一、选择题（共8小题）.
1．已知复数（1+2i）i＝a+bi，a∈R，b∈R，a+b＝（ ） A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
2．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα＝，则sinβ＝（ ） A．﹣
3．cos75°＝（ ） A．
B．
C．
D．
B．
C．﹣
D．
4．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（ ）A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
D．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β
5．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的 成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）A．
B．
C．
D．
6．如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（ ）
A． B． C．20π D．28π
7．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记
下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
8．某省高考实行3+3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有（ ） A．110种
B．180种
C．360种
D．200种
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分. 9．下列命题中正确的是（ ）
A．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行
B．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
C．如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行 D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0＞，|φ|＜列说法错误的是（ ）
）部分图象如图所示，下
A．函数y＝f（x）的图象关于直线B．函数y＝f（x）的图象关于点C．函数y＝f（x）在
对称 对称
上单调递减
D．该图象对应的函数解析式为
11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝
，以下结论正确的有（ ）
A．AC⊥BE
B．点A到△BEF所在平面的距离为定值
C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D．异面直线AE，BF所成的角为定值
12．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关“作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：
P（K2≥k0）
k
附：K2＝A．25
B．35
C．45
D．60
0.050 3.841
0.010 6.635
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．计算sin15°•sin105°的结果是 ． 14．（x3+）5的展开式中x7的系数为 ． BC＝1，B＝2A，15．在锐角△ABC中，则
AC的取值范围为 ． 的值等于 ，
16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将
它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 ．
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知f（x）＝2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+1，若函数f（x）的周期为π． （1）求函数f（x）的单调增区间； （2）当x∈[0，
]时，求函数f（x）的值域．
18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1（如图所示），底面△ABC是边长为2的正三角形，侧棱CC1
⊥底面ABC，CC1＝4，E为B1C1的中点．
（1）若G为A1B1的中点，求证：C1G⊥平面A1B1BA； （2）求三棱锥A﹣EBA1的体积．
19．高二年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．其中a，b，c成等差数列，且c＝2a．
物理成绩统计如表（说明：数学满分150分，物理满分100分）
分组 频数
[50，60）
6
[60，70）
9
[70，80）
20
[80，90）
10
[90，100]
5
（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；
（2）若数学成绩不低于140分的为“优“，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的学生总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．
20．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a﹣c）（sinA+sinC）＝b（sinA﹣sinB）． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若c＝
且b≥c，求b﹣a的取值范围．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AB＝1，点E、M分别在线段AB、PC上，且
＝
＝λ，其中0＜λ＜1，连接CE，延长
CE与DA的延长线交于点F，连接PE，PF，ME． （Ⅰ）求证：ME∥平面PFD；
（Ⅱ）若λ＝时，求二面角A﹣PE﹣F的正弦值； （Ⅲ）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为
时，求λ值．
22．我国东南沿海地区发展海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模及以往的养殖经验，蓝天海鲜养殖场的一种海产品每只的质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．
（1）随机购买10只蓝天养殖场的该海产品，求至少买到一只质量小于265克的概率；
（2）2020年蓝天养殖场考虑增加先进养殖技术投入，现用以往的先进养殖技术投入xi（千元）与年收益增量yi（千元）（i＝1，2，3…8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b
，
的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，，
，
，其中ti＝，＝．根据所给的统计量，求y
关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量． 附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871； 对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归线v＝α+βu的斜率和截
距的最小二乘估计分别为，．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数（1+2i）i＝a+bi，a∈R，b∈R，a+b＝（ ） A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
【分析】根据复数相等建立方程关系进行求解即可． 解：由（1+2i）i＝a+bi得﹣2+i＝a+bi， 得a＝﹣2且b＝1，则a+b＝﹣2+1＝﹣1， 故选：B．
2．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα＝，则sinβ＝（ ） A．﹣
B．
C．﹣
D．
【分析】推导出α+β＝π+2kπ，k∈Z，从而sinβ＝sin（π+2kπ﹣α）＝sinα．
解：在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β＝π+2kπ，k∈Z， ∵sinα＝，
∴sinβ＝sin（π+2kπ﹣α）＝sinα＝．k∈Z． 故选：B． 3．cos75°＝（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】将75°看成30°与45°的和，然后利用两角和的余弦公式求解． 解：cos75°＝cos（30°+45°） ＝cos30°cos45°﹣sin30°sin45° ＝＝
．
故选：C．
4．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（ ）A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
D．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β
【分析】利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系直接判断． 解：若m∥n，n⊂α，
则m∥α，或m⊂α，或A不正确； 若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，
则n与α相交或n∥α或n⊂α，故B不正确；
若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确； 若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，
则由直线垂直于平面的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故D正确． 故选：D．
5．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的 成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）A．
B．
C．
D．
【分析】利用列举法求出由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，而加数全为质数的有1个，由此能求出拆成的和式中，加数全部为质数的概率．
解：由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，分别为：
（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）， 而加数全为质数的有（3，3），
∴拆成的和式中，加数全部为质数的概率为P＝． 故选：A．
6．如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（ ）
A． B． C．20π D．28π
【分析】由三视图知几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是 2
，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一
个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是2，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．
解：由三视图知几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2∴在轴截面中圆锥的母线长是∴圆锥的侧面积是π×2×4＝8π， 下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4， 圆柱的高是2，
∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×2＝12π ∴空间组合体的表面积是8π+12π＝20π， 故选：C．
7．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
，
，
【分析】首先做出摸一次中奖的概率，摸一次中奖是一个等可能事件的概率，做出所有的结果数和列举出符合条件的结果数，得到概率，4个人摸奖．相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 解：由题意知首先做出摸一次中奖的概率，
从6个球中摸出2个，共有C62＝15种结果，
两个球的号码之积是4的倍数，共有（1，4）（3，4），（2，4）（2，6）（4，5）（4，6）
∴摸一次中奖的概率是
，
4个人摸奖．相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是， ∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是故选：A．
8．某省高考实行3+3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有（ ） A．110种
B．180种
C．360种
D．200种 ＝
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①两人选择的科目全部相同，②两人选择的科目有且只有2科相同，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论：
①两人选择的科目全部相同，有C63＝20种选法，
②两人选择的科目有且只有2科相同，有C62C41C31＝180种选法， 则两人至少有两科相同的选法有20+180＝200种； 故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分. 9．下列命题中正确的是（ ）
A．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行
B．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
C．如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行 D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
【分析】对于立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可依据课本中有关定理结论进行判断，也可列举反例从而说明不正确即可．
解：观察正方体中的线面位置关系，结合课本中在关线面位置关系的定理知， ABD正确．
对于C，A′B′、A′D′都平行于一个平面AC，但它们不平行，故C错． 故选：ABD．
10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0＞，|φ|＜列说法错误的是（ ）
）部分图象如图所示，下
A．函数y＝f（x）的图象关于直线B．函数y＝f（x）的图象关于点C．函数y＝f（x）在
D．该图象对应的函数解析式为
对称 对称
上单调递减
【分析】方法1：将图象往左延伸一个周期，判断A、B、C都不成立；由函数的图象求出函数f（x）的解析式，判断D正确．
方法2：由函数的图象求得函数f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可． 【解答】解法1：将图象往左延伸一个周期，可知A、B、C都不成立； 由函数的图象知，A＝2，由•再由最值得2×
+φ＝2kπ+
＝，k∈Z；
﹣
，解得ω＝2；
又|φ|＜，得φ＝，
）．
所以函数f（x）＝2sin（2x+所以，选项D正确． 故选：ABC．
解法2：由函数的图象可得A＝2，由•再根据最值得2×又|φ|＜当x＝﹣当x＝﹣
，得φ＝
+φ＝2kπ+
，k∈Z；
＝﹣，解得ω＝2．
，得函数f（x）＝2sin（2x+），
时，f（x）＝0，不是最值，所以A错误； 时f（x）＝﹣2，不等于零，所以B错误；
≤
+2kπ，k∈Z；
+kπ，k∈Z，所以C错误；
+2kπ≤2x+解得
+kπ≤x≤
对比选项D可知D正确． 故选：ABC．
11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝
，以下结论正确的有（ ）
A．AC⊥BE
B．点A到△BEF所在平面的距离为定值
C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D．异面直线AE，BF所成的角为定值
【分析】由异面直线的判定判断A；由二面角的平面角的定义可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；运用三角形的面积公式可判断D．
解：对于A，根据题意，AC⊥BD，AC⊥DD1，AC⊥平面BDD1B1， 所以AC⊥BE，故A正确；
A到平面CDD1C1的距离是定值， 对于B，所以点A到△BEF的距离为定值，故B正确；对于C，三棱锥A﹣BEF的体积为 V三棱锥A﹣BEF＝
×EF×AB×BB1×sin45°＝××
×a×a×
a＝
a3，
三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的 对于D，异面直线AE，BF所成的角为定值，命题D错误； 故选：AB．
，故C错误；
12．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关“作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：
P（K2≥k0）
k
附：K2＝A．25
B．35
C．45
D．60
0.050 3.841
0.010 6.635
【分析】设男生可能有x人，依题意填写列联表，由K2＞3.841求出x的取值范围，从而得出正确的选项．
解：设男生可能有x人，依题意得女生有x人，填写列联表如下：
男生
喜欢抖音
x
不喜欢抖音
x
总计 x
女生 总计
x x
x x
x 2x
若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则K2＞3.841，
即K2＝＝x＞3.841，解得x＞40.335，
由题意知x＞0，且x是5的整数倍，所以45和60都满足题意． 故选：CD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．计算sin15°•sin105°的结果是
．
【分析】利用诱导公式，二倍角的正弦公式化简即可． 解：sin15°•sin105°＝sin15°•sin75° ＝sin15°•cos15°＝sin30° ＝
＝．
故答案为：．
14．（x3+）5的展开式中x7的系数为 40 ．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于7，求出r的值，即可求得x7的系数．
解：二项式（x3+）5的展开式中通项公式为Tr+1＝令15﹣4r＝7，求得r＝2，故x7的系数为 故答案为：40．
15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则（
） ．
的值等于 2 ，AC的取值范围为
•2r•x15﹣4r，
•22＝40，
【分析】（1）根据正弦定理和B＝2A及二倍角的正弦公式化简可得值；
（2）由（1）得到AC＝2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角△ABC和B＝2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可．
解：（1）根据正弦定理得：因为B＝2A，化简得
＝＝
， 即
＝2；
（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角， 所以于是
故答案为：2，（
，
，由B＝2A得到A+2A＞
且2A＝
，从而解得：
．
，
，由（1）的结论得2cosA＝AC，故）
16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为
．
；
【分析】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，在棱长为1的正四面体S﹣ABC中，取BC中点D，连结SD、AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，求出AD＝SD＝体积
V＝2VS﹣ABC；当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球半径，由此能求出该球体积的最大值． 解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1， 如图，在棱长为1的正四面体S﹣ABC中， 取BC中点D，连结SD、AD， 作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上， 则AD＝SD＝∴该六面体的体积：
＝
，OD＝
＝
，SO＝
＝
，
，OD＝
＝
，SO＝
＝
，该六面体的
V＝2VS﹣ABC＝2×＝．
当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切， 过球心O作OE⊥SD，则OE就是球半径，
∵SO×OD＝SD×OE，∴球半径R＝OE＝＝＝，
∴该球体积的最大值为：V球＝故答案为：
，
．
＝．
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知f（x）＝2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+1，若函数f（x）的周期为π． （1）求函数f（x）的单调增区间； （2）当x∈[0，
]时，求函数f（x）的值域．
sin（2ωx﹣
），
fx）【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为（＝
利用周期公式可求ω，根据正弦函数的单调性即可求解f（x）的单调增区间． （2）由已知可求范围2x﹣
∈[﹣
，
]，根据正弦函数的性质即可求解其值域．
sin（2ωx﹣
），…
fx）解：（1）（＝2sinωxcosωx﹣（2cos2ωx﹣1）＝sin2ωx﹣cos2ωx＝由T＝由2kπ﹣解得：kπ﹣
＝π，可得ω＝1，可得f（x）＝≤2x﹣
≤2kπ+
，k∈Z，
sin（2x﹣
），…………
≤x≤kπ+，k∈Z，…………
∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣（2）∵x∈[0，∴﹣
]时，2x﹣
，kπ+∈[﹣
，
]，k∈Z．………… ]，…………
≤sin（2x﹣）≤1，…………
]． …………
函数f（x）的值域为[﹣1，
18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1（如图所示），底面△ABC是边长为2的正三角形，侧棱CC1
⊥底面ABC，CC1＝4，E为B1C1的中点．
（1）若G为A1B1的中点，求证：C1G⊥平面A1B1BA； （2）求三棱锥A﹣EBA1的体积．
C1G⊥A1B1， 【分析】（1）连接C1G，推导出C1G⊥B1B，由此能证明C1G⊥平面A1B1BA．（2）由
，能求出三棱锥A﹣EBA1的体积．
解：（1）证明：连接C1G，CC1⊥底面ABC，BB1⊥底面A1B1C1， C1G⊂底面A1B1C1，∴C1G⊥B1B，①，
G为正△A1B1C1边A1B1的中点，∴C1G⊥A1B1，②， 由①②及A1B1∩BB1＝B1，得C1G⊥平面A1B1BA． （2）∵
，∴
＝
＝4．
取GB1的中点F，连接EF，则EF∥C1G， ∴EF⊥平面A1B1BA，即EF为高， ∴EF＝
＝
＝
．
＝
．
三棱锥A﹣EBA1的体积＝
＝
19．高二年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．其中a，b，c成等差数列，且c＝2a．
物理成绩统计如表（说明：数学满分150分，物理满分100分）
分组 频数
[50，60）
6
[60，70）
9
[70，80）
20
[80，90）
10
[90，100]
5
（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；
（2）若数学成绩不低于140分的为“优“，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的学生总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出a，b，c．由此能求出数学成绩的平均分．（2）数学成绩为“优”的学生有4人，物理成绩为“优”有5人，至少有一个“优”的学生总数为6名同学，从而两科均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望值． 解：（1）根据频率分布直方图得： （a+b+2c+0.024+0.020+0.004）×10＝1， 又∵a+c＝2b，c＝2a，
解得a＝0.008，b＝0.012，c＝0.016． 故数学成绩的平均分为：
＝85×0.04+95×0.12+105×0.16+115×0.2+125×0.24+135×0.16+145×0.08＝117.8． （2）数学成绩为“优”的学生有4人，物理成绩为“优”有5人， 因为至少有一个“优”的学生总数为6名同学，
故两科均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3． P（X＝0）＝
＝
，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列为：
X P 期望值E（X）＝
0
1
＝．
2
3
20．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a﹣c）（sinA+sinC）＝b（sinA﹣sinB）． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若c＝
且b≥c，求b﹣a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得a2﹣c2＝ab﹣b2，由余弦定理可求cosC的值，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
（Ⅱ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求b﹣a＝可求范围
sin（B﹣
），由题意
，利用正弦函数的性质可求b﹣a的取值范围．
解：（Ⅰ）由正弦定理，（a﹣c）（a+c）＝b（a﹣b），即a2﹣c2＝ab﹣b2，
由余弦定理，又∵C∈（0，π）， ∴
．
，
（Ⅱ）因为，且b≥c，由正弦定理得，
得b＝2sinB，a＝2sinA， 可
得
，
∵b≥c， ∴∴
，
，
＝
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AB＝1，点E、M分别在线段AB、PC上，且
＝
＝λ，其中0＜λ＜1，连接CE，延长
CE与DA的延长线交于点F，连接PE，PF，ME． （Ⅰ）求证：ME∥平面PFD；
（Ⅱ）若λ＝时，求二面角A﹣PE﹣F的正弦值； （Ⅲ）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为
时，求λ值．
【分析】（Ⅰ）在线段PD上取一点N，使得，∵，证明四边形为平
行四边形，得到ME∥AN，然后证明ME∥平面PFD．
（Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AF，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出
平面PEA的一个法向量，平面PEF的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角A﹣PE﹣F的正弦值．
（ III）令E（0，h，0），0≤h≤2，利用空间向量的数量积转化求解即可． 【解答】（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）在线段PD上取一点N，使得∴MN∥DC且MN＝λDC， ∵
，
，∵
，
，求出平面PEA的一个法向量
∴AE＝λAB，AB∥DC且AB＝DC， ∴且AE＝MN， ∴四边形为平行四边形， ∴ME∥AN，
又∵AN⊂平面PFD，ME⊄平面PFD， ∴ME∥平面PFD．
（Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AF，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，2，0），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0）， ∵
，∴E（0，1，0），F（1，0，0）
设平面PEA的一个法向量为＝（x，y，z），
，
，
，令x＝1，∴＝（1，0，0），
设平面PEF的一个法向量为
，
，
，
，
令z＝1，∴x＝1，y＝1，∴，
∴，
，
二面角A﹣PE﹣F的正弦值为
．
，
，
，
（III）令E（0，h，0），0≤h≤2，设平面PBC的一个法向量为
，
，令y＝1，
∴z＝2， ∴
由题意可得：，
∴∴
， ，
．
22．我国东南沿海地区发展海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模及以往的养殖经验，蓝天海鲜养殖场的一种海产品每只的质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．
（1）随机购买10只蓝天养殖场的该海产品，求至少买到一只质量小于265克的概率； （2）2020年蓝天养殖场考虑增加先进养殖技术投入，现用以往的先进养殖技术投入xi
（千元）与年收益增量yi（千元）（i＝1，2，3…8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b
，
的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，，
，
，其中ti＝，＝．根据所给的统计量，求y
关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量． 附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871； 对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归线v＝α+βu的斜率和截
距的最小二乘估计分别为，．
【分析】（1）由ξ～N（280，25），根据正态分布的对称性求出P（ξ＜265）的值， 再计算购买10只该养殖场的海产品，至少买到一只质量小于265g的概率； （2）由题意计算回归系数，求出y关于x的回归方程，计算x＝49时的值． 解：（1）由已知，单只海产品质量ξ～N（280，25），则μ＝280，σ＝5； 由正态分布的对称性可知，
P（ξ＜265）＝[1﹣P（265＜ξ＜295）]＝[1﹣P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）]＝×（1﹣0.9974）＝0.0013；
设购买10只该养殖场海产品，其中质量小于265g的为X只，故X～B（10，0.0013），故P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣（1﹣0.0013）10≈1﹣0.9871＝0.0129； 所以随机购买10只该养殖场的海产品， 至少买到一只质量小于265g的概率为0.0129； （2）由题意知，＝6.8，＝563，
（ti﹣）（yi﹣）＝108.8，
＝1.6，
有＝＝＝68，
且＝﹣＝563﹣68×6.8＝100.6，
；
＝576.6千元；
所以y关于x的回归方程为＝100.6+68
当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6+6×8
所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元．
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