高中数学任意角例题解析

一、重点、难点剖析

理解任意角的概念，任意角产生于用角表示圆周上运动的点P，学会在平面内建立适

00

当的坐标系来讨论角。理解终边相同的角的概念，能在0到360范围内，找出一个与已知角终边相同的角，会判定其为第几象限角，能写出与任一已知角终边相同的角并用集合的语言准确地表示。二、典型例题

例1、写出与下列各角终边相同的角的集合

(1)60

(2)-21

S，并把S中在

360~720间的角写出来：

00

(3)36314

|

60

k360，k

Z

解：(1) S

0

S中在-360°～720间的角是：

-1×360°+60°=-280°；0×360°+60°=60°；1×360°+60°=420°．(2) S

|

21

k360，k

Z

S中在-360°～720间的角是：

0×360°-21°=-21°；1×360°-21°=339°；2×360°-21°=699°．(3) S

|

36314

k360，k

Z

S中在-360°～720°间的角是：

-2×360°+363o14’＝-356o46’；-1×360°+363o14’=3o14’；0×360°+363o14’=363o14’．

例2、写出终边在y轴上的角的集合（用0到360的角表示）。

解：∵在0°～ 360°间，终边在y轴的正半轴上的角为90°，终边在y轴的负半轴上的角为270°，∴终边在y正半轴、负半轴上所有角分别是：

S1={|=k360+90,kZ}；S2={|=k360+270,kZ} 探究：怎么将二者写成统一表达式？

∵S1={|=k360+90,kZ}={|=2k180+90,kZ}；

S2={|=k360+270,kZ}={|=2k180+180+90,kZ}={|=(2k+1)180+90,kZ}；∴终边在y轴上的角的集合是：

1S=SS2={|=2k180+90,kZ}{|=(2k+1)180+90,kZ} ={|=180的偶数倍+90,kZ}{|=180的奇数倍+90,kZ} ={|=180的整数倍+90,kZ} ={|=n180+90,nZ}

引申：写出终边适合下述条件的角的集合。

（1）终边在x轴的正半轴、x轴的负半轴及x轴上的角的集合：

0

0

y

y

y

O x

O x

O x

{|=k360, kZ} {|=k360+180,kZ} {|=k180,kZ} （2）终边在y轴的正半轴、y轴的负半轴及y轴上的角的集合：

y

y

y

O x

O x

O x

{|=k360+90,kZ} {|=k360+270,kZ} {|=k180+90,kZ}

（3）终边在坐标轴、坐标轴的分角线及终边在坐标轴和坐标轴的分角线上的角的集合：

y

y

y

O x O x O x

{|=k90, kZ} {|=k90+45, kZ} {|=k45, kZ} 例3、用集合的形式表示象限角

解：第一象限的角表示为{|k360<第二象限的角表示为{|k360+90<解：又而

9090

0

,

0

满足

90

90

0

0

90，则

90

0

0

的范围是

0

（ A ）

0

0

0 B． C．

180180

0

D．900（1）

,90,90,

00

090

0

0

90

0

0

0

180

180

180

0

0

0

（2）

选（A）

由（1）、（2）可得：

0

例5、已知是第二象限角，问

2

是第几象限角？2是第几象限角？分别加以说明。

解：∵在第二象限，∴k360+90＜＜k360+180，kZ 于是， k180+45＜

2

＜k180+90, ∵kZ, ∴k=2n或k=2n+1 2

＜n360+90, ∴

2

在第一象限；

当k=2n时，n360+45＜

当k=2n+1时，n360+225＜∴当在第二象限时，∴

2

2

＜n360+270, ∴

2

在第三象限；

可能在第一象限，也可能在第三象限

y轴负半轴上

类似地，2可能在第三、四象限或