“胡不归模型”——中考最值专题（一）
【教学重难点】
1．“胡不归”之情景再现，模型识别 2．本质：“两定一动”型——系数不为 3．三步处理：①作角；②作垂线；③计算
1 的最值问题处理
【模块一 模型识别】
从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路．由于思乡 心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径
A→ B（如图所示），而 忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声 痛哭．邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？···”．这个古老的传 说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千 百年的“胡不归问题”．
法国著名数学家费马 （ Fermat，1601－ 1665），他在与数学家笛卡尔讨论光的折射现象时， 如果把胡不归故事中的小伙子看作“光粒子”，然后，根据光的折射定律建立数学模型，就可以非常巧妙 地解决“胡不归”问题．费马解决“胡不归”问题的过程，告诉我们许多科学领域都是互相渗透、互为辅 成的．我们应该多多涉猎各方面知识，才能最大限度提升自我，走向成功．
偶然发现，
B
模型识别： 问题本质： 操作步骤：
沙
砾
地
带
C
A
高速公路
D
B 填】
【模块二 几何类型·选择题 &
【例 1】 1．（ 2012·崇安模拟）如图， △ABC 在平面直角坐标系中， 为射 = ， （ 0， 2 2 ）， （1， 0）， D AB AC A C 线 上一点，一动点 从 出发，运动路径为 → → ，点 在 上的 3 倍，要使 上的运动速度是在
AO
P A
A D C
P
AD
CD
整个过程运动时间最少，则点
D的坐标应为（
）
A.（0， 2）
2 ） B. （ ， 2
0
C. （0， 2 ）
3 D. （0， 2 ）
4
2．（ 2015 ·无锡二模）如图，菱形 ABCD的对角线 AC上有一动点 P，BC=6，∠ ABC=150°，则 PA+PB+PD的最小值为 __________．
【模块三 A20 圆综合】
【例 2】（ 2015·内江）如图，在 △ACE 中， CA=CE， CAE=30°，⊙ O经过点 C，且圆的直径 AB在线段
AE上．
（ 1）试说明 CE是⊙ O的切线；
（ 2）若 △ ACE 中 AE边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示⊙ O的直径 AB；
（ 3）设点 D是线段 AC上任意一点 （不含端点） ，连接 OD，当 CD+OD的最小值为 6 时，求⊙ O的 AB的长．
1
2
【模块三 二次函数综合·压轴】
【例 3】（ 2014·成都改编）如图，已知抛物线
y
k
( x 2)(x 4)
（k 为常数， k>0）与 x 轴从左至右依次
8
交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y
3
x b 与抛物线的另一个交点为 D．
3
（ 1）若点 D的横坐标为－ 5，求抛物线的函数关系式；
（ 2）在（ 1）的条件下，设 F 为线段 BD上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M从点 A出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 以每秒 2 个单位的速度运动到 ，再沿线段 后停止， 当点 的坐标为多
FD D F F
少时，点 M在整个运动过程中用时最少？
【例 4】（ 2015·日照改编）如图，抛物线
y 1 x2 mx n 与直线 y
2
1
x 3 交于 A、B 两点，交 x
2
轴于 D、 C两点，连接 AC、 BC，已知 A（0， 3）， C（ 3， 0）．
（ 1）抛物线的函数关系式为 ____________________ ， tan ∠ BAC=__________；
（ 2）设 E 为线段 AC上一点（不含端点），连接DE，一动点 M从点 D出发，沿线段 DE以每秒一个单位的 速度运动到 E 点，再沿线段 EA以每秒 2 个单位的速度运动到点 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？
【例 5】（ 2016·徐州改编） 如图，在平面直角坐标系中， 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点B（ 0，－ 3 ）， C（ 2， 0），其中对称轴与 x 轴交于点 D．
（ 1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （ 2）若 P为 y 轴上的一个动点，连接
PD，则 1 PB PD 的最小值为 __________．
2
【例 6】（ 2016·随州改编）已知抛物线 y
a(x 3)( x 1)(a 0），与 x 轴从左至右依次相交于
与 y 轴交于点 C，经过点 A 的直线 y
3x b 与抛物线的另一个交点为D． A（－ 1，0），A、 B 两点，
（ 1）若点 D的横坐标为 2，则抛物线的函数关系式为 ____________________ ； （ 2）在（ 1）的条件下，设点
以每秒 1 个单位的速度运动到点
E 是线段 AD上一点（不含端点），连接 BE，一动点 Q从点 B出发，沿线段
2 3 ，再沿线段
以每秒 个单位运动到点
停止，问当点 的坐标 BE
E
ED
3 D
E
为多少时，点 Q运动的时间最少？
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