《完全平方公式》典型例题精编版

《完全平方公式》典型例题

例1 利用完全平方公式计算：

1（1）(23x)2；（2）(2ab4a)2；（3）(am2b)2．

2

例2 计算：

（1）(3a1)2；（2）(2x3y)2；（3）(3xy)2．

例3 用完全平方公式计算： （1）(3y

例4 运用乘法公式计算：

（1）(xa)(xa)(x2a2)； （2）(abc)(abc)； （3）(x1)2(x1)2(x21)2．

例5 计算：

22x)； （2）(ab)2； （3）(3a4b5c)2． 31111（1）(x3)2x2；（2）(2ab)(2ab)；（3）(xy)2(xy)2．

2422

1例6 利用完全平方公式进行计算：（1）2012；（2）992；（3）(30)2

3

例7 已知ab3,ab12，求下列各式的值． （1）a2b2；（2）a2abb2；（3）(ab)2．

例8 若3(a2b2c2)(abc)2，求证：abc．

1

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参考答案

例1 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算．

解：（1）(23x)222223x(3x)2412x9x2；

（2）(2ab4a)2(2ab)222ab4a(4a)24a2b216a2b16a2；

11（3）(am2b)2a2m22amb4b2．

24说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现

(23x)2412x3x2的错误．

例2 分析：（2）题可看成[(2x)3y]2，也可看成(3y2x)2；（3）题可看成[(3xy)]2，也可以看成[(3x)y]2，变形后都符合完全平方公式．

解：（1）(3a1)2(3a)223a112 9a26a1 （2）原式(2x)22(2x)3y(3y)2 4x212xy9y2 或原式(3y2x)2

(3y)223y2x(2x)2 9y212xy4x2 （3）原式[(3xy)]2 (3xy)2

(3x)223xyy2 9x26xyy2 或原式(3x)22(3x)yy2

2

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9x26xyy2

说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．

2例3 分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式x为公式中a，3y为公

3式中b，利用差的平方计算；第（2）小题应把(ab)2化为(ab)2再利用和的平方计算；第（3）小题，可把任意两项看作公式中a，如把(3a4b)作为公式中的a，5c作为公式中的b，再两次运用完全平方公式计算．

解：（1）(3y2224x)=(x3y)2x24xy9y2 339 （2）(ab)2=(ab)2a22abb2

（3）(3a4b5c)2(3a4b)210c(3a4b)25c2 =9a230ac40bc25c216b224ab

说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：(ab)2a2b2，

(ab)2a2b2．

例4 分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项ac，和互为相反数的项b，所以先利用平方差公式计算[(ac)b]与[(ac)b]的积，再利用完全平方公式计算(ac)2；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为

[(x10(x1)(x21)]2，再利用乘法公式计算．

解：（1）原式=(x2a2)(x2a2)(x2a2)2x42a2x2a4 （2）原式=[(ac)b][(ac)b](ac)2b2 =a22acc2b2

（3）原式=[(x1)(x1)(x21)]2[(x21)(x21)]2 =(x41)2x82x41．

说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，

3

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以达到简化运算的目的．

例5 分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式．

1111解：（1）(x3)2x2x23x9x293x；

24441111（2）(2ab)(2ab)[(2ab)][(2ab)]

222211 (2ab)24a24abb2；

44（3）(xy)2(xy)2x22xyy2(x22xyy2) x22xyy2x22xyy24xy．

说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究．

例6 分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和或差．

解：（1）2012(2001)220022200140401； （2）992(1001)21002210019801．

1111（3）(30)2＝(30)2302230()2

333311 90020920.

92说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的．

例7 分析：（1）由完全平方公式(ab)2a22abb2，可知

a2b2(ab)22ab，可求得a2b233；

（2）a2abb2a2b2ab33(12)45； （3）(ab)2a22abb2332(12)57．

解：（1）a2b2(ab)22ab322(12)92433

（2）a2abb2(a2b2)ab33(12)331245

4

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（3）(ab)2a22abb2(a2b2)2ab 332(12)332457

说明：该题是(ab)2a22abb2是灵活运用，变形为

a2b2(ab)22ab，再进行代换．

例8 分析：由已知条件展开，若能得出(ab)2(bc)2(ca)20,就可得到ab0,bc0,ca0,进而ab,bccaabc,同时此题还用到公式(abc)2a2b2c22ab2ac2bc．

证明：由3(a2b2c2)(abc)2,得

3a23b23c2a2b2c22ab2bc2ac 2a22b22c22ab2ac2bc0.

则(a22abb2)(b22bcc2)(c22aca2)0

(ab)2(bc)2(ca)20.

∵ (ab)20,(bc)20,(ca)20. ∴ ab0,bc0,ca0. 即ab,bc,ca,得abc．

5