姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、填空题（共22题） 1、 如图，在
中，
，
，交
，以点 A 为圆心，
长为半径画弧，交
的值为
延长线于点 D ，过点 C 作 ___________ ．
于点 ，连接 BE ，则
2、 若 3 ， 4 ， a 和 5 ， b ， 13 是两组勾股数，则 a ＋ b 的值是 ________ ． 3、 下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角
” ，于是在草坪内走出了一条不该有的 “ 路 ” ．已知 为少走 ______ 米的路．
，而走 “ 捷径 米， 米，只
4、 已知一直角三角形两直角边的长分别为 6cm 和 8cm ，则第三边上的高为 ________. 5、 一个三角形的两边的长分别是 3 和 5 ，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的
长为 _____ ． 6、 已知 _ ． 7、 在
中， AB ＝ 13 ， AC ＝ 15 ， AD⊥BC 于 D ，且 AD ＝ 12 ，则 BC ＝
ABC 中， ，且 ，则 _____.
8、 如图一个圆柱，底圆周长 10cm ，高 4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，
则最少要爬行 _______cm .
9、 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm ，正方形 A ， B ， C 的面积分别是 8 cm 2 ， 10 cm 2 ， 14 cm 2 ，则正方形 D 的面积是 __________cm 2 ．
10、 已知直角三角形的两边长分别为 3 、 4 ．则第三边长为 ________ ．
11、 如图， ∠C=∠ABD=90° ， AC=4 ， BC=3 ， BD=12 ，则 AD= ____________ .
12、 如图，有一四边形空地 ABCD ， AB⊥AD ， AB ＝ 3 ， AD ＝ 4 ， BC ＝ 12 ， CD ＝ 13 ，则四边形 ABCD 的面积为 _______ ．
13、 如图，在
________
中，
，过点 作
于点 ，
，
，则
14、 如图， 是 的直径，弦 于点 E ， ， ，则 的半径
_______ ．
15、 如图，在
，若
，
中，
， D ， E 分别是
，
的中点，连接
，
，则点 A 到 BC 的距离是 ________ ．
16、 如图，已知正方形 ABCD 边长为 1 ， E 为 AB 边上一点，以点 D 为中心，将 按逆时针方向旋转得 ，连接 EF ，分別交 BD ， CD 于点 M ， N ．若
__________ ．
，则
17、 如图，两条宽都为 4cm 的纸条交叉成 45° 角重叠在一起，则重叠四边形的面积为 _______________cm 2 ．
18、 在菱形 ABCD 中， AB ＝ 5 ， BD ＝ 8 ， P 为对角线 BD 上的一个动点，过点 P 分别作 AD 、 AB 边的垂线，垂足分别为 E 、 F 两点，连接 PE ， PF ，则 PE + PF ＝ __________________ ．
19、 如图，已知每个小方格的边长均为 1 ，则
与
的周长比为 _________ ．
20、 如图，折叠矩形纸片 ABCD ，使点 B 的对应点 E 落在 CD 边上， GH 为折痕，已知
，
．当折痕 GH 最长时，线段 BH 的长为 _________ ．
21、 如图，已知正方形 ，点 E 是
___________ ．
的边长为 6 ，点 F 是正方形内一点，连接 边上一动点，连接
，则
，且
长度的最小值为
22、 已知菱形 动点．连接
的面积为
﹐点 E 是一边 ，则线段
与
上的中点，点 P 是对角线
上的
，若 AE 平分 的和的最小值为 __________ ，最大
值为 __________ ．
============参考答案============ 一、填空题
1、 ．
【分析】
连接 AE ，过作 AF ⊥ AB ，延长 EC 交 AF 于点 F ，过 E 作 EG ⊥ BC 于点 G ，设 AC =
BC = a ，求出 AF = CF = 到结论． 【详解】
，由勾股定理求出 CE ，再由勾股定理求出 BE 的长即可得
解：连接 AE ，过作 AF ⊥ AB ，延长 EC 交 AF 于点 F ，过 E 作 EG ⊥ BC 于点 G ，如图，
设 AC = BC = a ，
∵ ∴
，
∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴
，
∴
设 CE = x ，则 FE =
在 Rt △ AFE 中，
∴
解得， ， （不符合题意，舍去）
∴
∵ ∴
∴
∴
在 Rt △ BGE 中，
∴
∴
故答案为： 【点睛】
．
此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键． 2、 17 【详解】
解： ∵3 ， 4 ， a 和 5 ， b ， 13 是两组勾股数， ∴ a =5 ， b =12 ， ∴ a + b =17 ．故答案为 17 ． 3、 20 【分析】
先用勾股定理求出 AC 的长，然后再求出少走的路即可． 【详解】
解：在 Rt△ABC 中， AB=40m ， BC=30m ，则： AC= 所以少走的路为 40+30-50=20m ．
=50m
故答案为 20 ． 【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，弄清题意灵活运用勾股定理是解答本题的关键． 4、 4.8cm 【分析】
先由勾股定理求出斜边的长，再用面积法求解 . 【详解】
解：如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB =90° ， AC =6cm ， BC =8cm ， CD ⊥ AB ， 则
（ cm ），
由 得
，
，解得 CD =4.8(cm).
故答案为 4.8cm.
【点睛】
本题考查了勾股定理和用直角三角形的面积求斜边上的高的知识，属于基础题型 . 5、 4 或 【详解】
解： ① 当第三边是斜边时，第三边的长的平方是： 3 2 +5 2 =34 ； ② 当第三边是直角边时，第三边长的平方是： 5 2 -3 2 =25-9=16=4 2 ， 故答案是： 4 或
．
6、 14 或 4 【详解】
：（ 1 ）如图，锐角 △ABC 中， AB=13 ， AC=15 ， BC 边上高 AD=12 ，
在 Rt△ABD 中 AB=13 ， AD=12 ，由勾股定理得 BD 2 =AB 2 -AD 2 =13 2 -12 2 =25 ， ∴BD=5 ，
在 Rt△ABD 中 AC=15 ， AD=12 ，由勾股定理得 CD 2 =AC 2 -AD 2 =15 2 -12 2 =81 ， ∴CD=9 ，
∴BC 的长为 BD+DC=9+5=14 ；
（ 2 ）钝角 △ABC 中， AB=13 ， AC=15 ， BC 边上高 AD=12 ， 在 Rt△ABD 中 AB=13 ， AD=12 ，由勾股定理得 BD 2
=AB 2
-AD 2
=13 2
-12 2
=25 ， ∴BD=5 ，
在 Rt△ACD 中 AC=15 ， AD=12 ，由勾股定理得 CD 2 =AC 2 -AD 2 =15 2 -12 2 =81 ， ∴CD=9 ，
∴BC 的长为 DC-BD=9-5=4 ．
故答案为 14 或 4 ． 7、 6 【详解】
因为 b 2 =c 2 -a 2 =(c+a)(c-a)=9×4=36 ，所以 b=6 ，故答案为 6. 8、
【详解】
把圆柱展开后如图所示，则 AC=5 ， BC=4 ，根据勾股定理得 AB 2 =AC 2 +BC 2 =5 2 +4 2 =25+16=41 ，所以 AB=
，故答案为
.
9、 17 【详解】
试题解析：根据勾股定理可知， ∵S 正方形 1 +S 正方形 2 =S 大正方形 =49 ， S 正方形 C +S 正方形 D =S 正方形 2 ， S 正方形 A +S 正方形 B =S 正方形 1 ，
∴S 大正方形 =S 正方形 C +S 正方形 D +S 正方形 A +S 正方形 B =49 ． ∴ 正方形 D 的面积 =49-8-10-14=17 （ cm 2 ） . 10、 5 或 【详解】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
① 长为 3 的边是直角边，长为 4 的边是斜边时：第三边的长为： ；
② 长为 3 、 4 的边都是直角边时：第三边的长为： ；
∴ 第三边的长为： 或 5 ．
考点： 1 ．勾股定理； 2 ．分类思想的应用． 11、 13 【详解】
分析：先根据勾股定理求出 AB 的长，再根据勾股定理求出 AD 的长 . 详解：在直角三角形 ABC 中 ,AC=4,BC=3, 根据勾股定理 , 得 AB= 在 Rt△ABD 中 ,BD=12, 根据勾股定理 , 得 AD=
=13. 故答案为 13. =5.
点睛：本题考查了勾股定理的应用，能运用勾股定理进行计算是解本题的关键 . 12、 36 【分析】
先根据勾股定理求出 BD ，进而判断出 △BCD 是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形 ABCD 的面积． 【详解】 如图，连接 BD ，
在 Rt△ABD 中， AB=3 ， DA=4 ， 根据勾股定理得， BD=5 ，
在 △BCD 中， BC=12 ， CD=13 ， BD=5 ，
∴BC 2 +BD 2 =12 2 +5 2 =13 2 =CD 2 ， ∴△BCD 为直角三角形， ∴S 四边形 ABCD =S △ABD +S △BCD = AB∙AD+ BC∙BD
= ×3×4+ ×12×5 =36
故答案为： 36 ． 【点睛】
此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出 △BCD 是直角三角形． 13、 15 【分析】 因为四边形 即可算出 【详解】 解： 四边形
，
过点 作 在
中，
．
，
故答案为： 15 ． 【点睛】
是平行四边形，
于点 ，
，
，
，
是平行四边形，所以
的长．
，
，在
中，求出
的长，
本题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理解三角形，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14、
【分析】 设半径为 r ，则 即可求出答案． 【详解】
解：由题意，设半径为 r ， 则 ∵ ∴ ∵
是 ， ，
的直径，弦
于点 E ，
，
，得到
，由垂径定理得到
，再根据勾股定理，
∴ 点 E 是 CD 的中点， ∵
，
∴ ，
在直角 △OCE 中，由勾股定理得
，
即 ，
解得： ．
故答案为： 【点睛】
．
本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．
15、
【分析】
根据题意可求得 AC 、 AB 、 BC 的长度，设点 A 到 BC 的距离是 h ，由 相等可列式 ，从而点 A 到 BC 的距离即可求解．
的面积
【详解】
解： ∵ 在 中， ，∴
， DE//AC ，
∴∠ BDE =∠ BAC =90° ， ∴∠ ADE =90° ，
，
∴ ，
∴
，
设点 A 到 BC 的距离是 h ，
则 ，
即 ，
解得： ，
∴ 点 A 到 BC 的距离是 ．
故答案为： ．
【点睛】
D ， E 分别是 ，的中点，，
本题考查了勾股定理的应用、三角形中位线的性质，三角形的面积公式，解题的关键是用勾股定理和中位线的性质求出各线段的长度．
16、
【分析】
过点 E 作 EP ⊥ BD 于 P ，将 ∠ EDM 构造在直角三角形 DEP 中，设法求出 EP 和 DE 的长，然后用三角函数的定义即可解决． 【详解】
解： ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB ∥ DC ， ∠ A =∠ BCD =∠ ADC =90° ，AB = BC = CD = DA =1 ， ．
∵△ DAE 绕点 D 逆时针旋转得到 △ DCF ，
∴ CF = AE ， DF = DE ， ∠ EDF =∠ ADC =90° ．设 AE = CF =2 x ， DN =5 x ，
则 BE =1-2 x ， CN =1-5x ， BF=1+2 x ． ∵ AB ∥ DC ， ∴
．
∴ ．
∴ ．
整理得，
．
解得， ， （不合题意，舍去）．
∴ ．
∴ ．
过点 E 作 EP ⊥ BD 于点 P ，如图所示，
设 DP = y ，则
．
∵ ，
∴ ．
解得， ．
∴
∴ 在 Rt △ DEP 中，
．
．即 ．
故答案为： 【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键． 17、
【分析】
过点 A 作 ， ，垂足分别为 E ， F ，证明 ，从而证明四边形 ABCD 是菱形，再利用勾股定理求出 BC 的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可． 【详解】 解：过点 A 作
，
，垂足分别为 E ， F ，如下图：
∴
由题意可得： ∴ ∴
为等腰直角三角形，
∵ 纸条的宽都为 4cm ∴
由勾股定理得： ∵ ∴ 四边形 在
和
是平行四边形 中
∴
∴
∴ 平行四边形
， 为菱形
重叠部分（图中阴影部分）的面积
故答案为 【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，巧作辅助线与证明四边形 ABCD 是菱形是解题的关键．
18、 /4.8
【分析】
连接 AC 交 BD 于点 O ，连接 PA ，由菱形的性质及勾股定理求得 OA 的长，再根据
即可求得 PE + PF 的长．
【详解】
连接 AC 交 BD 于点 O ，连接 PA ，如图
∵ 四边形 ABCD 是菱形
∴ AD = AB =5 ， OA ⊥ OB ， OB = BD =4
在 Rt △ AOB 中，由勾股定理得：
∵
∴ 即
∴
故答案为： 【点睛】
．
本题考查了菱形的性质，勾股定理及面积，关键是得到面积关系式 19、
．
【分析】
设 、 分别与 交于点 、 ，则 ，可得到 利用锐角三角函数值得到 ，继而 ，可得到
，然后分别求出 、 ，即可解答． 【详解】 如图，
，在网格图中，，证得
设 ∴
、
分别与 ,
交于点 、 ，则
，
∵ ∴ ∴ ∴
， ，
由图可知：
， ， ，
，
，
∴ 即 ∴
与 与
，
的相似比为 的周长比为
，
故答案为： 【点睛】
本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比．
20、 （或 6.8 ）
【分析】
根据题意确定点 E 与点 D 重合时，折痕 GH 最长，根据翻折变换的性质得出
，则 即可求出答案． 【详解】
当点 E 与点 D 重合时， GH 最长，如图所示， 由折叠可知：
在
中根据勾股定理列出方程，解方程即可，再用
，设
设
，则
∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴ 在 ∵
中，
∴ ，
解得：
∴
故填： （或 6.8 ）．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，解题关键是确定折痕最长时 E 点的位置，根据题意列出方程求解． 21、
-3
【分析】
根据正方形的性质得到 ∠ ADC ＝ 90° ，推出 ∠ DFC ＝ 90° ，点 F 在以 DC 为直径的半圆上移动，，如图，设 CD 的中点为 O ，作正方形 ABCD 关于直线 AD 对称的正方形 APGD ，
则点 B 的对应点是 P ，连接 PO 交 AD 于 E ，交半圆 O 于 F ，则线段 FP 的长即为 BE ＋ FE 的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】
解： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ ADC ＝ 90° ，
∴∠ ADF ＋ ∠ CDF ＝ 90° ， ∵
，
∴∠ DCF ＋ ∠ CDF ＝ 90° ， ∴∠ DFC ＝ 90° ，
∴ 点 F 在以 DC 为直径的半圆上移动，
如图，设 CD 的中点为 O ，作正方形 ABCD 关于直线 AD 对称的正方形 APGD ，则点 B 的对应点是 P ，
连接 PO 交 AD 于 E ，交半圆 O 于 F ，则线段 FP 的长即为 BE ＋ FE 的长度最小值， OF ＝ 3 ，
∵∠ G ＝ 90° ， PG ＝ DG ＝ AB ＝ 6 ， ∴ OG ＝ 9 ， ∴ OP ＝
，
∴ FP ＝ -3 ，
∴ BE ＋ FE 的长度最小值为 -3 ，
故答案为： -3 ．
【点睛】
本题考查了轴对称 − 最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 22、 【分析】
先作出图形，根据 是 的中点， 平分 求出最小值，当 P 与点 D 重合时求出最大值． 【详解】 如图，连接
是
，
可知
，根据将军饮马知识即可
的中点， AE 平分
设点 到 、
的距离为 , 点 到 的距离为
AE 平分
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
是等腰三角形 是
的中点 , AE 平分 （三线合一）
又 四边形
是等边三角形 已知菱形
的面积为
是菱形
设菱形的边长为
则
解得：
关于 +
对称
则 + 最小值为：
当点 P 与点 D 重合时 过 作 四边形
是
的中点 ,
+
最大
垂足为 是菱形
,
在
中
则
+ 最大为：
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形性质，三线合一，勾股定理，线段和最值问题，由于题目没有给图形，能够根据题中信息正确的作出图形，并判断出 是等边三角形是解题的关键．
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