CEx QHFEEBH45 △HFG∽△HBF HF2HGHB QBHF45 HDF90 △HDF为等腰直角三角形 HF22R2 又Q△CDE∽△CBA

QCDDADBBOR，DBO＝90 △DBO为等腰Rt△

DO2R

DEDOED(21)R

CDCEDE CBCAABRx(21)R 1x2R12得x2，R21

2即CE2 HF2R222 即HGHB22.

7. 如图，在半圆O中，将一块含60的直角三角板的角顶点与圆心重合，角的两条

边分别与半圆圆弧交于C，D两点（点在AOD内部），AD与BC交于点E，AD与OC交于点F. （1）求AEC的度数； （2）若C是»AD的中点，求AF:ED的值；

（3）若AF2，ED4，求EF的值.

（1）60°； （2）3:2； （3）连接CA，过F作FH⊥AG，连接BD，设GFx，

DCEFAOB则可得AEx，CH3x3，EF2x2，

，，又∵CF2FEFD4x24FD2x2CF2CH2HF23x26x44x24，解得x173，∴EF2178.

8. 如图，eO和eO1内切于点A，AO是eO1的直径，eO的弦AC交eO1于B，

弦DF经过点B且垂直于OC，交OC于点E，连AF、AD. （1）求证：DF为eO1的切线； D2（2）求证：2ABADAF；

B5（3）当AB25，cosDBA时，求AF

C5和AD的长.

（1）连接OB、O1B，证明O1BE90； （2）证明△DAB∽△CAF；

（3）连接OF，证明△CBF∽△CFA，

AF4322，AD4322.

AOg1EOF9. 如图，已知⊙O的弦AB，CD相交于点P，PA4，PB3，PC6，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，EA25，求PE的长．

∵弦AB，CD交于点P，

∴由相交弦定理得PAPBPCPD， ∵PA4，PB3，PC6，

PAPB43∴PD2

PC6∵EA为⊙O切线，由切割线定理得：

AE2EDECED(EDDPPC)ED(ED8)． ∵AE25，∴ED2，ED10（舍去）， ∴PEPDDE224．

10. 如图，△ABC内接于⊙O，圆心为O，ABBC，AOBC于D.

（1）若⊙O的半径为3，求△ABC的面积；

（2）若AB1，P是劣弧BC上一动点（P、B、C不重合），PA交BC于E，令AEx，EPy，求y与x间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若PACα，APCβ，当sin2αsin2β1时，求y的值.

273； 41x23x1（2）y； x2CBPDEAO A（1）S△ABCOgBDEPC（3）3. 6

11. 如图，AB为eO的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、

B重合），点I为△ABP的内心，INBP于N. （1）求证：APM45；

（2）求证：AB2IM；

INOB（3）试探究的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变

PM化规律. A

（1）（2）略；

IMOgPNB（3）不变，

INOB2. PM2

»的12. 如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为CF中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且ADBE，垂足为点H． （1）求证：AB是半圆O的切线；

（2）若AB3，BC4，求BE的长．

（1）证明：连接EC，

∵BC是直径

∴E90o

有∵ADBE于H ∴AHM90o

∵12 ∴34 ∵AD是△ABC的角平分线 ∴453

又∵E为CF»的中点 ∴375

∵ADBE于H

∵5690，即6790 又∵BC是直径，

∴AB是半圆O的切线． （2）∵AB3，BC4．

由（1）知，ABC90，∴AC5．

在△ABM中，ADBM于H，AD平分BAC，∴AMAB3，∴CM2．

由△CME∽△BCE，得ECMC1EBCB2．

∴EB2EC，∴BE855．

AFEHMBDOgC

13. 如图，AB是eO的直径，直线BM经过点B，点C在右半圆上移动（与点A、B

不重合），过点C作CDAB，垂足为D，连接CA、CB，CBMBAC，点F在射线BM上移动（点M在点B的右边），在移动过程中始终保持OF//AC. （1）求证：BM为eO的切线； （2）若CD、FO的延长线相交于点E，判断是否存在点E，是的点E恰好在eO上？若存在，求E，若不存在，请说明理由；

CG（3）连接AF交CD于点G，记k，试问：k的值是否随点C的移动而变

CD化？并证明你的结论. A

（1）略； （2）30；

（3）证明△ADG∽△ABF，△ADC∽△OBF，k

1. 2EDGOBCFM