第37卷第10期
动与冲击
Vol.37 No. 10 2018
JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCK
双变量耦合作用对非饱和岩土波动特性的影响研究
胡亚元
(浙江大学滨海和城市岩土工程研究中心，杭州310027)
主商要！为了研究双变量耦合效应对非饱和岩土波动特性的影响，假定固、液和气材料之间以及它们与骨架之间 的力学特性均相互解耦。以Bishop平均应力和修正吸力为骨架的双应力变量，以骨架应变和饱和度为骨架的双应变变 量，从小应变变形的多孔介质工程力学出发建立了非饱和多孔岩土的波动控制方程。利用不同双变量建立的线弹性本构 方程相互一致的性质，建立了波动方程模型参数和常规室内试验土工参数之间的换算关系。新波动方程的刚度矩阵具有 对称性，因而满足弹性力学互易定律。利用新波动方程获得了非饱和岩土三个压缩波和一个剪切波的波速计算公式。数 值分析研究结果表明，双变量的耦合效应对剪切波波速无影响，对N波和P3波的影响可以忽略不计。在饱和度较小时 对P1波波速有明显影响。耦合效应越大，对P1波波速的影响越明显，但其影响程度随着饱和度的增大迅速减小。
关键词！非饱和岩土;双变量理论;耦合效应;波动方程;波速公式；中图分类号：TU47
文献标志码：A
DOI：10. 13465/j. cnki. jvs. 2018.10.030
Effect of double-variable coupling onthe fluctuating characteristics of unsaturated rockandsoil
HUYayuan
(Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310058，China)
In order to study the effect of double-variable coupling upon the fluctuating characteristics of unsaturated
rock and soil，the mechanical properties of solid，liquid and gas materials and their relationships with the skeleton wereassumed to be mutually decoupled. Based on the engineering mechanics of porous media under small strain condition，thefluctuating control equations for unsaturated porous rock and soil were established by using the Bishmodified suction as the double-stress-variable of skeleton and using the skeleton strain and saturation as the double strain-variables of skeleton. According to the consistency among various kinds of double-variable linear elastic constitutivemodels，the functional relationships between the parameters of fluctuating equations and the conventional laboratory geotechnical parameters of unsaturated soil were established. The stiffness matrix for the new fluctuating equations is symmetrical，so that they meet the reciprocity law of elasticity mechanics. The formulas for the velocity calculation of threecompressional waves and one shear wave in unsaturated media were establislied by using the new fluctuating equations.The numerical analysis results show that tlie double-variable coupling has no effect upon the shear wave velocity，and little efects upon P2 wave velocity and P3 wave velocity which can be ignored. When the saturation degree is small，P1 wave velocity is obviously influenced by the double-variable coupling，furthermore the higher the coupobvious the influence on P1 wave velocity is. However， the influence degree decreases rapidly with the increase ofsaturation.
Key words； unsaturated porous media; double variable theory； coupling effec t; fluctuating eq uation； wave velocityformula
Abstract ；
岩土介质中波的传播特性及动力响应研究一直受 到理论力学界和工程界的重视。它不仅对弹性动力学 发展具有重要理论价值，而且在地震学、地球物理学、
基金项目：国家自然科学基金（51178419)
收稿日期；2016 -12-09修改稿收到日期；2017 - 02 - 21 作
者胡亚元男，博士,副教授,1968年生
石油工程、土木工程、动力机器基础和防护工程等工程 领域具有广阔应用前景。近年来，随着非饱和岩土力 学的发展，对波在非饱和岩土的传播特性和动力响应 的研究越来越深入，但采用双变量理论（双应力或双应 变）研究非饱和岩土波动特性的文献目前还极其少见， 因此有必要开展双变量理论框架下的非饱和岩土波动 特性研究。
第10期胡亚元：双变量耦合作用对非饱和岩土波动特性的影响研究209
建立非饱和岩土波动理论控制方程的方法主要有 两种。一种是Biot创建的工程法[1_2]。Brutsaert[3]和
Sant〇S等[4]把非饱和岩土看成由固液气三相连续组成
一个横波波速的影响规律。
1
波动方程
动量和动量矩守十旦
的多孔介质，基于Lagrangian坐标系把Biot饱和岩土波 动理论扩展到非饱和岩土波动理论，理论证明在非饱 和岩土中除与饱和岩土对应的剪切波S波、快纵波P1 波和第一慢纵波P2波外，还存在与第二种流体对应的 第二慢纵波P3波。蔡袁强等[5]和徐明江[>]从单变量 理论出发，应用Skempton有效应力公式[7]，建立了非饱 和岩土波动方程并深入研究非饱和岩土四种体波（包 1. 1
在符号上下标中，S表示非饱和岩土的固相，L表 示液相，G表示气相。# - 2 S，L，GI■为组分指征变量，$ -2 L，G|■是液气两相流体的组分指征变量。设为第 组分的体积分数，P#和P)分别为第组分的密度和真实 密度，Pa
=(oPRa。混合物的密度为P=%P#。（=(L +a
括三个纵波和一个横波）的传播特性。另一种是混合 物理论法。Vardolaki等[;]采用混合物理论建立了非 饱和岩土波动方程，徐长节等[9]采用Vardolaki波动 方程深入研究了非饱和土中三种弹性纵波的波动特 性。Wei等[10-11]根据相分离原理建立了非饱和岩土波 动控制方程，黄义和张引科[12]在忽略固相和液相材料 变形的条件下根据混合物理论建立了非饱和土的波动 控制方程，系统建立了求解非饱和土动力响应的边界 元理论。Chen等[13]根据Wei等建立的非饱和岩土波 动方程，忽略流体组分体积分数对流体自由能影响，深 入分析了非饱和岩土的表面波传播特性。上述这些研 究深化了工程界对弹性波在非饱和岩土介质中传播特 性的认识，极大地推动了非饱和岩土波动理论的发展。 但由于非饱和土中固液气三相相互作用的复杂性，对 非饱和岩土波动控制方程的研究仍然存在一些不足， 主要表现在两个方面:①某些非饱和岩土波动方程中 的模型参数取值比较困难，比如徐明江指出，按照混合 物理论建立的一些非饱和岩土波动方程存在这类困 难。②Fredlund理论[14]表明，非饱和岩土的力学特性 需要采用双变量才能得到合理地反映，因此非饱和岩 土的波动方程也需要依据双变量理论来建立。然而目 前采用双变量理论来研究非饱和岩土波动特性和动力 响应的文献还很少见，亟需填补这方面的研究空缺。
本文从Houlsby等[15]，B〇rja[16]和胡亚元[17]创建的 非饱和多孔介质工程力学理论出发，根据能量平衡方 程和热力学局部平衡原理构建自由能势函数，在假定 各组分材料之间以及它们与骨架之间的力学特性均不 相互耦合的前提下建立了以双变量理论为基础的非饱 和岩土弹性本构方程。根据不同双变量建立的线弹性 本构方程相互一致的性质，推导出弹性本构方程模型 参数与非饱和岩土常规土工参数之间的换算公式。利 用非平衡态热力学熵产公式构建渗流耗散率势函数， 获得液气两相的达西渗流本构方程。把上述本构方程 与动量守恒方程相结合，获得一个以双应力变量为基 础的非饱和岩土线弹性波动控制方程。最后，通过算 例分析了双应力变量耦合效应对非饱和土三个纵波和
为孔隙率，饱和度的定义为：:=(l/((l +(G)
⑴根据各组分体积分数的定义，有：
(s +nx +71g =(s +( = 1
(2)
设第a组分时间f时的坐标为5#，,a为第a组分 的速度。把多孔固相作为参考相，则液气两相相对多 孔固相的相对速度为！
6l = 5l m 5s > 6g = 5g m 5s
(3 #
设！为第a组分的柯西应力，！为混合物总柯西 应力，根据混合物理论有！
令7a为第a组分的外体力密度，0J为流体第$组分的 动量供应量，各组分的动量守恒方程[1；]可表示为：
Ps 5S = V • !s + Ps7S -Pl -Pg
(5a)
p$5$ = ▽ •!$ +p$7$ +0，$ - 2L，G| (5V)
不考虑力偶供应量，根据各相的角动量守恒方程 可得各相的柯西应力张量是对称张量。1.2能量平衡方程
设孔隙中流体（包括液体和气体）的真实压力（即 孔压)为L=l/，$- 2L，G3。引入符号L/是为了供 下文Lagrange乘子法时使用。流体组分应力与孔压之 间的关系为
! =_($L1 =_($L/1
(6)
定义Bih〇p平均有效应力为[15-16，19-20]:
! = ! +P1
(7)
式中：L为孔隙中流体的平均压力，其定义为:
+L/(1 _:)
(;)定义吸力S和修正吸力丨为[16]:
B =Pg* _ PL ； B =(B (9)
令L=-! 1/3为多孔介质的总压力，则定义固相的
真实压力为：
PT _ ( P
(S
(10)
210振动与冲击2018年第37卷
设！分别是第#组分的内能、热流向量、外 热供应量=ln(pR#/p)#,p)#)为第#组分的初始真
+ 5
实密度为第#组分材料的对数体应变，# = S，2 =det[+5H，2RS
*- +/s ^ pRS
@ 工)，^!=
根据大应变和小应变之间物理量的关系，由式（11) ~
(13)和式（15)可得：! = ( a ■ ^H G (SLS ^RS M S ：r) G % L$
$
a
+ 0L 0L + 0G 0G G)
(16)
% (-V • qa +PJa) + % 6$ • (L$ V($
2
JR，3#，' =+(#1 • #H -I)，fH =#-$ • / • #4, 84
式（16)即是小应变条件下非饱和多孔介质混合物 = 2r_s2/3#1 .(V，s ++.1). #，本文把 8h称为固相骨架的Gre应变，其体应变反映的是固相体积分数变 化对固相应变的影响（注:本文骨架变形定义为不包括 固相材料（土力学中称为土颗粒）变形的多孔固相变形）。9h称为固相骨架的Piola-Kirchhoff有效应力，则 混合物在有限应变条件下的能量平衡方程为：%# Pa，a = (9H '，H G $
(S LS ^S -B ：r) G % ($L$. + 0L 0L G
0G0G G %# ( - . ■ $a $
+Pa3) G % &$ ■ (L$.($ --$) (11)
式中：0l 和 0g 为 Lagrange 乘子，0l 0 0 = L* @ Ll 和0g00=L/ -L.
设\"为孔隙Green应变张量84在小应变条件下 的近似值，1h.是它的体应变。由固相质量守恒定理可得：▽ • 5s =- . - ( (S/raS )，故根据8h的定义有：
1- (c — (s
h. 1 ln ^ 1 ---；(12)
.
(s (s
—
式中:（sc为固体的初始体积分数，式（12)表明1H.为固 相体积分数变化所引起的体应变。设1r#为在小应 变条件下的近似值，根据的.定义有：
Ra
Ra Ra
(13)
Pr#
11n(P
设\"为8s在小应变条件下的固相应变张量，则根据 8s和8h的关系有：
\"S ; \"H - +1RS1
(14a)
根据组分体应变与其密度之间存在的数学关 系[21]，由 Pl = :(Prl，Pg = (1 - :) (Prg并利用式（12) 可得小应变条件下液气两相的组分体应变1,和1]分 别为：
1lt = 1In P— 1 - ^(S
1
_ Pl ( ht - ^
:r^:： r
^r - 1rl (141 )
( 141) 1]T = 8P!G 1 - (( ：1hv + ：1 ^M: r
- 1rg (14i)
式中:：W为初始饱和度。由于在小应变条件下有Pa 1
P#，P„+为第#组分的初始密度，令！ = %Pa+ !，则有：
%Pa ! 1 %P# ! = % (P:，a) =，(15)
的能量平衡方程。
1. 3
线弹性方程和线性渗流方程
根据能量平衡方程，等存性公设和Lagrangian乘子
法理论，弹性条件下非饱和多孔介质的自由能可假 定为：
!(,，\"，：，1R#，0 L，0 G )
!(,，\"，：，1)#) +0l(LL -Ll) +0G(L/ -Lg) (17)对式（17)进行微分得：
---+! • +! . +\"+!
+ , ,+-+\"--h\" + ++Ra
1.H ---+! .+1 • 1 P + ---+，+0：—L 0； T +--++0：—,G
0]；
(18)
根据热力学局部平衡假定，可得：
0+!d +! ~ +! L +!+,，a =心+^ (19a)
H ，B= -。+:：r ，（，a =心+^ Ra0l =
= (L,-Ll) =0,0g = (L] -Lg) =0。即：Ll* =L
l
，Lg* =L
g
(19b)
引人Helmhotlz自由能3* (2，\"，：，iRa)，它与内能之
间的关系为：
3/(2\"，：r，lRj =!(,，\"，：r，lRa) —2(20)把式(20)两边微分再把式（19a)代人得：
V+3*
+3*+3*
+0 ^， +\"， +：r ，（
aLa
+3*
_
(21)
不失一般性，设混合物初始平衡态位置为2 2，\"，：，
ir#3 =2 0c
，0，：r，0 3。在外部一个微小扰动下，得到
一个新的平衡态位置：2〇c +〇*，iH，：r +:*，ir#3。注
意到小应变线弹性条件下Helmholz自由能是应变和 温度的二次多项式，因而有（注意0*和是0和：増量) ：3*
• FHH • \" + T % % WR〇y.Ra.N0 - TKttSA
-W001a c % .N/'rh# • \" - :*'Hr * \" - 0*'\"0 •\"
%a
W
rwA
a
ir# - % WmAiRa - W3A (22)
式中:3 HH、WRay、Wrr、Wee、'rH#、'hw、'\"0、WNa、WR1a、是
模型弹性系数，Wr#4 =WR7a，a- 2S，L，G3,4- 2S，L，
G3。把式(22)代入到式(21)得：
a
a = 3hh * \"h + % 'rh#1)# -'
h
:a -'hi0a (23a)
第10期胡亚元！双变量耦合作用对非饱和岩土波动特性的影响研究
G
211
S = 'Hr • \"4 + % 'rH/1)# G
a
(23b)
式中:9h为骨架的杨氏模量;5有骨架的泊松比;为 骨架和毛细吸附耦合作用之间的弹性模量;为饱和 度随吸力变化的弹性模量。由于式(25a) ~ (25b)和式 (26a) ~ (26b)互逆，固有：
A
naLa = 'rH# ' \"H + % [R#1)\")/ _ WR#:A _ WR6a2A (:3C)
4V = 'hi ' \"h + % WRe#1R# + Wre：a + Wm2a
(：3L)
在目前通行的饱和和非饱和岩土力学中，均假定 各组分材料的本构模型在形式上与其单相时的本构模 型相同[14,2°]，即其压力只与其本身的体积变形和温度 有关而与其它相的变形无关。在该假定下，各组分的 材料变形之间以及它们与骨架变形之间均相互解耦。 _________vE^Eh Eh
2(1+5)
E\"EHE
- __________________H _ (1 +5)[EH (1 -25) +3EhE„ ]，
G =(27a)(27b)W =
同时假定波动过程处于热力学等温过程，故取2* =0。 利用这些假定，式(23a) ~ (23d)简化为：
! = 3HH : \"H — 'h:A
(24a)S = '4 ： \"H + W Sa (24b)
n#L# =Wr##1r# a - |S，L，G3
(24c)
式(24a) ~ (24b)表明，当Bishop平均应力需要采 用双应变变量表达时，修正吸力也要采用双应变变量 来表示。如果修正吸力不相应地采用双应变变量来表 示，则由此获得的波动方程刚度矩阵就会失去对称性。 同时，由于土工试验表明岩土和混凝土等非饱和多孔 介质的基本力学性质及其本构关系需要采用双变量
(双应变或双应力）来表示，因此式（24a) ~(24c)是其 最简单形式。从式(2〇) ~ (24C的推导过程看，与文献 [12]相比，本文不但考虑了固相和液相自身的材料变 形，而且还大大减少了模型参数，简化了获得非饱和岩 土线弹性本构关系的推导过程。与蔡袁强等基于工程 法提出的非饱和岩土单变量线弹性本构模型相比，本 文式(24a) ~ (24b)考虑了骨架变形和饱和度之间的耦 合作用，它不仅与当前非饱和岩土力学的双变量理论 之间更加一致，而且因为修正吸力也采用了双应变变 量来表示，所以满足弹性功互易定理，线弹性本构方程 的刚度矩阵相应地也成为对称矩阵。
当固相骨架为各向同性材料时，式（24a) ~ (24b) 简化为：
!=[0Hl®l+2%4]:\"H-WHr:Al (25a)
S =W
h
1 : \"H + W:A (25b)
式中:Ah和％为骨架Lame常数;Wh为骨架和毛细吸 附作用之间的耦合刚度;为修正吸力关于饱和度的 刚度;1为二阶单位张量;14为四阶单位张量，（I4).X =
(%.%+%%)/2。对式（：5a) ~(25匕）以及式（241求逆得
\"h =(-f1®1-1 + 5^. ~ 丄 S+ E(26a)h 14) • \"+ EH1：A =
- 1 ' d 1 ~
-(26b)eH1 ' ! +e s
fRa =：
WL# a-丨S，L，G3(26c)
Hw ' E2h (1 -25) +3EhE„
W = 9 eH (1 -25)rr ' EH (1 -25) +3E(27c)
hE„根据式（19b)和初始条件n# + n#，n = nc，Sr = Sr+并略去高次项，式（7)、式（9) ~ (10)在小应变条件下的表达式为:
! = ! + L]1 -：W (Lg -Ll)1
(28a)S = n+ (L] -L
l)
(28b)nS+ LS =L1 -n+ L =- /m - nL LL - nG LG
(28c)
把式(28a) ~(28c)代入到式(26c)得：
n+LS! : 1n+
L LW+L](29a)
WRSS
3Wrss
WRSS
ARSS
^JR =
=$ = 2L，G(29b)
把式（26a)，式（28a) ~ (28c)和式（29a)代入式 ( 14a) 得：
^S
V
1
[-(
9WR:)1®1++N
〇■
eh
:
-：：(1 -25)
-
E
h
Hr 3WRSS
]
(1
)(1
2v) n +
nG[
E
h
+ I3 L]1 (30)
eh
WrS
在岩土力学中，工程关心的是流体流出或流入多孔固体的流量，定义渗入量6 =n$+dE(@ @@)。根据 式（14a) ~(14c)和小应变条件得：6l = (
\"h ： 1 +
n+
：A - nL 1
RS
6g = [(1 -：W )\"h ： 1 -n+ ：A -nG 1RS + nG 1RG] (31b)
把式(26a) ~ (26c)、式（28a) ~ (28c)和式（29a) ~ (29b)代入式（31a) ~ (31b)得：6 = [:W(1 -25) _丛+』^]!: 1 +
L Eh Eh 3WrssJ
[3：r+ 2 (1 - 2v) - 6nl_ - n+ n,2 ] p +
L
Eh _EW_E
+WrSS+WrLL L■3S；(1■：： )(1 -25) 3(nL -n] ) n+
Eh
+
Eh
+9( 32a)
r
+
212振动与冲击2018年第37卷
Wb
Wb
■3：W(1 -：：)(1 -25# +3((,L 94 EHi
f + (L(G
]L
W^X &eSi
(40a)
r 3(1 -：++ )2 (1 -25) 6n] (+ n+ ^^]l (32V)
[ 9h EHi Ew Wrss Wrgg] g
Xl = & -：W，；7g = 1 - & + - : ++ (40b)
式中：2为Biot系数，％为Bishop系数。把式（38a) ~ (38b)、式(39a)和式(40a)〜（40b)代人到式(30)和式 (32a)〜（32b)并利用 iSv=is: 1 和 /m = ! (1/3)得：由于在波动理论中不考虑热流量和外热供应，故 $#=〇,3=〇。把式（18)代入到式（1>)并利用式（1=a) ~ (19V)得：
= % 6$ •(L$-p
$)
(33)
根据非平衡态热力学可知，式（33)反映了流体渗 流运动产生的熵产。Biot假定存在一个反映该熵产过程的耗散率流势函数！^ (6$)，满足，
P$ V($ ~P$(34)
+6$
为了获得液气两相的线性化达西定律，把式（34) 中的耗散率势函数！表达为：! = 士nL+\\L(6L)2 +n, + 士(]2‘(6])2 (35)
根据式(34)有($-丨L，G3):P$ Vn$ -p$ = bl,6, + ($+ nG U$G6G
(36)
从上面的推导过程可以看出，由于本文基于多孔 介质工程力学来建立非饱和岩土的线弹性方程，故方 程中的各个参数均有明确的物理含义，这就为建立模 型参数和常规土工参数之间的换算公式提供了方便。
1.4模型参数与土工参数之间的关系研究
在岩土力学中，一般都假定组分材料的本构关系 与单相时的本构关系相同。令第#组分材料单相时与 压强P#对应的体积模量为W#，则有：
Wr## = n#W#
(37)
在非饱和岩土土工试验中，保持P,和Pg恒定，变 化！即完全排水和排气，此时可以测定多孔固体的体 积模量W
和剪切刚度％由式(30)和式(37)可得：
,3 -----1-25 1 =—1 — -----EhWvnsWs
(38aEh
G2( 1
5#
(38V)
同时，保持总应力！和Pg恒定，变化P,，可以测定多
孔固体体积应变随吸力变化的弹性模量Ew和土 -水 特征曲线方程：=:(B，根据式(30)和式(38a)有：
9
EH-w
;
:
+(' WV丄 -WS丄 )_ES备r
（39a)
根据总应力！和气体孔压P]恒定下的土-水特征曲
线方程：=:(B'式(26V)和式(39a)有：
也rr
n
+S ： =：+ -n 每Wb ' (:+-&EgW&H (39b)
令：
1st = IFW1 b
i /k +
PG ~X( PG - P)]
(41a)
2 | 2 2
+2
+
6l = W/
S； 2 ns ,Yl - &X
n(^；------+2 -4-. -------(lP
lWs
Wb Er
W
l
&(1W -b y) /m + [r ^:;W(1-:s;)ns^+ - ^ 驗W-&(1-)r
-：r ) 2 nS 72b^—4Ws)2(1 Wb-)2 n2 EnG -r
+ ^
]Pg
(411
令：
(1cll
-：； ) 2 n+
-Yc _-Wb
-Ws
—n E—2 r +
' W]
(42a)
c
= I\"5；1 -:;)ns+ ；TLg + n+2](42b)lg L Ws _Wv+eJ
:r 2 ns -72l n+2 2 nL
C]C ' Ws \" W^ Er Wl
(42c)Csl = &[；7CLL + (1 ~X) CLG
](42dcsg = &[；7CLG + (1 ~X) CGG]
()42e)8 =CLLCGG -CLG
(43a)J = 4ycsl + 4(1 -7
) csg =
42 Or2 cll + 2,y(1 -^)clg + (1 -r)2 cgg](43b)0b =Wb - |
g
(43c)
求解式（<1a) a (411并利用式（42a) a (42e)和式
(43a) ~ (43b)得：
/k = l(W T, b +
M\\
- I6 - cIsg 6].
(44a)P$ =C8ist+C6l+C6g，$- i
，，G丨
(44b)
根据！ = (!-/m1)和式(《a)并利用式(43c)得：! = 2G\" + (0b + M
)1 31: \"s -令，-C^l (祝）
p$ =
-C8ist + C$6l+C86g，$ - iL，G(
(45b)
2
波速公式
设固、液和气的位移分别是：、：和：，则有5# =
/# + : $同时在小应变条件下有P# ip#。 把它们代入
到式(5a) ~ (5b)得：Ps us = V • !s + Ps 7s ~ Pl
~ Pg
(46a)
P$+ : = V • ! +P$+7$ +0，$ - i
L，G3
(46b)
第10期胡亚元：双变量耦合作用对非饱和岩土波动特性的影响研究
213
pRl pRg
令= _ Ms # 和 p 7 =! 7S +! +! ,
P+ pRl
pRl
把式(46a) ~ (46b)相加并利用式(4)得：
▽ • ! + p+ 7 ; p+ ms + p)L ;L + p)G ; (47a)
由> = ($+(：$_ :)可得；=($+ 63 ,把该式代入式 (36) $同时把式（6)中！ = _ 的代入到式
(46b)%由这两者可得：
+
M + P_+7$ = P_R+US + (+ + UL'/3 ；L + U$G；G (47b)
设液气两相的渗透系数分别为X,和X]]%液气两相的耦合渗透系数为XLG 和 XGL% 则根据 bLL、bLG和bGG与
(L
CO(53b)
PR G
UGG
'-
PR G
要使式(52)有非零解，其系数行列式必须等于零， 故有：
(54)
式中:1\"为3阶单位矩阵。式(54)表明%非饱和岩土三l'29pC- -S1\"卜0
Xll 'Xlg、Xgg和之间的互逆关系可得：b XGG,Lb^LL - X ,, X GG - X ,G X G,%^GG - XLL,GX X - X X
(48a)
LL ]] L] ]Lb
- XKG,L-XGL,G
(48b)
XLLXGG - XLGXGLXLLXGG - XLGXGL
式(48a)中，和，为液气两相的黏滞系数。
令
1%把式（45a) ~ (45b)代入到式（47a)
~ ( 47 b)得：
%.2: +(Ab +G + f).'-C.6L-C
.6G+P+7 =
P :S + pRL;L + pRG;G
(4=a)
C. 1sv - C.6 - CG.6 + p+7$ =P+:S + + UL;L + U$G;G (4=b)
由于体力只与波动方程的特解有关，其本身不影 响体波波速特性,故为简便起见略去式（49a) ~ (49b)
中的体力项%对式（49a) ~ (49b)求散度并利用6$ = _ . . 得：
(Ab+ 2G +M)A
.2'
f.26,
TSG Yv \"7 2 ^G
亡!R+L 6G + !R+G 6G = 0
( ?0a)
C$.2iv -C$.26l - CO.26] ' ++p+6$ +bL.L +
b$G 6g = 0 % $ - 2 L % G 3
(50b)
显然%式(50a) ~ (50b)反映的是压缩波的传播特性，令 2's %6l%6g1 = 2 #s %#l%#g! exp[j( '-<.+]
(51)
式中:'为频率%+为位移矢%<为波矢量%S为波数（波 矢量模）％j =槡=丁。把式（51)代入到式（50a) a (50b)得：
[#2$CM$ - ’P83 ] 2 #S % - #L % - #G 3 1 = 0(52)
式中：
Ab + 2 % +
MCl
CSG
A
A~A
CM =
CSL
CLL
CLG
~A
~A
~A
( 53a)
CSG
CLG
CGG
L
~A~A
~A
个纵波波数的平方S是矩阵'9CJ1的特征根，相应 的单位特征向量是波动方程的极化矢量。设r^Cj的 特征根按实部从小到大依次为S %S:和S %则三种纵波 的相速度=和特征衰减系数;7分别为：
=.=1 _ 57.5421〇) (55)P， Re(S/')，^ Re(S/«)理论分析有时把式(54)展开较为方便，由此可得：
5 (
+ b( S)4 +c( S)2+ d=0
( ?6)
式中:
CSLCLGCSG
(A +2% + f)(
~A~A~A
CLL CSG GG CSL
(?7a)
+ 2G +
M\\CGGcs2gK
2 Prl
GT
M^
ll2sl b -
] (, Pr+
o
[(A + 2% +
\"G'
G
A 8 A A2^ (]
+
)jRlg
2[
A2
-iA(0b + 2% +
’ CGGCLL
CSL CGG
SGA2
LG
XT
)pRl +
2(管
-^)!〇
(57b)
c = (Ab+2%+M)[(p
-Rf)(/|-Rf)+f
]+
CL[!(/|-Rf)-!G]+CA[!(f-Rf)-!L]-
2制A芝
P2RG
,G
A
[ P R+G (
PRLjbLL
j b')R,
2 C〇/ + + + + J^lg2 )A\\pRL)RG +P(57c)
^GG
)+pRG(pL-
214振动与冲击2018年第37卷
2p)Lp)GR-p+%(57d)
LL GG
求解式(56)同样可获得非饱和土的三个纵波波数。
略去式(49a) ~ (49V)中的体力项，对式（49a) ~ (49V)求旋度得：
GV2(V x:s) =
pG
由此，根据式(42a) ~(42e)、式（43a) ~ (43c)、式 (47a) ~ (47b)、式（48a) ~ (48b)和式（63) ~ (67)可 知，建立各向同性非饱和岩土波动理论需要17个物理 力学参数，包括以下几类:①与初始值有关的参数共5 个，分别是固体初始真实密度pRs、液体初始真实密度
Pr+l、气体初始真实密度Pr+g、初始孔隙率\"+和初始饱和
p+ ▽ x:s +p)LV x;L +p)GV x;G (58a)
]；$ + U,. x;L + Ug. ];G ; 0(58V)
. ]:s
式(58a) ~ (58b)反映的是剪切波的传播特性，令 ▽ x 2：s，
=
度
$②与非饱和岩土材料变形特性有关的参数3个， 分别是固体材料的体积模量W、液体材料的体积模量 2l,1L，1G3eXP[j(' - < • +) ] (59)
式中:'为频率，r为位移矢，为波矢量，为波数（波 矢量模）。把式(59)代入到式(58a) ~ (58b)得：
(60)
式(60) 中：
故剪切波的相速度和特征衰减系数为：
= $ 57.542Im(Ss/«)==Re(Ss/«)，^Re(Ss/'一^
3
算例分析双应力耦合效应对波速特性的
影响
本节采用数值方法分析双应力耦合效应对非饱和 土四个体波波速的影响。模量反映了多孔固体和 毛细吸附之间的耦合效应，它与;7之间的关系见式
(40a)。为了反映非饱和土双应力变量之间的耦合效 应程度，定义双应力变量的耦合效应系数为：
本节数值分析时土-水特征曲线采用van Genu-
chten模型，其表达式为(22]:
:=(1 + (##)〜]-〜
（64)
式中：#〇*、〜和〜是van Genuchten模型的三个参数。
相应的渗透系数Xll、Xlg、Xl和X]]为：
Xll =-槡:^1 - (1 -
(:；)今十
（65a)
Xgg =-槡 1 -：；( 1 - (Sr+ )K- ]2kq (65b)
XGL = XLG = 0
(65c)
式中:-为本征渗透系数。根据式（39b)、式(40a)和式 (64)有：
丄
[(::)—
1]1 '\"Q1 (S； )1
&-
\"+x
(：r+ ~X) (66 )
根据式(48a) -(48b)和式(65a) ~(65c)有：
W
l
和气体材料的体积模量Wg $③与固体骨架变形特性
有关的参数2个，分别是骨架体积模型W
和剪切模量
%$④反映Bishop有效应力和吸力耦合作用的参数1 个，双应力变量的耦合系数;7 $⑤反映液气渗流特性的
参数3个，分别是本征渗透系数-、液体黏滞系数，和 空气的黏滞系数，。⑥反映土水特征曲线的模型参 数，若采用van Genuchten模型则有3个模型参数#Q，
K
q和
\"q，由此可确定饱和度随吸力变化的弹性模量
9。同时，它们与液气两相的渗流特性参数-、,和 ，一起，可以确定液气两相的渗流系数Ul和U
g
(由于
U
g取零，故不需要作为参数来确定）。与工程中应用
较多的徐明江非饱和岩土波动方程相比，只多了一个 反映Bishop有效应力和吸力耦合作用的参数;7。
本文选用非饱和土作为算例的研究对象，故固体 是土体。数值分析所用的固、液和气的材料弹性模量 按常规取值;固、液和气的物理参数、土体骨架的弹性
模型参数和vn Genuchten模型参数按文献[20]提供 的土工参数换算获得，如表1所示。
图1给出了频率50 Hz和;7 =0即;7 =:+时三种 压缩波和一种剪切波随饱和度（095 ~ 0.999 9)的变 化规律。P1波波速最快。当饱和度小于90O时，P1波 波速缓慢下降，当饱和度大于90O时P1波的传播特性 受液相的影响越来越大，波速迅速上升，当饱和度为 0. 999 9时P1波波速比最小值增加了 6. 5倍。P2波波 速次之，当饱和度增加时，P2波波速先缓慢增加，当饱 和度达到38O后缓慢下降，直到饱和度为92O时波速 达到最小值，后随饱和度增加显著上升，当饱和度为 0. 999 9时，P2波波速达到最小值的1.2倍。P3波波速
最慢，随着饱和度增加而增大，当饱和度> 90O后，P3 波波速逐渐减少并随着气体含量的减少降低到零。S 波（剪切波）波速的影响规律相对较为简单，它随着饱 和度的增加而减小。当;7 =
时，本文的波动方程与
徐明江非饱和岩土波动方程相同。同时，本文三个纵
波和一个横波波速随饱和度的变化规律与徐明江和蔡 袁强等的研究结论完全一致。这从一个侧面说明本文 理论和数值计算结果的正确性。
第10期
胡亚元：双变量耦合作用对非饱和岩土波动特性的影响研究
215
表1
非饱和土的物理力学参数
Tab. 1 Physical and mechanical parameters of uns^turated soil
参数
符号
数值土体材料的体积模量/GPa35土体的初始真实密度/(kg • m_3)Prs2 650土体骨架的体积模量/MPaW
14.4土体骨架的剪切模量/MPaG
5.34双应力变量的耦合系数Xr0 ~5初始孔隙率nc
0.55初始饱和度s:
0.1 ~0.9本征渗透系数/m2-
3.0 x10-11Genuchten 模型参数/Pa _10.000 1
Genuchten模型参数Kq0.5Genuchten 模型参数
(Q
2水的体积模量/GPa
W
2.0水的初始真实密度/(kg • m_3)Prl
1 000水的黏滞系数/(Pa • s),L0.001空气的体积模量/MPa
Wg0.14空气的初始真实密度/(kg • m_3)Prg1.28空气的黏滞系数/(Pa • s)
,G
1. 8 x10~5
上述规律的力学机理在于:在孔隙流体中，非饱和 土的P1和P2纵波波速在一般情况下较大地受 和这两个数值中的较小者影响。由于液体的体 积模量W,远大于气体模量W]，当饱和度小于90%时，
比小的多，P1和P2纵波波速主要受气体
力学参数控制。当饱和度大于90O时，随
着
与
数值逐渐接近，液
体
对
P1和P2纵波的影
响越来越明显，当饱和度接近100O时，
趋向于
无穷大，W/n,成为较小值，此时P1和P2纵波波速主 要受液体力学参数控制。正如学者徐明江和蔡袁强等 根据数值分析成果所指出的那样，当饱和度大于90O 时，P1和P2纵波从主要受空气体积模量控制过渡到主 要受液体体积模量控制，因此，图1中P1和P2纵波波 速在这个饱和度区间的变化幅值比较大。固流两相的 渗透黏滞效应对P2纵波具有制约作用，故P1纵波波 速的变化幅值比P2纵波更加明显。对于P3纵波，当 饱和度等于0O时，孔隙中只有气体一种流体，它属于 气体饱和土;当饱和度等于100%时，孔隙中变为只有 液体一种流体，它属于液体饱和土，由于它们都是饱和 土，这两种极端情况下的P3纵波波速均等于零。因此 当饱和度从零变化到100%时，P3纵波波速的变化规 律是从零开始随着饱和度逐渐増加，到极值后再逐渐 减小回归到零。与P1和P2纵波一样，这两个阶段的 转折点也在饱和度90%左右。P3纵波波速比较小，只 有每秒零点几米。由于基数比较小，即使増加量比较 小，相对影响值也比较大。这是当饱和度小于90%时 图1中P3波波速变化影响较为明显的原因。当饱和 度大于90%时，由于非饱和土逐渐逼近于液体饱和土， 第三纵波的波速重新回归为零，这是P3波当饱和度大
于90%时波速变化规律较为明显的原因。
Fig. 1 the velocities of four body waves vary witli the saturated
degree in unsaturated soil
图1表明当饱和度大于95%时，三种纵波的波速变 化剧烈。特别是P1波，当饱和度大于95%后，波速远大 于饱和度小于90%时的波速。本文重点是研究双应力 变量耦合效应对非饱和土四种体波波速的影响，当饱和
度大于95%后非饱和土四种体波波速的剧烈变化会干 扰双应力变量耦合效应对非饱和土四种体波波速影响的 分析，因此图2和图3中饱和度的取值范围调整为(0.05 ~0.95)。虽然没有给出饱和度大于95%后双应力变量 耦合效应影响体波波速的关系曲线，但根据图2和图3
216振动与冲击
2018年第37卷
中体波的发展趋势可以容易预测其影响规律。
图2给出了频率20 Hz时双应力变量耦合效应系数 对四种体波的影响，从图2中可以看出，双应力变量耦合 效应对剪切波波速没有影响，这也可以从公式(60) ~ (61) 中看出。双应力变量耦合效应对P波和P3波的影响很 小，可以忽略不计。当饱和度较小时，双应力变量耦合效 应对P1波波速有明显的影响，双应力变量耦合效应系数 越大，对P1波波速的影响越明显。但影响程度随着饱和 度的増大迅速减小。上述分析表明，当饱和度较小时，双 应力变量稱合效应对P1波速的影响是不可忽略的。
图3呈现了频率200 Hz时双应力变量耦合效应系 数对四种体波的影响规律，所反映的规律特征与图2 — 致。双应力变量耦合效应对剪切波波速没有影响，对P2
波和P3波的影响很小，可以忽略不计。当饱和度较小 时，双应力变量耦合效应对P1波波速有明显的影响，但 影响程度随着饱和度的増大迅速减小。通过对比图：和 图3还可以发现，在低频段，频率对P1波波速和S波波 速影响较小，但对P2波和P3波的影响较大。但频率从 20 Hz増加到200 H时，P波波速増加了约3倍，P3波 的波速増加了约3. 2倍。因此，即使在低频段，频率对
( a) P1 波
Sr
(b)P2 波
( c) P3 波
( d) S 波
图2频率20Hz时四种体波波速随系数变化图
Fig. 2 the velocities of four body waves vary witli the coefficient
at the frequency 20 Hz
P
波和P3波波速的影响也无法忽略。
18
11 6(I-s-UI11 412r1 01O81 I16
X^420
(c) P3 波
Fig. 3 the velocities of four body waves vary witli the coefficient
at the frequency 200 Hz
第10期胡亚元：双变量耦合作用对非饱和岩土波动特性的影响研究
217
4
结论
本文根据非饱和多孔介质工程力学理论，建立了
[8 ] VARDOULAKIS I，BESKOS D E. Dynamic behavior of
nearly saturated porous media [ J ]. Mechanics of Materials， 1986(5) ： 87 -108.[9]
徐长节，史焱永.非饱和土中波的传播特性[J].岩土力
基于双变量理论的非饱和岩土波动理论，获得了以下 研究成果：
(1)
本文所依据的非饱和多孔介质工程力学理论
以岩土力学中常用的应力应变物理量作为建模所用的 状态变量，由它推导出的波动方程不但满足弹性力学 的互易定理，从而使刚度矩阵具有对称性要求，弥补了 学，2004, 25(3)： 354 -358.
XU Changjie， SHI Yanyong. Characteristics of wavepropagation in unsaturated soils [ J ] . Rock and SoilMechanics，2004, 25(3)： 354 -358.
[10] WEI C F，MURALEETHARAN KK. A contiiiuum theory of
porous media saturated bG multiple immiscible fluid： I. Linear poroelasticity [ J ]. International Journal of Engineering 当前根据工程法获得的非饱和岩土波动方程刚度矩阵 不对称的缺陷；而且容易根据常规土工试验选取模型 参数，从而更有利于工程应用。
(2)
与不考虑双变量耦合效应的波速传播特性相比，双应力变量耦合效应对非饱和岩土的剪切波波速 没有影响。对P2波和P3波的影响很小，可以忽略不 计。对P1波波速的影响在饱和度较小时比较明显，耦 合效应越大，对P1波波速的影响越明显。但其影响程 度随着饱和度的增大迅速减小。
(3) 通过对比图2和图3还可以发现，在低频频率对P1波波速和S波波速影响较小，但对P2波和
P3波的影响较大。但频率从20 4增加到200 4时， P2波波速增加了约3倍，P3波的波速增加了约3. 2 倍。因此，即使在低频段，频率对P2波和P3波波速的
影响也无法忽略。
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