星火教育一对一辅导教案 学生姓名 授课教师 性别 年级 高三 学科 数学 课时:3课时 上课时间 年 月 日 第( )次课 共( )次课 教学课题 人教版A高三总复习+解三角 教学目标 通过解三角函数知识的学习,掌握三角函数正弦定理、余弦定理,利用函数的变换,解决常见的求角求边的问题,以及一些测量与几何的相关问题。 教学重点与难点 重点:三角函数正弦定理、余弦定理、面积公式的使用: 难点:结合三角形的正余弦定理求解三角形的角或边。 结合三角形的正余弦定理解决面积的求解和几何有关的问题 课后 作业 提交 时间 年 月 日 学科组长检查签名:
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教学过程
知识导入(
进入美妙的世界啦~)
(一)解三角
知识梳理 1、内角和定理:在ABC中,ABC1800。
(1)sin(AB)sinC;cos(AB)cosC。 (2)cosABCsin。 22
2、正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等。
abc(1)2R;
sinAsinBsinC
(2)边角互化:a2RsinA、b2RsinB、c2RsinC。
3、余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2c2a2(1)cosA;cosB=_______________;cosC=_______________。
2bc222abc2bccosA,b2=_________________;c2=_________________。 (2)
1absinC=___________=____________。 25、余弦定理与三角形面积公式的应用:
3、三角形的面积公式:SABC
SABC1absinC 2a2b2c2a2b22abc2m2ab(ab)2c2m2abcosC
2ab2ab2ab即SABCababcosC
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6、恒等变换在三角形中的应用:
注意:在解决三角形的综合题目中,我们重点关注的是边与角之间的关系,至于题目中出现的是哪
1个三角函数名并不重要(例如:B与sinB其实效果是一样的),因此,找准边角关系是关
43键。
例题精讲
【题型一、正弦定理】
【例1】 在ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,已知sinA = 2sinBcosC,证明ABC是等腰直角三角形。
【变式1】 在ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,已知bcosCccosB2b,则
a . b
【方法技巧】在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解,所以要进行分类讨论(此类类型也可利用余弦定理求解).
【题型二、余弦定理】
o【例2】 在ABC中,若 a13,c4,A60,则b______。
【变式2】在ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,bc3bca,则A=_____。
222【题型三、正弦定理与余弦定理综合使用】
【例3】在ABC中, ABC4,AB2,BC3,则sinBAC = ( )
(A)
10103105 (B) (C) (D)
510510【变式3】在ABC中,如果sinA:sinB:sinC5:6:8,那么此三角形最大角的余弦值是_______。 【方法技巧】(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓
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住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.
【题型四、边角互化模型】
c分别是A,a,【例4】在ABC中,若sinCsinAsinB3sinAsinB,b,C的对边,B,
222则C=_______。
C的对边分别是a、b、A、B、【变式4】在ABC中,已知c,
cosA3cosC3cac。则=_____。
cosBba【题型五、判断三角形形状】
【例5】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果(a2 + b2)sin(A-B) = (a2 - b2)sin(A+B),
求该三角形的形状
【变式5】:在ABC中,B=60,bac,则ABC一定是( )三角形
2A、锐角 B、钝角 C、等腰 D、等边
【题型六、角度拼凑在三角形中的应用】
4o【例6】已知A45,cosB.则sinC=______。
5
【变式6】例9:ABC中,C900,M是BC的中点,若sinBAM1,则sinBAC________. 3【题型七、面积与边角的转化】
【例7】在ABC中,a,b,c是角A,B,C所对的边,且1tanA2c tanBb一、求角A;
337二、已知a,ABC的面积S,求bc的值
22
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【变式7】在ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,,若c(ab)6,C( ) A.3 B.
223,则ABC的面积
9333 C. D.33 22
【题型八、角度的互换】
【例8】设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(abc)(abc)ac.
(1)求B; (2)若sinAsinC
【变式8】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=3acosB。
31,求C. 4(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.
【题型九、求边(角)的取值范围】
【例9】2.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a2,且2b(sinAsinB)(cb)sinC,
则ABC面积的最大值为
【变式9】△ABC在内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知abcosCcsinB.
(1)求B;
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(2)若b2,求△ABC面积的最大值.
【题型十、三角形与三角函数结合】
【例10】已知函数f(x)=sin(2x+Φ),(0<Φ<π)的图像经过点(
π,1)。 12 (1)求Φ的值。
(2)在ABC中,角A、B、C所对应的边为a、b、c,若a2b2c2ab, 且f(求sinB.
【变式10】设函数fxcosxAπ√2), 21222x2cos2,xR。 32(1)求fx的值域;
(2)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若fB=1,b=1,c=3,求a的值。
巩固训练
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1 在△ABC中,若C900,a6,B300,则cb等于( )
A 1 B 1 C 23 D 23
2 若A为△ABC的内角,则下列函数中一定取正值的是( ) A sinA B cosA
1
C tanA D
tanA
3 在△ABC中,角A,B均为锐角,且cosAsinB,
则△ABC的形状是( )
A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形
4 等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为600,
则底边长为( ) A 2 B 3 C 3 D 23 25 在△ABC中,若b2asinB,则A等于( )
A 300或600 B 450或600
C 1200或600 D 300或1500
6 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A 900 B 1200
C 1350 D 1500
7、在ABC中,若a2b2bcc2,则A_________。
8、在ABC中,若b2,B300,C1350,则a_________。
9、在ABC中,A:B:C1:2:3,则a:b:c等于_________。
10、在ABC中,若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13,则C_____________。
1311、在ABC中,若a7,b8,cosC,则最大角的余弦是_________。
14
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12、在ABC中,若(ac)(ac)b(bc),则A_________。
13、在ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,若a2csinA,则C=_______。
14、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(AC)cosB1,a2c,则C=___。
C的对边分别为a、b、15、已知ABC的内角A、B、c,
cosA2cosC2casinC,则=_______。 cosBbsinA
16、设锐角ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,
(Ⅰ)求B的大小;
(Ⅱ)若a33,c5,求b。
回顾小结
(一日悟一理,日久而成学)
一、方法小结:
二、本节课我做的比较好的地方是:
三、我需要努力的地方是:
课后作业
a2bsinA。 精品
【基础巩固】
一、选择题
1 A为△ABC的内角,则sinAcosA的取值范围是( )
A (2,2) B (2,2) C (1,2] D [2,2]
2 在△ABC中,若a7,b3,c8,则其面积等于( )
A 12 B 21 C 28 D 63 23 在△ABC中,C900,00A450,则下列各式中正确的是( )
A sinAcosA B sinBcosA C sinAcosB D sinBcosB
4. 在△ABC中,若(ac)(ac)b(bc),则A( )
A 900 B 600 C 1200 D 1500
tanAa25. 在△ABC中,若,则△ABC的形状是( ) tanBb2A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形
二、填空题
1 在△ABC中,若sinAsinB,则A一定大于B,对吗?填_________(对或错)
2 在△ABC中,∠C是钝角,设xsinC,ysinAsinB,zcosAcosB,
则x,y,z的大小关系是___________________________ 3 在△ABC中,若2lgtanBlgtanAlgtanC,则B的取值范围是_______________ 4 在△ABC中,若b2ac,则cos(AC)cosBcos2B的值是_________
三、解答题
1 在△ABC中,若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB),请判断三角形的形状
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2. 在△ABC中,若(abc)(abc)3ac,且tanAtanC33,AB边上的高为43,求角A,B,C的大小与边a,b,c的长
【能力提升】
1.(2014·北京卷)如图,在△ABC中,∠B=
π
3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC
1=7.
(1)求sin ∠BAD; (2)求BD,AC的长.
2.(2014·浙江卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=3,cos2A-cos2B=3sin Acos A-3sin Bcos B.
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4
(1)求角C的大小; (2)若sin A=5,求△ABC的面积.
π153.已知函数f(x)=3sin 2ωx-cos 2ωx的图象关于直线x=3对称,其中ω∈-2,2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,锐角B满足 Bπ25
f +=3,b=2,求△ABC面积的最大值. 212
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