【高等数学基础】形考作业1参考答案

第1章 函数 第2章 极限与连续

（一）单项选择题

⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．

2 A. f(x)(x)，g(x)x B. f(x)x2，g(x)x

x21 C. f(x)lnx，g(x)3lnx D. f(x)x1，g(x)

x13分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同

2A、f(x)(x)x，定义域x|x0；g(x)x，定义域为R

定义域不同，所以函数不相等； B、f(x)x2x，g(x)x对应法则不同，所以函数不相等；

3C、f(x)lnx3lnx，定义域为x|x0，g(x)3lnx，定义域为x|x0 所以两个函数相等

x21x1，定义域为x|xR,x1 D、f(x)x1，定义域为R；g(x)x1 定义域不同，所以两函数不等。 故选C

⒉设函数f(x)的定义域为(,)，则函数f(x)f(x)的图形关于（C）对称． A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. yx 分析：奇函数，f(x)f(x)，关于原点对称;

偶函数，f(x)f(x)，关于y轴对称

yfx与它的反函数yf1x关于yx对称，

奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称

设gxfxfx，则gxfxfxgx 所以gxfxfx为偶函数，即图形关于y轴对称

故选C

⒊下列函数中为奇函数是（B）．

A. yln(1x) B. yxcosx

2axax C. y D. yln(1x)

2分析：A、yxln(1x)ln1x22yx，为偶函数

B、yxxcosxxcosxyx，为奇函数 或者x为奇函数，cosx为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数

axaxyx，所以为偶函数 C、yx2D、yxln(1x)，非奇非偶函数 故选B

⒋下列函数中为基本初等函数是（C）． A. yx1 B. yx C. yx2 D. y1,x0

1,x0 分析：六种基本初等函数

（1） yc（常值）———常值函数

（2） yx,为常数——幂函数 （3） yaxa0,a1———指数函数

（4） ylogaxa0,a1———对数函数

（5） ysinx,ycosx,ytanx,ycotx——三角函数

yarcsinx,1,1,（6） yarccosx,1,1,——反三角函数

yarctanx,yarccotx 分段函数不是基本初等函数，故D选项不对 对照比较选C

⒌下列极限存计算不正确的是（D）．

x21 B. limln(1x)0 A. lim2xx2x0 C. limsinx10 D. limxsin0

xxxxx2111lim2lim1 分析：A、已知limn0n0,lim2xx2xxxxx221012xx2x2B、limln(1x)ln(10)0, 初等函数在期定义域内是连续的

x0x2x2C、limsinx11limsinx0, x时，是无穷小量，sinx是有界函数，无

xxxxx穷小量×有界函数仍是无穷小量

11x，令t10,x，则原式limsint1 D、limxsinlimt0xxtxx1xsin故选D

⒍当x0时，变量（C）是无穷小量．

1sinx B.

xx1 C. xsin D. ln(x2)

x A.

分析；limfx0，则称fx为xa时的无穷小量

xasinx1，重要极限

x0x1B、lim，无穷大量

x0x11C、limxsin0，无穷小量x×有界函数sin仍为无穷小量

x0xxA、limD、limln(x2)=ln0+2ln2

x0故选C

⒎若函数f(x)在点x0满足（A），则f(x)在点x0连续。

A. limf(x)f(x0) B. f(x)在点x0的某个邻域内有定义

xx0 C. limf(x)f(x0) D. limf(x)limf(x)

xx0xx0xx0分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即limfxfx0

xx0连续的充分必要条件limfxfx0limfxlimfxfx0

xx0xx0xx0故选A

（二）填空题

⒈函数f(x)x29ln(1x)的定义域是 x3x|x3 ．

分析：求定义域一般遵循的原则

（1） 偶次根号下的量0 （2） 分母的值不等于0

（3） 对数符号下量（真值）为正

（4） 反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1

（5） 正切符号内的量不能取k2k0,1,2

然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域

f(x)x29ln(1x)要求

x3x290x3或x3求交集 －3 －1 3 x30得x31x0x－1定义域为 x|x3 ⒉已知函数f(x1)xx，则f(x) x2-x ．

2分析：法一，令tx1得xt1

则f(t)t1t1tt则fxx2x

22 法二，f(x1)x(x1)x11x1所以f(t)t1t ⒊lim(1x1x) ． 2xx11分析：重要极限lim1e，等价式lim1xxe

x0xx推广limfx则lim(1xaxa1fx)e fx1fx limfx0则lim(1fx)xaxae

11x12x12lim(1)lim(1)e2 xx2x2x1x⒋若函数f(x)(1x),x0，在x0处连续，则k e ．

x0xk,分析：分段函数在分段点x0处连续limfxlimfxfx0

xx0xx0x0limfxlimxk0kkx01xx0limfxlim1xex0 所以ke

⒌函数yx1,x0的间断点是 x0 ．

sinx,x0分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点 初等函数在其定义域范围内都是连续的

分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）

x0x0limfxlimx1011x0x0limfxlimsinx0不等，所以x0为其间断点

⒍若limf(x)A，则当xx0时，f(x)A称为 xx0时的无穷小量 ．

xx0分析：lim(f(x)A)limf(x)limAAA0

xx0xx0xx0 所以f(x)A为xx0时的无穷小量

（三）计算题

ex,x0⒈设函数f(x),求：f(2),f(0),f(1)．

x,x0解：f22，f00，f1ee

1⒉求函数ylg2x1的定义域． x1x或x0, 则定义域为2x02x1x02x1解：ylg有意义，要求解得

xx01x|x0或x

2⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端

点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．

解： D A R O h E

B C

设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R 直角三角形AOE中，利用勾股定理得

AEOA2OE2R2h2,则上底＝2AE2R2h2 h2R2R2h2hRR2h2 2sin3x⒋求lim．

x0sin2xsin3xsin3x3xsin3x3133解：limlim3xlim3x＝

x0sin2xx0sin2xx0sin2x21222x2x2x故Sx21⒌求lim．

x1sin(x1)x21(x1)(x1)x111limlim2 解：limx1sin(x1)x1sin(x1)x1sin(x1)1x1tan3x．

x0xtan3xsin3x1sin3x11解：limlimlim3133

x0x0xxcos3xx03xcos3x1⒍求lim1x21⒎求lim．

x0sinx1x21(1x21)(1x21)x2limlim解：lim2x0x0x0sinx(1x1)sinx(1x21)sinx limx0

x(1x21)sinxx00

111⒏求lim(xx1x)． x31111(1)x[(1)x]1x1xe1xxxx解：lim()lim()limlim3e4 xxx3xxx33e11(1)x[(1)3]3xxx3x26x8⒐求lim2．

x4x5x4x26x8x4x2limx2422

解：lim2limx4x5x4x4x4x1x4x1413⒑设函数

(x2)2,x1f(x)x,1x1

x1,x1讨论f(x)的连续性，并写出其连续区间． 解：分别对分段点x1,x1处讨论连续性 （1）

x1x1limfxlimx1x1x1limfxlimx1110x1x1

所以limfxlimfx，即fx在x1处不连续 （2）

x1x1limfxlimx2121x1x122limfxlimx1f11

所以limfxlimfxf1即fx在x1处连续

x1x1由（1）（2）得fx在除点x1外均连续 故fx的连续区间为,1

1,