课时过关·能力提升
基础巩固
𝑥-𝑦≥-1,
1不等式组{𝑥+𝑦≥1,表示的平面区域的面积是( ).
3𝑥-𝑦≤3A.3
B.√52 C.2 D.2√2 答案:C
2点(a,1)在直线x-2y+4=0的右下方,则a的取值范围是( ). A.(-2,+∞) B.(-∞,-2)
C.(1,+∞)
D.(-∞,1)
解析:如图,原点(0,0)在直线x-2y+4=0的右下方,
则点(a,1)与原点在直线x-2y+4=0的同侧. 把原点(0,0)代入x-2y+4,得4>0. 于是把点(a,1)代入x-2y+4>0, 即a-2+4>0,得a>-2. 答案:A
2𝑥-𝑦+2≥0,
3如果点P在平面区域{𝑥-2𝑦+1≤0,上,点Q在曲线x2𝑥+𝑦-2≤0+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( A.√5−1B.4√5−1 C.2√2−1D.√2−1 答案:A
)
1
2𝑥-𝑦-2≥0,
4在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组{𝑥+2𝑦-1≥0,所表示的区域内一动点,则直线OM斜
3𝑥+𝑦-8≤0率的最小值为( ) A.2 B.1 C.−3 D.− 解析:不等式组表示的区域如图阴影部分所示,结合斜率变化规律,当M位于点C时OM斜率最小,且为−,故选C.
131
12
答案:C
𝑥≥1,
2𝑦
5若x,y满足条件{𝑦≥1,则的取值范围是____________________.
𝑥
𝑥+𝑦-3≤0,
解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
2𝑦
表示原点与阴影部分中点的连线的斜率的2倍. 𝑥
又kOA=2,kOB=2,所以1≤𝑥≤4. 答案:[1,4]
𝑥-2𝑦+4≥0,
6已知实数x,y满足{2𝑥+𝑦-2≥0,则x2+y2的取值范围是 .
3𝑥-𝑦-3≤0,
12𝑦
2
解析:画出约束条件对应的可行域(如图中阴影部分所示),x2+y2表示原点到可行域中的点的距离的平方,由图知原点到直线2x+y-2=0的距离的平方为x2+y2的最小值,为()=5,原点到点(2,3)的距离
√5的平方为x2+y2的最大值,为22+32=13.因此x2+y2的取值范围是[,13]. 答案:[,13]
454522
4
7已知点P(x,4)到直线x-2y+2=0的距离为2√5,且点P在不等式3x+y-3>0所表示的平面区域内,则x= .
2√5=
√5解析:由条件知{
3𝑥+1>0,
|𝑥-2×4+2|,
𝑥=16或𝑥=-4,即{∴𝑥=16. 1
𝑥>-,
3答案:16
8某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h.又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h.请列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.
𝑥+2𝑦≤8,
3𝑥+𝑦≤9,
解设家具厂每天生产甲、乙型号的桌子的张数分别为x和y,它们满足的数学关系式为𝑥≥0,𝑥∈N,
𝑦≥0,𝑦∈N.{分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域,然后取交集,如图中的阴影部分所示,生产条件是图中阴影部分的整数点.
3
9有粮食和石油两种货物,可用轮船和飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表: 货物 粮食/t 石油/t 轮船运输量 300 250 飞机运输量 150 100 现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石油,列出表示运输工具和运输数量的数学关系式,并画
出相应的平面区域.
解设需要x艘轮船,y架飞机,代数关系式和几何描述(如图阴影部分中的整数点)分别为
300𝑥+150𝑦≥2 000, 250𝑥+100𝑦≥1 500,
𝑥≥0,𝑥∈N,
{𝑦≥0,𝑦∈N.
能力提升
𝑥≥0,
1不等式组{𝑥+3𝑦≥4,所表示的平面区域的面积等于( ).
3𝑥+𝑦≤4A.3B.22
3
C.4D.33
4
解析:画出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.
∵直线x+3y=4和3x+y=4的交点为(1,1), ∴S=1
2×(4-4
4
3)×1=3.
答案:C
4
𝑥+𝑦-2≤0,
4
2若不等式组{𝑥+2𝑦-2≥0,表示的平面区域为三角形,且其面积等于3,则𝑚的值为( ).
𝑥-𝑦+2𝑚≥0A.-3 B.1 C.3
D.3
解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形ABC.
4
𝑥+𝑦-2=0,𝑥=2,由{解得{则A(2,0).
𝑦=0,𝑥+2𝑦-2=0,
𝑥+𝑦-2=0,𝑥=1-𝑚,
由{解得{
𝑦=1+𝑚,𝑥-𝑦+2𝑚=0,
则B(1-m,1+m). 同理𝐶(
2-4𝑚3
,
2+2𝑚3
),M(-2m,0).
12+2𝑚
·(2+2m)·[(1+𝑚)-]23
因为S△ABC=S△ABM-S△ACM=解得m=1(m=-3<-1舍去). 答案:B
=
(𝑚+1)2(𝑚+1)2
,由已知得33
=3,
4
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),则满足条件0≤𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1,0≤𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1的动点P的变动范围(下3设⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀=(1,),𝑂𝑁
2
图中阴影部分,含边界)是( )
5
⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑥,𝑦). 解析:设P点坐标为(x,y),则𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0≤𝑂𝑃𝑂𝑀≤1,0≤(𝑥,𝑦)·(1,)≤1,由{可得{ 2⃗⃗⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1,0≤𝑂𝑃𝑂𝑁
0≤(𝑥,𝑦)·(0,1)≤1,
0≤𝑥+2𝑦≤1,即{其表示的区域为选项A中的阴影部分.
0≤𝑦≤1,答案:A
𝑥≥0,
4
★4若不等式组{𝑥+3𝑦≥4,所表示的平面区域被直线𝑦=𝑘𝑥+3分为相等的两部分,则𝑘的值为
3𝑥+𝑦≤4
( ). A.2B.3C.3D.7 解析:不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC,
3
2
7
31
1
𝑥+3𝑦=4,由{得A(1,1).
3𝑥+𝑦=4
又B(0,4),𝐶(0,3),则直线y=kx+3过点C.
要使直线y=kx+3平分△ABC,则直线y=kx+3过AB的中点. 又线段AB的中点为(2,2), 故2=2+3,解得k=3.
6
5
𝑘
4
7154
4
4
4
答案:C
𝑥+𝑦≤3,
𝑦
5若实数x,y满足条件{𝑦≤𝑥-1,则𝑥的最大值为___________________.
𝑦≥0,
解析:画出平面区域,如图中的阴影部分所示. 设点P(x,y)为平面区域内一点,则=𝑥+𝑦=3,由{得交点A(2,1).
𝑦=𝑥-1,由图,得0≤kOP≤kOA=2. 答案:2 𝑦≥𝑥-1,
6在平面直角坐标系中,不等式组{所表示的平面区域的面积为___________________.
𝑦≤-3|𝑥|+1
1
1
𝑦𝑥𝑦-0𝑥-0=𝑘𝑂𝑃.
𝑦≥𝑥-1,
解析:原不等式组化为{𝑦≤-3𝑥+1,
𝑥≥0
𝑦≥𝑥-1,
或{𝑦≤3𝑥+1,画出其表示的平面区域如图阴影部分所示,
𝑥<0,
由条件得A(-1,-2),𝐵(,-),𝐶(0,1),故所求平面区域的面积S=×2×1+×2×=.
222222答案:2 7当投资生产A产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米;当投资生产B产品时,每生产100米需要资金300万元,需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元,场地900平方米,列出满足题意的数学关系式,并在直角坐标系中画出相应的平面区域. 解先将已知数据列成表,如下表所示:
7
3
1
1
1
1
1
3
产 品 资金/百万元 场地/百平方米 A产品/百吨 2 2 B产品/百米 3 1 然后根据此表设未知数,列出限制条件,最后作图即可.设生产A产品x百吨,生产B产品y百米,
2𝑥+3𝑦≤14,则{2𝑥+𝑦≤9,𝑥≥0,
𝑦≥0,
用图形表示以上限制条件,得其表示的平面区域(阴影部分)如图所示.
★
8已知α,β是方程x2+ax+2b=0的两根,且α∈[0,1],β∈[1,2],a,b∈R,求
𝑏-3
𝑎-1
的最大值和最小值.解∵{𝛼+𝛽=-𝑎,
𝑎=-(𝛼+𝛽),𝛼·𝛽=2𝑏,∴{𝑏=𝛼·𝛽
2.
∵0≤α≤1,1≤β≤2,∴1≤α+β≤3,0≤αβ≤2.
∴{
-3≤𝑎≤-1,
0≤𝑏≤1.
建立平面直角坐标系aOb,
则上述不等式组表示的平面区域如图所示.
令k=
𝑏-3
𝑎-1,可以看成动点P(a,b)与定点A(1,3)的连线的斜率. ∵kAB=3
,kAC=1
1
𝑏-3
3
22,∴2≤𝑎-1≤2.
故
𝑏-3𝑎-1的最大值是32,最小值是1
2.
8
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