第三章计_算_题

1． 设某商品的反需求函数为，其中q是需求量，a、b为常数且

a＞0，b＞0。

（1）用图形表示价格为p1时的消费者剩余。 （2）计算价格为p1时的消费者剩余。

（3）计算当价格由p1改变到p2（p2＞p1）时消费者剩余的改变量。（武大2001研）

解：（1）

所以当价格为p1时，消费者剩余为三角形AP1C。 （2）q1=a-bp1 令q=0得：pca b1a)p·(abp11 b2所以消费者剩余为

（3）当价格由p1改变到p2(p2＞p1)时消费者剩余的改变量为梯形ABp2p1

因为q2=a-bp2

所以消费者剩余改变量为： =

1·(p2-p1)(q1+q2) 21·（p2-p1）（2a-bq1+bq2） 22、某消费者的效用函数为，x和y是他所消费的两种商品，其

价格分别为Px=1和Py=2，他的收入为100，试问他对x和y的需求量各为多少？（重庆大学1999研）

解：由题意得

x2y100x2y10011x2y100122 MUxMUyxy11MAX(U)PxPy1x2y2222x50可得：

y253、设某产品的反需求函数为p=a-bq，其中a与b均严格为正数，现设政府决定征收税率为t的销售税，于是产品价格提高为p（1+t），证明消费者剩余的损失大于政府征税所得的收益。（武大2003研；南京理工大学2001研）

解：由题意可得：设产品价格提高后产量为q′，则政府征税所得为qpt 由p=a-bq可得

q所以 q(ap) b[ap(1t)]＜q

b又因为 Δp=pt 消费者剩余损失=

(qq)p(qq)pt＞q′pt=政府征税所得 22所以证明消费者剩余的损失大于政府征税所得的收益。

4.消费x，y两种商品的消费者的效用函数为：u=xy，x，y的价格均为4，消费者的收入为144。

（1）求该消费者的需求及效用水平。

（2）若x的价格上升为9，对两种商品的需求有何变化？

（3）x价格上升为9后，若要维持当初的效用水平，消费者的收入最少达到多少？

（4）求x的价格上升为9，所带来的替代效应和收入效应。

解：（1）预算约束式为：

4x+4y=144

简化后得y=36-x，代入效用函数得：

u=x（36-x）=-x2+36x 效用极大化条件为：

du2x360 dx所以： x=18 代入预算约束式得： y=18 代入效用函数得： u=324 （2）x的价格变化后的预算约束式为：

9x+4y=144

简化后得y36999x，代入效用函数得：ux36xx236x

444效用极大化条件是

du9x360 dx2所以： x=8

分别代入预算约束式及效用函数得：

y=18，u=144

（3）假设x的价格变化后要维持最初的效用水平u=324所需的收入为I，那么，其预算约束式为：

9x+4y=I

所有的已知条件为：

9x4yI xy324整理后得：

I9xI的极小化条件为：

43241296 9xxxdI91296x20 dx所以： x=12 代入效用函数及预算约束式分别得：

y=27，I=216

也就是说，价格变化后，若能将收入提高到216，分别购入12单位和27单位y，可恢复到最初324的效用水平，这一情形就是图3—36的B点所显示的。

图 3—36 效用函数

（4）替代效应就是从A点到B点的效应，替代效应为-6（即12-18）。收入效应为B点到C点的效应，收入效应等于-4（即8-12）。

5.若某人每周用于学习和约会的无差异曲线是围绕最佳组合（20，15）的同心圆，越接近最佳组合，满足越大。假设他每周用于学习25小时、约会3小时，现在请问他愿意每周用30小时学习，8小时约会吗？

解：根据题意，实际上只要分别求出点（25，3）和点（30，8）与最佳组合点（20，

15）之间的距离，问题也就解决了。

令点（25，3）与点（20，15）之间的距离为d1，点（30，8）与点（20，15）之间的距离为d2，则

d1(2025)2(153)2169 d2(2030)2(158)2149 可见，d1＞d2。因此，点（30，8）距圆心更近，故此人愿意每周用30小时学习、8小时约会。

6.某人生活在仅有两种商品x、y的世界中，每一时期他的效用函数为：U=50x-0.5x2+100y-y2,x的价格为4,每一时期里他的收入为672。试求： （1）导出他对y的需求函数。

（2）若y的价格为14，他将买多少X？

（3）在这种均衡的状态下，计算他对x的需求收入弹性。

（4）此人得到一个加入某协会的机会，此协会的会员能以价格5购买y，并且这是惟一的好处，问他进入协会而愿意付出的最大代价是多少？

（5）若会费为每期222，问他会加入吗？此时货币对他的边际效用是多少？

解：（1）MUx=50-x MUy=100-2y 由消费者均衡条件知：

MUxMUy50x1002y，① PxPy4Py672yPy ②

4且： 4x+y·Py=672x由①②得y1600472P 232P160047214（2）当Py=14时，y36

32142（3）x·Px+y·Py=MxMyPyPx

x1 MPx当Px=4时，X的需求收入弹性为

1。 4（4）当Py下降到5元时，在保持原有的消费水平不变的情况下，相当于收入增加了（14-5）×36=9×36=324元，这是他愿意入会的最大代价。

（5）当会费为222元时，由于222＜234，故他愿意入会，此时可供支配的收入水平为672-222=450元。

4x5y450 50x1002yx50,y5054此时货币对他的边际效用MUxMUy0 PxPy7.某人的收入为10000元，全部用于购买商品x和商品y（各自的价格分别为50元、20元），其效用函数为u=xy2。假设个人所得税率为10%，商品x的消费税率为20%，商品y的消费税率为0。为实现效用极大化，该人对商品x和y的需求量应分别为多少？

解：该消费者可用于消费支出的收入为：

I=10000（1-10%）=9000

消费品x和y的实际价格分别为：

Px=50（1+20%）=60，Py=20

所以其预算约束式为：

60x+20y=9000

整理后可得： y=450-3x 代入效用函数，得：

u=xy2=x（450-3x）2=9（x3-300x2+22500x）

效用极大化条件为：

du9(3x2600x22500x)0 dx解此方程，得：

x=150，x2=50

若x为150，可得y=450-3×150=0，则u=0不合题意，所以商品x的消费量应为50，将x=50代入预算约束式，可求得商品y的消费量为y=300。

8.近年来保险业在我国得到迅速发展，本题应用经济学原理分析为什么人们愿意购买保险，假定有一户居民拥有财富10万元，包括一辆价值2万元的摩托车，该户居民所住地区时常发生盗窃，因此有25%的可能性该户居民的摩托车被盗，假定该户居民的效用函数为U（W）=ln（W）其中W表示财富价值。

（1）计算该户居民的效用期望值。

（2）如何根据效用函数判断该户居民是愿意避免风险，还是爱好风险？ （3）如果居民支付一定数额的保险费则可以在摩托车被盗时从保险公司得到与摩托车价值相等的赔偿，试计算该户居民最多愿意支付多少元的保险费？ （4）在该保险费中“公平”的保险费（即该户居民的期望损失）是多少元？保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是多少元？（北大1998研）

解：（1）该户居民的期望效用为：75%×ln100000+25%×ln80000=11.46 （2）u(w)1＜0 w2故该户居民是风险规避者。

（3）缴纳保险费τ后，居民的财富确定地方为：100000-τ 不缴纳保险费，居民的预期效用为：11.46 故ln（100000-τ）=11.46τ=5434元。 居民最多愿意支付5434元。

（4）公平的保险费为2×25%=0.5万元

故保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是5434-5000=434（元）

9.若某人的效用函数为 ，其中常数a＞0，试证明在商品价格为常数时，该人的收入-消费曲线为一条过原点的直线。（人大1998研）

a解：效用函数：U(X1)X2

设商品价格分别为P1，P2设收入为I 则有X1P1+X2P2=I

a构造拉格朗日函数X1X2(X1P1X2P2I)

一阶条件：

aX1a1X2P10X1aX1a1P20 X2X1P1X2P2I0解得：I=（a+1）P2X2

因为a和P2都是常数，所以可以令β=（a-1）P2此时有I=BX2 同理也有I=αX1

所以该人的收入-消费曲线为一条过原点的直线。

10．消费者的效用函数为U=X4Y3，则他在Y商品上的支出占总支出的比例是多少？对Y的需求与X的价格有什么关系？（北大2000研）

解：假设总支出为M。总支出的分配为：PxX+PyY=M。 根据消费均衡的条件：

PxMUx，可以得出 PyMUy4PxU/X4X3Y34YPXPyY，代入PxX+PyY=M中，得，所以x423PyU/Y3XY3XPyY33M，所以此消费者在Y商品上的支出占总支出的比例是。 77并且，对Y的需求与X的价格无关。

11.假定某君效用函数为U=20+2M，这里，U是效用，M是货币收入（万美元）。他有10万美元，想投资于某项目。他认为有50%的可能损失全部投资，有

50%可能获得30万美元，试问： （1）如果他投资，他的效用是多少？

（2）他是否会进行这笔投资？（复旦大学1998研）

解：（1）该君货币期望值为0.5(10)0.5(30)10（万元）。因此，如果他投资，效用为U=20+2M=20+2×10=40。

（2）从效用函数的形式看，效用是货币收益的线性函数，因而他是一个风险中立者。他对风险持无所谓态度，关心的只是货币期望值极大，既然投资的货币期望值是10，而不投资的货币期望值为零，他当然会选择投资。

12．某个消费者生活两个时期，他在第一期有1000元，第二期有500元，他在两个时期的消费额分别为c1和c2，他的效用函数是U（c1，c2）= c1c2。请推导这个消费者第一时期的储蓄函数s（r），这里r为市场利息率，这个函数是利息率的增函数还是减函数？（北大1997研）

解：消费者的目标为：

maxU(c1,c2)c1c2

c1,c2使得 1000（1+r）+500=c1（1+r）+c2

Lc1c2[c1(1r)c21000(1r)500]

一阶条件

c2(1r)0 c10 c2c1(1r)

c1500250 (1r)s(r)1000c1500 显然s（r）＞0，故s（r）是r的增函数。

250 1r13．收获后，农民决定是卖粮存钱还是存粮。假定农民预期一年后粮价将涨20%。（不考虑粮食质量的差异），而存粮一年期间老鼠将吃掉10%的粮食，银行存款的年利率是10%。计算当预期的通货膨胀率为5%时，农民将如何选择？通货膨胀率到什么水平时，农民将选择存钱？（北大1999研）

解：假设农民现有价值1元的粮食。若他卖粮存钱，则一年后的收益为1+10%=1.1；若存粮，一年后的价值为（1+20%）（1-10%）（1+5%）=1.134

故农民将选择存粮设通货膨胀至时，农民将选择存钱，此时必有

（1+10%）≥（1+20%）（1-10%）（1+）

因此，当通货膨胀率小于等于1.85%时，农民将选择存钱。

14．设某消费者直接效用函数u（x，y）=xy2，收入为60，x与y的价格分别为2与1。问：当y的价格上升为2时，此消费者对x商品的希克斯替代效应和收入效应各是多少？斯拉茨基替代效应和收入效应各是多少？

0解：令px2，p0，p1，p1y1x2y2，

当价格为px=2，py=1时，消费者的问题为：

maxxy2

x,y使得 2x+y=60

用拉格朗日法求得：

x0=10，y0=40

效用为：U0=16000。

当y的价格上升至2时。为保持效用U0的最小支出，为min2x+2y 使得xy2=16000

得出x1=10，y1=20。

当y的价格上升至2时，为保持原消费束（x=10，y=40），消费者的收入必须增加为

2×10+2×40=100；

当消费者的收入为100，px=2，py=2时，问题为：

maxxy2

x,y使得 2x+2y=100 则xs=16.67，ys=33.33

故消费者对x商品的希克斯替代效应为：xh-x0=5.87 收入效应为：x1-xh=-5.87

斯拉茨基代替代效应为：xs-x0=6.67 收入效应为：x1-xs=-6.67

15．如果某人的绝对风险规避系数为一常数，则这个人的效用函数的形式必为u（w）=-e-cw。

证明：设u(w)c u(w)则显然有lnu(w)cwa0，a0为任意常数。

u(w)ecwa0

u(w)ecwa0a1ea0ecwa1

故其效用函数的形式必为u(w)ecw

16．一退休老人有一份固定收入，他现在需在北京、上海与广州三地之间选择一城市去居住。假设他只按消费的效用来选择，不考虑地理、气候与文化因素。他的效用函数是

已知北京的物价是（上海的物价是（

）

）

广州的物价是

问：他会选择哪个城市去居住？

解：老人的目标函数为：

maxx1x2

x1,x2s.t. p1x1+p2x2=m

其中m是老人的固定收入。

m2可得到老人的总效用由p1，p2决定，U

4p1p2∴他在北京的效用为：

m2Uaaa；

4p1p2m2m2他在上海的效用为：Ub；在广州的效用为：Uc bacc4p1p24p1p2abp1ap1bp2p2aab由于pp≥p1·p1·p2·

22c1c2babp2p1ap2p1bp2

故他可能会选择去北京或上海，但不会选择去广州。

17．某人将其收入全用于X与Y两种消费品的购买上。当PX=10元，PX=5元时，它的购买量为X=5，Y=10。现在，PX=8元，PX=6元。请问：价格变化后，该消费者的生活水平是上升了还是下降了？为什么？

解：在新的价格水平下，消费者的生活水平很有可能上升，至少不会下降，因为在新的价格水平下，其购买原消费束的支出为：

8×5+6×10≤10×5+5×10

满足其预算约束。

故消费者至少可以购买原消费约束以使生活水平不下降。

18．考虑一个纯交换经济，此经济只有两个消费者A和B，两种商品x与y。A和B的效用函数定义如下：

UA（xA，yA）=3xA+5yA UB（xB，yB）=9xB+2yB 这个经济的总禀赋为xA+xB=10，yA+yB=10 （1）请给出完全竞争均衡的定义。

（2）请给出Pareto最优配制的定义。

（3）请给出这个经济所有可能的Pareto最优配制。

（4）假如初始财富配制为A和B各拥有5单位的x和y，x

和y价格比为pxpy，当经济达到完全竞争均衡时，这个价格比例能否大于1？为什么？假设条件如上，这个价格比能否小于1？为什么？（北大2003研）

解：（1）完全竞争均衡，在短期指在完全竞争市场上存在一

个价格，使得买者的最优购买量与卖者的最优供给量相等；在长期指任一厂商的供给等于需求并且经济利润为零。

（2）Pareto最优配制指不可能在不严格损害某些利益的前提 下使另一些人严格受益的配置状态。

（3）所有可能的Pareto最优配置在埃奇沃思方盒的两条黑 边上，见图3—37。

图 3—37 Pareto最优配置

（4）由于消费者A的无差异曲线的斜率绝对值小于B的无

差异曲线的斜率的绝对值，当经济达到完全竞争均衡时在点E处，连接WE的斜率即为px/py，显然px/py＞1。

（5）由于二者处于平等竞争地位，一方对另一方都不存在

任何优势，作为理性经济人，从初始配置W的Pareto改进将在E点均衡，所以px/py＜1不可能。

19．已知效用函数为U=logmX+logmY，预算约束为：PxX+ PyY=M，求；（1）消费者均衡条件；（2）X与Y的需求函数；（3）X与Y的需求的点价格弹性。（南开大学2000研）

解：（1）

MUxMUy1

xlnM1 ylnmMUxMUy11令： xpxypy

pxpyxpxypy即消费者均衡条件为 xpx=ypy

（2）根据题意，令U=logmX+logmY+λ（PxX+PyY-M） U极大的必要条件是所有一阶偏导为零，即：

1XlnmPx0MX2Px1 Px0MYlnmYPxXPyYM02Py（3）由（2）可得：X与Y的需求函数分别为XMM，Y

2Py2Px所以

dXMdYM2,2 dPx2PxdPy2Py所以 exMPx1· 2M2Px22PxPy1M同理 ey· M22Py22Py20．我们用x1和x2表示消费者对商品X1和X2的消费数量，现给定消费者的效用函数为U（x1，x2）=

，两种商品的价格分别为P1和P2，

消费者的收入为m，求解下列问题：

（1）消费者将把收入的多大比例分别用于消费X1和X2？ （2）求出消费者对X1和X2的需求函数；

（3）消费者均衡时，两种商品的需求价格弹性是多少？（北大2001研）

解：消费者面临的问题是：

maxx1x2

使得 p1x1+p2x2=m 可算出 xmm，x2

p1p2这是两商品各自的需求函数。 收入用于商品x1的比例为：

x1p1 mx2p2 m收入用于商品x2的比例为：

商品x1的需求价格弹性为：e1p1x11 x1p1商品x2的需求价格弹性为：e2p2x21

x2p221．某消费者消费X和Y两商品。已知在该消费者收入和商品Y的价格不变的条件下，当商品X的价格上升时，该消费者对商品Y的消费数量保持不变。试求：

（1）请画出该消费者的价格-消费线（即P.C.C）。

（2）请根据（1）判断商品X和商品Y分别属何种商品（正常品、劣等品或中性品） （3）消费者对X商品的需求价格弹性为多少？请根据P.C.C线画出相应的X商品的需求曲线，并说明其形状特征。（北大1999研）

解：（1）由题意画出该消费者的价格—消费曲线如图3—38所示：其中价格消费线是收入给定的前提下相对价格变化与消费需求量变化之间的对应关系轨迹。

图 3—38 消费者的价格—消费曲线

（2）正常品的定义是随着收入的增加，该商品的消费也随之增加；劣等品的定义随着收入的增加，该商品的消费随之减少。从（1）中所画的图中易判断出：X商品为正常品，Y商品也是正常品。

（3）由题意可知，设Px为X商品的价格，Py为Y商品的价格，Px，Py分别为X和Y商品的价格，则PxX+PyY=y得出xyPyYPx

由于y，Py，Y都不随Px的变动而变动。故不妨令y-PyY=m，m为一固定的常数。

EX,xmPx1 ·2mPxPxX商品的需求曲线的形状如图3—39所示，其形状类似于双曲线一侧，无限向X轴及P轴接近。

图 3—39 X商品的需求曲线

22．某人的的效用函数依存于全年不劳动的闲暇日数x及对商品y的消费量，购买y的支出全部来源于其劳动日数L所得的工资，假设日工资为100元，商品y的价格为50元，问该人若想实现效用最大化（效用函数为u=x2y3），则他每年应安排多少个劳动日？

解：该消费者的预算约束式为：

50y=100L

即：y=2L=2（365-x）=730-2x（假定一年为365天） 在此条件下求u=x2y3的条件极值。

构造拉格朗日函数为：L（x，y，λ）=x2y3-λ（y+2x-730） 效用极大化条件为：

L(x,y,)2xy320 ①

xL(x,y,)3x2y20 ②

y整理①和②式可得：

2y2，即y=3x 3x代入预算约束式，可得：

x=146，y=438

所以， L=365-146=219

也就是说，该人若安排219个劳动日，即可达到效用最大化。

23．已知某消费者的效用函数为U=XY4，他面临的商品X和Y的价格分别为PX和PY。如果消费者现有的收入为M，该消费者会把其收入的多少用于商品Y的消费？（人大2000研）

解：效用函数： U=XY4 预算约束： PXX+PYY=M

构造拉格朗日函数：L=XY4+λ（M-PXX-PYY）

L4YPX0XL4XY3PY0 YLMPXXPYY0解得： Y·PY这就是说，他收入中有

4M 54用于购买商品Y。 524．若某消费者的效用函数为U=xy4，他会把收入的多少用于商品Y上？（复旦大学1999研）

解：假设商品X的价格为Px，商品Y的价格为Py，收入为M。 由U=xy4得：UU他对x和y的最佳购买的条件是，MUx/Px=MUy/Pyy4，4xy3。

yxy44xy3即为： PxPy变形得，Px·x把Px·x1Py·y 41Py·y代入预算方程Px·x+Py·y=M 41Py·yPy·yM 44Py·yM

54这就是说，他收入中有用于购买商品Y。

525．某消费者收入为M，全部用于购买X和Y两种商品，其效用函数为U=XY，两种商品价格分别为Px和Py。（1）推导出他对X的需求函数。（2）X与Y是互补品还是替代品？为什么？（3）假如市场一共有100个完全相同的消费者，写出对X商品的市场需求函数。（武大2001研）

解：（1）效用函数：U=XY 预算约束：PxX+PyY=M

构造拉格朗日函数

L=XY+λ（M-PXX-PYY）

LXYPX0L XPY0YLMPXXPYY0解得：X=M/2PX（对X的需求函数）

Y=M/2PY

λ=M/2PXPY

其中X=M/2PX是消费者对X的需求函数。 （2）X，Y是替代品，如图3—40。

图 3—40 替代品的需求函数

当X上升时，Y下降。 （3） X100Xii1100MM50 2PXPXX商品的市场需求函数为X=50

M。 PX26．假设只存在两种商品X、Y，消费者的效用函数为U=L0.5X0.2Y0.1，L代表消费者每周的闲暇小时数，其工资率为10元/小时，并且消费者可以自由选择工作的时间长短，问：

（1）消费者每周会工作多少小时？

（2）他会把多大比例的收入用来购买X？

解：消费者均衡点通过解以下规划问题得到：

maxU=L0.5X0.2Y0.1

约束方程PxX+PyX=10（24×7-L）=10（168-L）

用拉格朗日乘数法令u= L0.5X0.2Y0.1(PXXPYY10L

1680)

由最大化的一阶必要条件：

ULU XU YU 

可解得

0.5L0.5X0.2Y0.1100 （1） 0.2L0.5X0.8Y0.1PX0 （2） 0.1L0.5X0.2Y0.9PY0 （3） PxXPyY10L16800 （4）

(1)102.5L1X 可得：PxX=4L （5） (2)Px(1)105L1Y 可得：PyY=2L （6） (3)Py把（5）、（6）代入（4）得6L=1680，即L=105（小时）。

所以工作时间为168-105=63小时，即消费者每周会工作63小时。

4202。

1063327．某消费者面临两种商品X、Y的选择，已知其效用函数为U=X2Y，商品X、Y的价格分别为Px=4，Py=2，消费者用于消费的收入为60，现在商品X的价格降为2，Y的价格未变，请分别计算替代效应和收入效应对商品X的购买量的影响（用希克斯分解）。

又由（5）得，PxX=4L=4×105=420，所以用于购买X的花费所占比例为

解：由效用函数得MUx=2XY，MUy=X2

2XYX2MUxMUy价格未变动前，由消费者均衡点的条件有，即 42PxPy联立预算方程4X+2Y=60，得X=Y=10，U=1000

当X的价格变动后按上述同样的方法可得X′=20，Y′=10，ΔX=10 由于替代效应造成的ΔX1计算如下：

X12·Y11000

MUx1Py1率）

2X1Y1Px21（因为无差异曲线上均衡点的斜率等于新预算线的斜2X1Py2故有2Y1=X1，代入X1·Y11000中解得X1=1032≈13 所以ΔX1=13-10=3，即替代效应为3。

收入效应造成的ΔX2=20-13=7。

228．假定消费者的效用函数为u（x1，x2）= x1x2，预算约束为p1x1+ pxx2≤m。这里，x1，x2是商品1和商品2的消费量，p1， p2是对应的价格，m是收入水平。试求需求函数研）

解：由拉格朗日乘数法得

u=x1x2-λ（p1x1+p2x2-m）

由最大化的一阶必要条件：

=D1（p1，p2，m），=D2（p1，p2，m）。（北大1996

Ux2p10 X1Ux1p20 X2Up1x1p2x2m0 可解得 x2=λP1 （1）

x1=λP2 （2）

(1)x2p1 即有p1x1=p2x2，代入P1X1+P2X2-m=0中 (2)x1p2得x1D1(P1,P2,m)*mm*,P,m) x2D2(P。 122P2P1229．假定某君效用函数为U=20+2M，其中U是效用，M是货币收入（万

美元）。他有10万美元，想投资于某项目。他认为有50%的可能损失全部投资，有50%可能获得30万美元。试问： （1）如果他投资，效用是多少？

（2）他是否进行这笔投资？（复旦大学1998研）

解：（1）投资获得的效用为：

U50%U(0)50%U(30)0.5200.5(20230)

50

（2）如果他不投资，他获得的效用为：U′=20+210=40，U′＜U，所以该君会投资。

30．设某甲消费三种商品—食物（x1），衣服（x2），汽车（x3）， 其效用函数为U=5lnx1+4lnx2+（1+x3），价格分别为P1=1，P2=1，P3=2000，若此人有收入9000，为达到效用最大化，他会如何消费？（但其购买量必须为整数）

解：

maxU=5lnx1+4lnx2+ln（1+x3）

I=P1x1+P2x2+P3x3，即9000=x1+x2+2000x3

令 L=5lnx1+4lnx2+ln（1+x3）-λ（x1+x2+2000x3-9000） 可得

联立①②③④，解得 x1=5500 x2=4400 x3=依据题意，x2，x3都为非负整数，所以x3=0

9 20u5lnx14lnx2 xx900012利用L(5lnx14lnx2)(x1x29000) 求L′的极大值，由

LLL0，0，0 X1X2得出x15000

x24000即为达到效用最大化，他将消费食物5000单位，衣服4000单位，汽车0单位。

31．一个消费者每月用200元购买两类食品：肉制品Z1平均每磅4元，豆制品Z2平均每磅2元。 （1）划出他的预算线；

（2）如果他的效用函数为U（Z1，Z2）= Z1+2Z2，为使效用最大化，Z1与Z2各是多少？ （3）如果商家对商品2采取买20磅送10磅的销售办法，试画出新的预算线。 （4）如果商品2价格提到4元，并取消优惠政策，那么新的预算线又怎样？效用最大化的Z1和Z2各是多少？

解：（1）该消费者预算约束为：4Z1+2Z2=200 即Z2=-2Z1+100 所以，其预算线如图3—41所示。

图 3—41 消费者预算约束线

（2）由消费者的效用函数U（Z1，Z2）=Z1+2Z2，可得其无差异曲线为直线，斜率为1，2小于预算线的斜率。如图1中的U1，U2，U3。

由图一中所反映的消费者的效用函数与预算约束的关系可知，消费者最优消费组合在边界点A。（即角解）

即Z1=0，Z2=100时，消费者获得最大效用。 （3）若商家对商品2采取买20磅送10磅的销售方法，则当消费者购买到20Z2磅时，其消费量变为30磅，当消费者购买到40磅时，其消费量变为60磅，依次类推，其预算线如图3—42所示。

图 3—42 消费量的变化对预算线的影响

（4）新的预算线为：4Z1+4Z2=200 即Z2=-Z1+50如图3—43所示其斜率为-1。

图 3—43 新预算线

在新的预算线条件下，消费者最优消费组合在边界点A′ 即Z1=0，Z2=50时，消费者获得最大效用。

32．若某消费者对A组和B组物品的偏好相同，而已知A组含5个X及16个Y，B组含8个X及10个Y，若Px=5，Py=8，则此消费者会购买何者？

解：消费者购买A组、B组物品的支出分别为

IA=5Px+16Py=5×5+16×8=153 IB=8Px+10Py=8×5+10×8=120

IA＞IB，而消费者对A组和B组物品的偏好相同，即UA=UB，所以消费者会购买B组商品。

33．设有两张彩券，其中奖情况如下表：

① 若A对货币的效函数为TU（M）=

，则A对甲、乙两彩券的效用期望

值各为多少？会偏好哪张彩券？哪种风险较大？

② 同上，A最高愿意出多少金额来购买乙彩券，对乙彩券而言，A对其效用期望与货币期望值的效用何者为大？

③ 若B对货币的效用函数为TU（M）=20+2M，则B会较偏好哪张彩券？其最高愿意出何种价格来购买乙彩券？此价格是否会等于货币期望值？

解：① A对甲乙两彩券的效用期望值分别为：

EU甲400·

85230100·15.3 151515EU乙900·0.2100·0.814

由于EU甲＞EU乙 故A会偏好甲彩券

EM甲87400100260 1515EU乙0.29000.8100260

所以Var(甲)87(400260)2(100260)222400 1515Var(乙)0.8(100260)20.2(900260)2102400

因为Var（甲）Var（乙） 所以乙彩券的风险更大。 ② EU乙=14

A最高愿意支付14单位效用的货币，由14M，得M=196，即A愿出196元来

购买乙彩券。

乙彩券的货币期望值为900×0.2+100×0.8=260

TU(260)26016.1＞EU乙

即A对乙采券的货币期望值的效用大于效用期望值。 ③ B对甲乙两彩券的效用期望值为：

EU甲(202400)87(202100)540 1515EU乙(202900)0.2(202100)0.8540

由于EU甲=EU乙。因此B对甲、乙彩券的偏好无差异。

B最高愿意支付540单位效用的货币，由540=20+2M，得M=260，即B最高愿意以260元价格购买乙彩券。

乙彩券的货币期望值为900×0.2+100×0.8=260

所以B愿意为乙彩券支付的最高价格等于乙彩券的货币期望值。

34．张三欲作东北亚旅行，在旅途中其所获得的效用决定于其所花费的大小，其效用函数TU（M）=log10M，今张三有10000元，则：

① 张三在旅途中遗失1000元的概率为25%，求其旅途的效用期望值？ ② 若张三购买支票遗失保险，其所须付的保费为250元（保1000元的金额），则张三是否会购买此保险？

③ 张三最高愿意出多少保费来购买此保险？

④ 设张三购买保险后反而更粗心，因此其遗失1000元的概

率会提高至30%，则正确保费为何？此时张三是否会购买此保险？

13解：① EU·log109000·log10100003.9886

44即张三旅途的效用期望值为3.9886。

② 购买保险的效用为log10(10000-250)=log109750=3.9890＞3.9886 所以张三会购买此保险。

③ 张三最高愿意支出的保费为R，则log10(1000-r)=3.9886 解出R=273 ④ 保险费为1000×30%=300元 此时的效用期望值为

EU=0.3log109000+0.7×log1010000=3.9863

张三最高愿意支出的保费为R，则log10(10000-R)=3.9863 得出R=310.5＞300 所以张三还会投保。

35．某甲拥有财富100万元，明年他有25%的可能性会丢失一辆价值20万元的小汽车，假设他的效用函数为V（W）=lnW，W为他的财富问题。请解答以下问题：

（1）如果他不参加明年的保险，他的期望效用是多少？

（2）如果保险公司的管理费用为零，则他为参加全额公平保险应该支付多少保险费？此时期望效用是多少？境况改善了吗？

（3）如果参加保险，他最多愿意支付多少保险费？（北大2002研）

解：（1）EU=25%·ln（100-20）+75%·ln100=ln（80×100）=ln94.57 （2）公平保险指的是使保险公司的期望利润为零，此时的保费率为25%。

h=pl=25%×20=5

即某甲应支付的保险费为5万元。

此时的期望效用为E(U)=ln(100-5)=ln95＞ln94.57 参加保险后其境况改善了。

（3）设保险费为R，则ln(100-R)=ln94.57 得R=5.43

即最多愿意支付5.43万元的保险费。

143436．一个具有V-N-M效用函数的人拥有160000单位的初始财产，但他面临火灾风险：一种发生概率为5%的火灾会使其损失70000；另一种发生概率为5%的火灾会使其损失120000。他的效用函数形式是U（W）=

。若他买

保险，保险公司要求他自己承担7620单位的损失（若火灾发生）。这个投保人愿支付的最高保险金是多少？

解：假设这个投保人愿支付的最高保险金为R，则有

0.11600007620R0.9·160000R 0.05160000700000.051600001200000.9·

160000 得 R=385

即此投保人最高愿支付保险金385元。

37．假定某君效用函数为：U=10+2M，这里，U是效用，M是货币收入（万美元）。他有2.5万美元，想投资于某公司的产品试生产。他认为有0.5概率损失全部投资，有0.5概率得到3.2万美元，试问： （1）如果他投资，他的效用是多少？ （2）他是否进行这笔投资？

答：（1）该君的投资净收益的期望值为

0.5×(-2.5)+0.5×3.2=0.35（万元）

因此，如果他投资，效用为

U=10+2M=10+2×0.35=10.70

（2）从效用函数的形式看，效用是货币收益（M）的线性函数，因而他是一个风险中立者，因为U′=2，U″=0。他对风险持无所谓态度，关心的只是货币期望值极大，既然投资的净收益期望值是0.35（万美元），而不投资的净收益期望值是零，他当然会选择投资。

38．若差异曲线是一条斜率是-b的直线，价格为Px、Py，收入为M时，最优商品组合是什么？

解：预算方程为：Px·x+py·y=M，其斜率为Px PyMRSXY由于无差异曲线是直线，这时有角解。 当b＞MUXb MUYPx时，角解是预算线与横轴的交点，如图3—44(a)所示。 Py这时，y=0 由预算方程得，x=

M Px

图 3—44 最优商品组合

最优商品组合为M,0 Px当b＜Px时，角解是预算线与纵轴的交点，如图3—44（b）所示。 Py这时，x=0

由预算方程得，yM Py最优商品组合为0,



MPy

 

当b=

Px时，预算线上各点都是最优商品组合点。 Py39．若甲的效用函数为U=XY，试问：

（1）X=40，Y=5时，他得到的效用是多少？过点（40，5）的无差异曲线是什么？

（2）若甲给乙25单位X的话，乙愿给此人15单位Y。进行这个交换，此人所得到的满足会比（40，5）的组合高吗？

（3）乙用15单位Y同此人换取X，为使此人的满足与（40，5）组合相同，他最多只能得到多少单位X？

解：（1）当X=40，Y=5时，U=XY=40×5=200。过点（40，5）的无差异曲线为XY=200。 （2）甲的商品组合为（40，5），现在进行交换，他得到15单位Y，失去25单位X，商品组合变为（15，20）。这时他的效用可由效用函数算得

U=XY=15×20=300

原来商品组合（40，5）提供的效用是200，现在交换后的商品组合（15，20）提供的效用是300。显然，此人的满足提高100。

（3）仔细分析一下，所要问的问题实际上是这样一个问题：在无差异曲线XY=200上，与商品组合（40，5）相比，单要想多消费15单位Y，那么他要放弃多少单位的X商品。

由于XY=X·（5+15）=200，所以，X=10

甲必须要放弃（40-10）=30单位X。也就是说，乙最多只能得到30个单位的X。