高等数学习题与部分参考答案

第1章 函数、极限与连续

1.1 函数

一、是非题

1．y （ ） x2与yx相同；

﹡2.y(2x2x)ln(x1x2)是奇函数； （ 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ 4. yx2(x0)是偶函数； （ 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域； （ ）

8.yf(x)在(a,b)内处处有定义，则f(x)在(a,b)内一定有界。 （ 二、填空题

yf(x)与其反函数y(x)的图形关于 对称； f(x)的定义域是[0,1]，则f(x21)的定义域是 ； 2x﹡3.y2x1的反函数是 ；

﹡4.f(x)x1，(x)11x2，则f[(x)1]＝ ，[f(x)1]＝ ；

5.ylog2(sinx2)是由简单函数 和 复合而成；

6.f(x)x21，(x)sin2x，则f(0)＝ ，f(1a)___________， f[(x)]___________。

三、选择题

1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）

1

） ） ） ）

）

）

33332

A、sinx B、x1 C、xx D、xx ﹡f(x)4xbx5，若f(x1)f(x)8x3，则b应为（ ）

A、1 B、－1 C、2 D、－2 3.f(x)sin(xx)是（ ）

A、有界函数 B、周期函数 C、奇函数 D、偶函数 四、计算下列各题

22y3xarcsin (1)y32x 51x1x24x3 (2)y4x2

(3)ylg(x2)1 (4)ylgsinx

﹡f(x)x，g(x)e，求f[g(x)],g[f(x)],f[f(x)],g[g(x)]；

x(1)f(x)x (2)f(x)()

32x45﹡(3) f(x)lg

1x (4)f(x)xsinx 1x (1)ysin(8x5) (2)ytan(3x25) (3)y21x23 (4)ylg(3x)

x,x1,11(x)求()，()，(2)，并作出函数y(x)的图形。

520,x1.1.2 极限

一、是非题

an中任意去掉或增加有限项，不影响an的极限； （ ）

2

3

anbn的极限存在，则an的极限必存在； （ ）

﹡xn和yn都发散，则数列xnyn也发散； （ ） ﹡lim(unvn)0，则必有limun0或limvn0。 （ ）

nnnlimf(x)A，则f(x0)A； （ ）

xx0f(x0)不存在，但limf(x)有可能存在； xx07.若f(x00)与f(x00)都存在，则limf(x)必存在； xx08.lim xarctanx2； 9. limexx0； 10.非常小的数是无穷小； 11.零是无穷小； 12.无限变小的变量称为无穷小； 13.无限个无穷小的和还是无穷小。 二、填空题

1. limn(n1n)______________；

sinn2. lim2nn______________； ﹡3. lim(1n[4)nn2]______________； 4. lim13n______________；

n5.lim(2x1)______________；

x16. lim11x2______________；

x7. limx0cosx___________，xlimcosx___________；

3

（ ）

（ ）

（ ）

（ ）

（ ） （ ） （ ） （ ） 4

ex,x0﹡8.设f(x)，则f(00)_________,f(00)_________，当

x0axb,b_____时，limf(x)1。

x09.设y1，当x____时，y是无穷小量，当x____时，y是无穷大量； x110.设(x)是无穷小量，E(x)是有界变量，则(x)E(x)为 ； 11. limf(x)A的充分必要条件是当xx0时，f(x)A为 ；

xx0﹡12.limxsinx01_____________。 x三、选择题

1.已知下列四数列：

①、xn2；②、xn22n1n13n1；③、xn(1)；④、xn(1) 3n13n13n1 则其中收敛的数列为（ ）

A、① B、①② C、①④ D、①②③ 2.已知下列四数列： ①、1,1,1,1,,(1)1111, ②、0,,0,2,0,3,,0,n,

222213141n2③、,,,,,,, ④、1,2,,n,

2233n1n1n1则其中发散的数列为（ ）

A、① B、①④ C、①③④ D、②④

1n为奇数,﹡3.xnn，则必有（ ）

7n为偶数10, A、limxn0 B、limxn10

nn7 C、limxnn0,n为奇数 D、limxn不存在 －7n10，n为偶数4.从limf(x)1不能推出（ ）

xx01 A、lim－f(x)1 B、f(x00)＝xx0 4

5

1 D、lim【f(x)－C、f(x0)＝1】0

xx0x1,x0 f(x)，则limf(x)的值为（ ）

x0x02, A、0 B、1 C、2 D、不存在

6. 当x1时，下列变量中是无穷小的是（ ） A、x1 B、sinx C、e D、ln(x1) ﹡7.下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是（ ） A、

3xx2x13(x) B、lnx(x)

1nxcos(x) x2 C、lnx(x00) D、

xx0limf(x)，limg(x)，则下列极限成立的是（ ）

xx0xx0xx0 A、lim[f(x)g(x)] B、lim[f(x)g(x)]0

C、limxx01 D、limf(x)g(x)

xx0f(x)g(x)9.以下命题正确的是（ ）

A、无界变量一定是无穷大 B、无穷大一定是无界变量

C、趋于正无穷大的变量一定在充分大时单调增 D、不趋于无穷大的变量必有界 ﹡10. lime（ ）

x0

1x

A、等于0 B、等于 C、等于1 D、不存在 四、设f(x)x2，回答下列问题： xf(x)在x0处的左、右极限是否存在？ f(x)在x0处是否有极限？为什么？

5

6

f(x)在x1处是否有极限？为什么？

五、下列各题中，指出哪些是无穷小？哪些是无穷大？

1.

1x3x1； 2. (x)(x0)；

xx21x3.lnx(x0)； 4.e(x0) 六、当x时，下列哪个无穷小与无穷小

价无穷小？哪个无穷小是比无穷小

11是同阶无穷小？哪个无穷小与无穷小是等xx1高阶的无穷小？ x 1.

111， 2. 2， 3.

x2xx1.3 极限的运算

一、是非题

1.在某过程中，若f(x)有极限，g(x)无极限，则f(x)g(x)无极限； （ ） 2.在某过程中，若f(x)，g(x)均无极限，则f(x)g(x)无极限； （ ） 3.在某过程中，若f(x)有极限，g(x)无极限，则f(x)g(x)无极限； （ ） 4.在某过程中，若f(x)，g(x)均无极限，则f(x)g(x)无极限； （ ） 5.若limf(x)A，limg(x)0，则limxx0xx0xx0f(x)必不存在； （ ） g(x)123n12n limlimlim0； （ ）2222nnnnnnnn11﹡7. limxsinlimxlimsin0； （ ）

x0xx0x0x6. lim﹡8.lim(x3x)limx3limx0； （ ）

xxx22sinx （ ） 1；

xx1x10.lim(1)e。 （ ） xx9.lim

6

二、计算下列极限

1.lim3x1x1x1 2. limx212 ； x12x2x1 ；

3.lim2x2x1x3x21 ； 4. lim2xx1x2 ； x32x25.limx2(x2)2 ； 6.lim13x1(1x1x3) ；

7.lim2x(xx1x2x1) ； 8.lim123(n1)nn2 ；

﹡9. lim(2x1)300(3x2)200x(2x1)500 ； ﹡10. xlim2xsinx1x2arctan1x ； 211. limsinx3xx0tanx2x ； 12. limx0(13x)x ；

13.lim2nsinxn2n(x0) ； 14.lim11x0(xsinxxsinx) ； ﹡15.limtanxsinxx0x3 ； ﹡16.limx(x1x2)x ； ﹡三、已知limx2axbx11x1，求常数a与b的值。 ﹡四、已知limxx(xc)x2，求c。 ﹡五、证明：当x0时，tan2x～2x，1cosx～

12x2。 1.4 函数的连续性

一、是非题

﹡1.若f(x)，g(x)在点x0处均不连续，则f(x)g(x)在点x0处亦不连续； （﹡f(x)在点x0处连续，g(x)在点x0处不连续，则f(x)g(x)在点x0处必不连续；（*3. 若f(x)与g(x)在点x0处均不连续，则f(x)g(x)在点x0处亦不连续； （ 7

7

） ）

） 8

4.yx在x0处不连续； （ ） 5.f(x)在x0处连续当且仅当f(x)在x0处既左连续又右连续； （ ） 6.设yf(x)在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内必有界； （ ）

yf(x)在[a,b]上连续，且无零点，则f(x)在[a,b]上恒为正或恒为负； （ ）

﹡8.tan4tan33 （ ） 10，所以tanx0在(,)内有限。

444sinx的 类 型间断点； xx1x二、填空题 ﹡1.x0是函数

﹡2.x0是函数e﹡3.设f(x)的 类 型间断点；

1ln(1x)，若定义f(0)_________，则f(x)在x0处连续； xtanaxx0,﹡f(x)x在x0处连续，则a等于 ；

x02,5.f(x)1的连续区间是 ；

ln(x1)6.arctanx在[0,)上的最大值为 ，最小值为 ；

7.函数yxx2，当x1,x0.5时，y________；当x1,x0.5时，

2y________。

三、选择题 ﹡1.函数f(x)sinxe在(,)内间断点的个数为（ ）； x1x1x A、0 B、1 C、2 D、3

2.f(a0)f(a0)是函数f(x)在xa处连续的（ ）；

8

9

A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件

x33x10在区间(0,1)内（ ）

A、无实根 B、有唯一实根 C、有两个实根 D、有三个实根 ﹡四、要使f(x)连续，常数a,b各应取何值？

1x0,xsinx, x0, f(x)a,1xsinb,x0.x﹡五、指出下列函数的间断点，并指明是哪一类型间断点。

11.f(x)2 ； 2.f(x)ex

x11x,3.f(x)1,2六、求下列极限

1,x1,x1x1 ； 4.f(x) 1x1, x,x11x1.(x1)sin,x11.limln(ex) ； 2.limx1x2x13x221xx4 ；

﹡3.limloga(13x)21 ； 4. lim1 。

x0x0x2x1x七、证明方程4x20在(0,)内至少有一个实根。

12x21,0x11八、设f(x)，试判定f(x)在x,x1,x2处的连续性，并求出

2x1,x1连续区间。

第1章 复习题

一、填空题

9

10

1.设f(x)x1,x2，则f(x1)的定义域为 ；

1,2x3f(x)x0xln(3x)在 连续；

2 *3.lim(xsin 4.lim(1x1sin3x)________________； 2xxkx)______________； xx1f(x)在x1处连续，且f(1)3，则limf(x)( *6. x0是函数f(x)xsin122)__________； x1x11的 间断点； xx2x 7.f(x)的间断点是 ，其中可去间断点是 x(x21) ，跳跃间断点是 。

二、选择题

1.yx1,x(,0]的反函数是（ ）； A、y2x1,x[1,) B、yx1,x[0,)

x1,x[1,)

C、yx1,x[1,) D、y2.当x时，下列函数中有极限的是（ ）； A、sinx B、

x11 C、 D、arctanx 2xx1e0,x0*3. f(x)1在点x0不连续是因为（ ）；

,x0x A、f(00)不存在 B、f(00)不存在 C、f(00)f(0) D、f(00)f(0) *f(x)xarccot21，则x1是f(x)的（ ）； x1 A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、无穷间断点 D、连续点

10

11

*f(x)cosx1,x0，则k0是limf(x)存在的（ ）；

x0x0k, A、充分但非必要条件 B、必要但非充分条件

C、充分必要条件 D、无关条件

xx0时，和(0)都是无穷小。当xx0时，下列变量中可能不是无穷小的是

A、 B、 C、 D、

 n时，若sin21n与1nk是等价无穷小，则k（ ）； A、2 B、12 C、1 D、3

x0时，下列函数中为x的高阶无穷小的是（ ）

； A、1cosx B、xx2 C、sinx D、x

n时，nsin1n是（ ）； A、无穷大量 B、无穷小量 C、无界变量 D、有界变量10.方程x3px10(p0)的实根个数是（ ）； A、一个 B、二个 C、三个 D、零个 *11.当x0时，(1cosx)2是sin2x的（ ）； A、高阶无穷小 B、同阶无穷小，但不等价 C、低阶无穷小 D、等价无穷小

lim(x1)95(ax1)5(x21)508，则a的值为（ ）

； x A、1 B、2 C、58 D、A、B、C均不对 三、求下列函数的极限

1.lim2x13x4x2 ； 2.limsin(x1)x1x2x2 ； 11

（ ）；

12

x21x2sinx3) ； *4.lim*3.lim(2 ；

xx1x0(sinx)3*5.limx01x1xx3 ； *6.lim2(sinx2) ；

xsin3xxx*7.limsinxsinxsina ； 8. lim ；

x14(x1)xaxax3x25n(2)n) ; 10.limn19.lim(2 n1x2x1n2x15(2)x3ax2x4b（常数）*四、设lim，求a,b。

x1x1五、证明下列方程在(0,1)之间均有一实根。

1.xx1； 2.e53xx； 3.arctanx1x；

*六、设f(x)在[a,b]上连续，且af(x)b，证明在(a,b)内至少有一点使f()。

3x,1x1,七、设f(x)2, x1,求limf(x),limf(x),limf(x)。

x0x1x23x2,1x2.ln(1x),x0,x*八、设f(x)1, x0,讨论f(x)在x0处的连续性。

sinx,x0.x九、证明方程x2sinx1至少有一个小于3的正根。

12

13

参考答案或提示 第1章

一、1.非；2.是；3.非；4.非；5.是；6.是；7.非；8.非。 二、1. 轴；2. ；3. ；4. 与 ；5. 、 ；6.1， 。 三、1.C；2.B；3.A。

四、1. ；2.(1) (2) (3) (4) ；

3. ；4.(1)奇 (2)非奇非偶 (3)奇 (4)偶；5.(1) (2) (3) (4) ；6. 。

一、1.；是2.非；3.非；4.非；5.非；6.是；7.非；8.非；9.是；10.非；11.是；12.非；13.非。 二、1.0；2.0；3.4；4.0；5.1；6.0；7.1，不存在；8. ，1，1；9. ；10.无穷小；11.无穷小；12.0。

三、1.D；2.C；3.D；4.C；5.B；6.A；7.D；8.D；9.B；10.D。 四、1. ；2.无极限，因 ；3. 。

五、1.无穷小；2.无穷大；3.无穷大（ ）；4.既不是无穷小也不是无穷大。 六、1.同阶无穷小；2.高阶无穷小；3.等价无穷小。

一、1.是；2.非；3.非；4.非；5.非；6.非；7.非；8.非；9.非；10.非。

二、1.－1；2. ；3. ；4.0；5. ；6.－1；7.1；8. ；9. ；10.0；11. ；12. ；13. ；14.1；15. ；16. 。

三、提示：由极限乘法运算法则及由分母极限为0，可得分子极限必为0，且分子、分母同时有 的公因式， 。 四、 。 五、（略）

一、1.；非2.非；3.非；4.非；5.是；6.非；7.是；8.非。

二、1.第一类，跳跃型；2.第二类，无穷型；3.－1；4.2；5. ；6.无，0；7. 。 三、1.C；2.A；3.B。 四、 。

五、1. 是第二类间断点中的无穷间断点；2. 是第二类间断点中的无穷间断点；3. 为第一类间断点中的可去间断点；4. 为第二类间断点中的无穷间断点， 为第一类间断点中的跳跃间断点。

六、1. ；2. ；3. ；4.－1。 七、（略）

八、在 处连续，在 处间断，连续区间为 。 复习题

一、1. ；2. ；3.3；4. ；5. ；6.第一类间断点且是可去间断点；7. ，0， ， 。 二、1.C；2.C；3.B；4.B；5.C；6.D；7.A；8.A；9.D；10.A；11.A；12.C。

13

14

三、1. ；2. ；3. ；4.1；5. ；6.0；7. ；8. ；9. ；10. 。 四、 。 五、（略） 六、（略） 七、 。

八、 ，故 在 处连续。 九、（略）

第2章 导数与微分

2.1 导数的概念

一、是非题

1.f(x0)[f(x0)]； （ ）

yf(x)在点(x0,f(x0))处有切线，则f(x0)一定存在； （ ） f(x)g(x)，则f(x)g(x)； （ ）

4.周期函数的导函数仍为周期函数； （ ） 5.偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数； （ ） 6.yf(x)在xx0处连续，则f(x0)一定存在。 （ ） 二、填空题

f(x)在x0处可导，则limx0f(x0x)f(x0)______________，

xlimh0f(x0h)f(x0h)___________；

hx0f(0)存在且f(0)0，则limf(x)_______________； xx2,x0,f(x)2则f(0)＝ ；

x,x0,

14

15

4.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度T与时间t的函数关系为TT(t)，则该物体在时刻t的冷却速度为 ；

x单位产品所花费的成本是f(x)元，则其边际成本为 ；

6.物体作直线运动，运动方程为s3t5t，则物体在2s到(2t)s的平均速度为 ，物体在2s时的速度为 。

三、选择题

； f(x)的f(x0)存在等价于（ ） A、limn[f(x0n2f(x0h)f(x0)1存在 )f(x0)]存在 B、limh0hnC、limx0f(x0x)f(x0x)f(x03x)f(x0x)存在 D、lim存在

x0xx； f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处（ ）

A、可导 B、不可导 C、连续但未必可导 D、不连续

四、利用定义求下列函数的导数

1.y1 *2.ycosx 3.yaxb(a,b为常数) 2x*五、设(x)在xa处连续，f(x)(xa)(x)，求f(a)。

x2,x1,*六、已知f(x)

x1.axb,a,b，使f(x)在实数域内处处可导； a,b的值代入f(x)，求f(x)的导数。

七、求曲线yx3在点(1,2)处的切线方程和法线方程。

42.2 导数的运算

一、填空题

1.(2)__________； 2.(x)__________,其中为实常数；

15

16

x3.(e)__________； 4.(2)__________；

5.(lnx)__________； 6.(logax)__________,a0且a1； 7.(sinx)__________； 8.(cosx)__________； 9.(tanx)__________； 10.(cotx)__________； 11.(arcsinx)__________； 12.(arccosx)__________； 13.(arctanx)__________； 14.(arccotx)__________； 15. (cos2x)__________； 16. (cos2x2)__________； (2x2)17. (cos2x2)__________；(其中圆括号中的下标表示相对求导变量) (x2)18.y2x2lnx,则yx1__________； *19.y2x1,y(6)__________； *20.y10x,则y(n)(0)__________。 12x二、求下列函数的导数

21.yx(cosxx)； 2.y1x1x；

xx3.y(x1)(x2)(x3)； *4.y3xsinxae；

5.yxlog2xln2； 6.ycotxarctanx； 7.ycos111； 8.yln(ln)； xxx9.yln(1x)； 10.yln(x1x2)； 11.yxxx； 12.ysin2x。 2x三、设yxlnx1x，求

dydy及dxdx。

x15四、以f(u)为可导函数，且f(x3)x，求f(x3)和f(x)。

16

17

五、设yf(x)由方程exyy35x0所确定，试求

dydx。

x0六、设隐函数yf(x)由方程xln(xy)确定，求*七、利用对数求导法求导数

1.ydy。 dxxsinx1ex； 2.yxlnx。

*八、求由参数方程所确定的函数的导数

x1t2,dyxlnt,dy1.求； 2.求。 2ysint,dxytt,dx九、计算下列各题

1.y3xcosx,求y； 2.y*3.yxe，求y5.ye2tx(n)2lnx,求y(1) 。 x,y(n)(0)； 4.yln(1x2)，求y；

sint，求y。

2.3 微分的概念

一、填空题

yx3x在x02处x0.01，则y__________,dy_________；

2.2xdxd__________；

2yaxarccotx，则dy________dx；

4.d_________1xdx；

*5.设yexsin2x，则dy_____________d(sin2x)；

x6.设yesinx，则dy________d(e)________d(sinx)； 二、选择题

ycosx2，则dy（ ）

17

222218

A、2xcosxdx B、2xcosxdx C、2xsinxdx D、2xsinxdx

yf(u)是可微函数，u是x的可微函数则dy（ ）

A、f(u)udx B、f(u)du C、f(u)dx D、f(u)udu

e0.05的近似值为（ ）

A、0.05 B、1.05 C、0.95 D、1

充分小时，f(x)0时，函数yf(x)的改变量y与微分dy的关系是（A、ydy B、ydy C、ydy D、ydy

三、求下列函数的微分

1.yxex； 2.yx2x；

3.yx45x6； 4.y1x2x； *5.yesin3x； 6.ylnxxn；

2*7.y3x2； 8.yln1x2。

四、计算31.02的近似值。

五、一个外直径为10cm的球，球壳厚度为18cm，试求球壳体积的近似值。

第2章 复习题

一、填空题

1f(x)ln2x2e2x，则f(2)__________；

yexlnx，则dy＝ ；

f(x)lncotx，则f(4)__________；

ylnxex在x1处的切线方程是 ；

18

）

19

x,x0，则f(x)在x0处的导数为 ； f(x)tanx,x0yecosx，则y__________；

d2y1yf()，其中f(u)为二阶可导函数，则2__________；

dxxyx3ln(1x)，则dy＝ ；

x2y2xy1确定隐函数yy(x)，则y__________； y(13x)1003log2xsin2x，则y__________；

sinx2f(x)2x,x0，则f(0)__________。

0,x0二、选择题

yxsinx，则f()（ ）

2 A、－1 B、1 C、 D、

22f(3h)f(3)f(3)2，lim（ ）

h02h33 A、 B、 C、1 D、－1

22f(x)ln(x2x)，则f(x)（ ）

A、

222x12x B、 2 C、2 D、2 x1xxxxxxf(x)为偶函数且在x0处可导，则f(0)（ ）

A、1 B、－1 C、0 D、A、B、C三选项均不对

yxlnx，则y(3)（ ）

A、lnx B、x C、

11 D、 x2x2 19

20

yf(x)，则y（ ）

A、f(x) B、f(x) C、f(x) D、f(x)

f(x),g(x)在区间(a,b)内各点的导数相等，则该二函数在区间(a,b)内（ ）

A、f(x)g(x)x B、相等 C、仅相差一个常数 D、均为常数

S3t2e2t,t为时间，则在时刻t2处的速度和加速度分别为（ ）

A、122e,64e B、122e,122e C、64e,64e D、12e,6e 三、求下列函数的导数

1.y(2x3) ； 2.ye342x44444444 ；

3.ycosx ； *4.yln[sin(1x)] ； 5.y3xcos2x ； 6.y(x2x5),求y ；

2210lnsinx6x7.y ； *8.y10xx ；

x11x2etdy，求tdxye四、设f(x)。

t0xln2x，求f(1)。

x21lnxx12*五、f(x)arctan，求df(x)。

六、设由xye22ysiny确定y是x的函数，求

xdy。 dx*七、设f(x)xx，求f(1)。 八、已知yxlnsinx，求y。

3x 20

21

*九、设f(x)x(x)且(x)有二阶连续导数，求f(0)。

2sinxa,x0*十、设函数f(x)在x0处可导，求常数a与b的值。

bx2,x0

第2章

一、1.非；2.非；3.非；4.是；5.是；6.非。 二、1.f(x0),2f(x0)；2.f(0)；3.0；4.三、1.B；2.C。 四、（略） 五、(a)。

dT；5.f(x)；6.v73t,vt27。 dt2x,x1六、1.a2,b1；2.f(x)2,x1。

2,x1七、y4x6,y

一、1.0；2.x11.

117x。 44x；3.e；4.2ln2；5.；12.x1122；6.；7.cosx；8.sinx；9.secx；10.cscx；xxlna1122；14.；15.4xsin2x；16.sin2x；221x1x11x211x2；13.

6！26n17. 2sin2x；18.3；19.；20.(ln10)。 7(12x)25二、1.2xcosxxsinxx2；2.222131x(1x)2；3.3x12x11；

2131cotxxx24.xsinxx3cosxaeln(ae)；5.log2x；6.cscxarctanx；3ln21x2 21

22

7.

11sinxx21；8.

1xx(xlnx1)；9.

1x1；10.

11x2；

11.

[1312xxx1(112x)]；12.

2xxx2xcos2x2sinx。 3xdydy1lnx1x2，三、

dxdx241。 24四、f(x3)5x，f(x)5(x3)。 五、2． 六、xy1。

11ex七、1.xsinx1e[cotx]；2.2xlnx1lnx。 x2x2(1e)x八、1.

2t1

；2.tcost。 2t

x22x22te(3sint4cost)。 九、1.6cosx；2.－3；3.e(xn),n；4.；5.22(1x)

231esin2xxx一、1.0.1106，0.11；2.x；3.alna；4.2xc；5.；6.sinx,e。 231x2sin2x二、1.C；2.B；3.B；4.D。

三、1.(exe)dx；2.2(lnx1)xdx；3.(4x5)dx；4.(xx2x311)dx；x2x5.3esin3x1nlnxx3x24x3ln3dxcos3xdx；6.；7.；8.dxdx。 n12x1x3四、1.0066． 五、39.27cm 复习题

3 22

23

一、1.

11e；2.(exlnxex)dx；3.－2；4.y(1e)x1；5.1；6.(sin2xcosx)ecosx；2x7.

1121f()f()23xxxx98；8.

(3x21)dx1x；9.

y2x2yx；

10.900(13x)31；11.。 4sin2x22xln2cos(1x)；5.6x2sin2x；

sin(1x)(x1)cotxlnsinx(x1)2；

二、1.B；2.D；3.C；4.C；5.D；6.D；7.C；8.A。 三、1.8(2x3)；2.2e32x；3.3cosxsinx；4.

26.

10(38x276x46)(x22x5)8；7.

8.610四、五、

6x11ln102(1lnx)xx；9.。

x211。 2xlnx(x21)32dx。

六、

2xy。 2y2cosy2exx七、lnx21xx(1lnx)。

八、6xcscx。 九、2(x)(0)。 十、a2,b1。

第3章 导数的应用

3.1 微分中值定理

23

24

一、填空题

1. 在[1,3]上，函数f(x)1x满足拉格朗日中值定理中的_______;

2，1]不满足罗尔定理的2. 若f(x)1x,则在(1,1)内，f(x)恒不为0，即f(x)在[1一个条件是___________;

即3*.函数f(x)ex及F(x)x2在[a,b](ba0)上满足柯西中值定理的条件，存在点(a,b),有_________;

4.f(x)x(x1)(x2)(x3),则方程f(x)0有__________个实根，分别位于区间____________内。

二、证明3arccosxarccos(3x4x),(3223311x)。 220]上满足罗尔定理的三个条件，并求出的值，使三、说明函数f(x)xx在区间[1，f()0。

四、下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件？如果满足就求出定理中的的值：

2 1.f(x)x2x3, [1,3] ； 2. f(x)x3x， [0,3]；

3 .f(x)ex1， [1,1] ； 4. f(x)lnsinx， [3225,]。 66五、不求导数，判断函数f(x)x3x2x的导数有几个实根，并求他们实根的所在范围。

六、下列函数在指定区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件，如果满足，找出使定理结论

成立的的值：

1. f(x)2xx1， [1,3] ； 2*. f(x)arctanx, [0,1]； 3. f(x)lnx, [1，2]。

23.2 函数的单调性与极值

一、填空题

24

25

ex1. 函数y的单调增区间是___________,单调减区间是_____________;

x2. y(x1)3x2在x1_________处有极_________值，在x2=_________处

有极__________值；

3. 方程xx10在实数范围内有___________个实根；

4. 若函数f(x)axbx在点x1处取极大值2，则a________,b=________;

2515*.f(x)asinxsin3x,a2时，f()为极_________值;

33136. 函数f(x)x4x2(2x1)的最大值为___________,最小值为

3___________; 7. 函数f(x)8.

x1在区间0,4上的最大值为___________,最小值为___________; x1f(x)sin2xx(x有最小值；

2)在x_________处有最大值，在x___________处

9*.设f(x)ax26ax2b在区间[1,2]上的最大值为3，最小值为29，又知

a0,则a_________,b__________。

二、选择题

1.下列函数中不具有极值点的是（ ）；

A、y=x B、y=x C、y=x D、y=x 2. 函数yf(x)在点x0处取极大值，则必有（ ）； A、f(x0)0 B、f(x)0

C、f(x0)0,f(x0)0 D、f(x)0或f(x0)不存在 3. 已知f(a)g(a),且当xa时，f(x)g(x),则当xa时必有（ ）。 Ａ、f(x)g(x)

25

2323Ｂ、f(x)g(x)

26

Ｃ、f(x)g(x) Ｄ、以上结论皆不成立

三、求下列函数的单调区间

１．y2x6x18x7； ２．y2xlnx； ３．y2x3228； 4*．yx2sinx(0x2)； x23四．求下列函数的极值

42１．yx2x； ２．y(x1)；

３．yx8x2； 4*.yecosx； 五、求下列函数在给定区间上的最大值和最小值

42xx21１．yx2x5,[2,2]； ２．y，[,1]；

1x2423*．yx1x，[5,1]。

六*、要早一圆柱形油罐，体积为Ｖ，问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最

小？这时底直径与高的比是多少？

3.3 曲线的凹凸与拐点

一、填空题

yx3拐点是_____________;

2. 曲线ye1的水平渐近线的方程为_______________;

1x3x24x53. 曲线y的铅直渐近线的方程为________________;

(x3)24. 已知f(x)二阶可导，f(x0)0是曲线yf(x)上点（x0,f(x0))为拐点的________________条件；

5*．已知点(1,3)为曲线yax3bx2的拐点，则a___________,b___________

三、求下列函数图形的凹凸区间和拐点

１．yx5x3x5； 2*．yx(12lnx7)；

26

324 27

３．ylnx； ４．y3x； ５．yx12x48x50； 6*.yex

43223.4 洛必达法则

用洛必达法则求下列函数的极限

x33x2sin3x１．lim3 ； ２．； limx1xx2x1x0tan5x1ln(1)x ； ４．lim(x1)； ３．limx1x1xarccotxlnx5*.limx(e1)； 6*.lim(lnx)；

xx1x1xx23x2sin3x； ８．lim； 7*.lim3x1xtan3xx1９．limsinxsinalnx； 10.lim2；

xaxxxax21n11.lim； 12*.limxlnx(n0)；

xxlnxx013*.limxx111x； 14*.lim(tanx)x0sinx；

第3章 复习题

一、填空题

1]上满足拉格朗日中值定理的=_____________; 1. 函数yln(x1)在[0，x2____________; 2. limxxex3*.lim(cosx)x_____________;

x0 27

228

34. yxx3的单调递增区间为_______________,单调递减区间为_____________;

25.f(x)3x4在区间[1，2]上的最大值为_____________;最小值为2(x2)_____________;

6. 曲线yln(1x)的凹区间为_____________,凸区间为______________,拐点为

______________;

27*.曲线ysin2x的铅直渐近线为______________;

x(2x1)8*.函数yax3bx2cxd以y(2)44为极大值，函数图形以(1,10)为拐点，

则a_________,b__________,c__________,d__________；

9*.在曲线y2x2x1上求一点，使过此点的切线平行于连接曲线上的点

A(1,4)、B(3,16)所成的弦。该点的坐标是_____________;

exex210*.lim____________;

x01cosx11.曲线y2lnxx21的拐点是_____________;

12. 函数yx2cosx在区间[0，]上的最大值为______________;

2113*.设yf(x)是x的三次函数，其图形关于原点对称，且x时，有极小值

21，则f(x)__________。

二、选择题

3]上满足罗尔定理的是（ ）1.f(x)x3x在[0，；

A、0 B、3 C、

3 D、2 2； 2*.下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是（ ）

28

29

1x B、lim1x A、limx11sinxx0sinxxsinx C、lim D、limx(arctanx)

xxsinxx2x2sin3*.函数yxln(1x2)在定义域内（ ）；

A、无极值 B、极大值为1ln2 C、极小值为1ln2 D、f(x)为非单调函数

4. 设函数yf(x)在区间[a,b]上有二阶导数，则当（ ）成立时，曲线

yf(x)在（a,b)内是凹的；

A、f(a)0 B、f(b)0 C、在(a,b)内f(x)0

D、f(a)0且f(x)在（a,b)内单调增加

5*. 若f(x)在点xa的邻域内有定义，且除点xa外恒有 则以下结论正确的是（ ）；

A、f(x)在点a的邻域内单调增加 B、f(x)在点a的邻域内单调减少 C、f(a)为f(x)的极大值 D、f(a)为f(x)的极小值

f(x)f(a)0， 2(xa)，2]上可导，且f(x)0,f(1)0,f(2)0,则f(x)在(1,2)内6*. 设函数f(x)在[1（ ）；

A、至少有两个零点 B、有且只有一个零点 C、没有零点 D、零点个数不能确定

2]上的（ ）7. 设f(x)x2x5,则f(0)为f(x)在区间[2，；

A、极小值 B、最小值 C、极大值 D、最大值

42）可导，且f(0)0,f(x)0,则方程f(x)0在[0，）8*. 已知f(x)在[0，上

29

30

（ ）；

A、有唯一根 B、至少存在一个根 C、没有根 D、不能确定有根

9. 若f(x)在(a,b)内二阶可导，且f(x)0,f(x)0,则yf(x)在(a,b)内（ ）；

A、单调增加且凸 B、单调增加且凹 C、单调减少且凸 D、单调减少且凹 10. 曲线y4x1( ）； 2(x2) A、只有水平渐进线 B、只有铅直渐进线

C、没有渐进线 D既有水平渐进线又有铅直渐进线 11*. 曲线y(x1)(x2)的拐点个数为（ ）。 A、0 B、1 C、2 D、3 三、求下列极限

22tanxxln(13x2)1. lim ； 2. lim；

x0xsinxxln(3x4)3*.limsinxex111xx1x02 ； 4. limxcot2x；

x05*.lim(lnx)x1x； 6. lim(sincos2x)x；

x0212x3xexsinx7. lim ； 8. limx。

x0sinxxecosx四、求下列函数的单调区间

1.y(x1)(x1)； 2. yxe五、求下列函数的极值

21.f(x)xlnx； 2*.f(x)3nx(n0,x0)。

12x1x2。

六、求下列函数的最大值与最小值

30

31

1. yxe七、求函数y2x(1x3) ； 2*.yx254(x0)。 xx的单调区间、凹凸区间、极值及拐点、渐进线。

1x253八、证明方程x3xx30只有一个正根。

第3章 参考答案

ebeae;4. 3，(0,1),(1,2),(2,3)。 一、1. 1；2. f(x)在(1,1)内不可导；3. 22ba2二、提示：令f(x)3arccosxarccos(3x4x)，则f(x)0,(常数，再取x0便得f(x)。 三、（略）。

四、1. 满足，1；2. 满足，2；3. 满足，0；4. 满足，五、（略）。

六、1. 1；2. 

311则f(x) x)，

222。

(4)；3. 1。 ln22225,大；3. 1；4. 2,4；5. 大；6. ,；5330）（0，1]；2. 0，小,一、1. [1,]和（，7.

3,1 ；8. ,；9. 2,3。 52212二、1. C；2. D；3. A。

三、1. 在(,1]、[3，）内单调增加，在[1,3]内单调减少；2. 在(,)内单调增加，

在(0,)内单调减少；3. 在(0,2]内单调减少，在[2,)内单调增加；4. 在(内单调增加，在(0,125,)335)(,2)内单调减少。 33四、1. 极大值y(1)1，极小值y(0)0；2. 极大值f(1)2；3. 极大值y(0)2，极

31

32

524e。 小值y(2)14；4. 极大值y()3,极小值y()4243五、1. 最大值y(2)13,最小值y(1)4;

2. 最大值y()y(1)5121,最小值y(0)0; 26。

3. 最大值y()1.25,最小值y(5)534六、r3

VV,h23,d:h1:1。 22一、1. (0,0); 2. y0; 3. x3; 4. 必要；5. 二、1. 拐点(,39,,(,1),(1,)。 2252055内是凸的，在[，内是凹的； ),在（，））32733（1，7），在（0，1]内是凸的，在[1，2. 拐点内是凹的； ）3. 无拐点，凸区间为；4. 拐点为(0,0)，凸区间为，凹区间为(,0); （0，）（0，）4），凹区间为（，2）、（4，）5. 拐点为(2,64),(4,206),凸区间为（2，；

6. 拐点为（e2222，),凸区间为（，），凹区间为（，）、e222（

2，）。 233131；2. ；3. 1；4. ;5. 1；6. 1；7. ；8. ；9. cosa；10. 0；11. ； 25253112. 0；13. ；14. 1。

e1. 复习题

11；2. 0；3. e2；4. (,0)(1,),(0,1)；5. f(0)2,f(1)0；6. 凹一、1.

ln2 32

33

1）和（1，），（1，ln2)和（1，ln2)；7. 区间为(1,1),凸区间为（，拐点为

1x；8. 1,3,24,16；9. (1,2)；10. 2；11. (1,0)；12. 3；13. 4x33x26113（提示：因f(x)是奇函数，故设f(x)axcx,再由f()0,f()1可解得

22。 a4,c3）

二、1. D；2. D；3. A；4. D；5. D；6. B；7. C；8. D；9. A；10. D；11. C。

11三、1. 2；2. ；3. 1；4. ；5. 1；6. e2；7. ln2ln3；8. 1。

22四、1. 在(,]内单调减少，在[,)内单调增加； 2. 在[0,n]内单调增加，在[n,)内单调减少。 五、1. 极小值f(112121e)1；2. 极大值f(2)5。 2e六、1. 最大值y(1)e,最小值y(0)0；2. 最小值y(3)27,没有最大值。

七、单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,3)、（3,);凹区间为

(3,),凸区间为（0，1）、（1，3）；极大值

1；当x0时，y0,当x0时， 23)。 44 y0；y0为曲线的水平渐进线；拐点为(3,53八、提示：令f(x)x3xx3,注意f(0)3,limf(x),f(x)5x

x 9x10 x(,)。

2第4章 不定积分

4.1 不定积分的概念

一、填空题

33

34

1. 在下列各式等号右端的横线上填入适当的系数，使微分等式成立：

2（1）xdx_______d(1x) ， （2）xexdx________dex，

22（3）sin3xdx_______dcos3x， （4）（5）

dx________dln(52x)，

52xdxdx________d(arcsin3x)； ， （6） _______dtan5xcos25x219x22. xsinx的一个原函数是____________,而____________的原函数是xsinx； 3. 若f(x)的导函数是sinx,则f(x)的原函数为______________；

4. 设F1(x)、F2(x)是f(x)的两个不同的原函数，且f(x)0,则有F1(x)F2(x) ________________。

二、选择题

1.

2f(x)dxexx； cos2xC,则f(x)（ ）

x A、e(cos2x2sin2x) B、e(cos2x2sin2x)C C、ecos2x D、esin2x

2. 若F(x)、G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)G(x)=（ ）； A、f(x) B. 0 C.F(x) D.f(x) 3. 函数f(x)的（ ）原函数，称为f(x)的不定积分。 A、任意一个 B、所有 C、唯一 D、某一个

三、求下列不定积分

1.

xxe5xexdx； dx； 2. 1ex103.(2x1)dx； 4. 5.

sinxcos3xdx； 132sinx)dx；

xx(x1)(x1x)dx； 6.( 34

35

xx2(27)dx。 37.secx(secxtanx)dx； 8.

四、一曲线过原点且在曲线上每一点(x,y)处的切线斜率等于x，求这曲线的方程。 五、一物体由静止开始运动，t秒末的速度是3t（米/秒）问：

1. 在3秒末物体与出发点之间的距离是多少？

2. 物体走完360米需多长时间？

2 不定积分的性质

一、填空题

1. 设f(x)是连续函数，则df(x)dx___________,df(x)___________，

df(x)dx__________,f(x)dx____________(其中f(x)连续）; dxx3x3x2. adx________d(a1) ； 3. 2dx________dln(x21)；

x1dx4. ________d(arctan3x)； 5. sin2xdx_______d(14cos2x)； 19x2

6. (3x)dx_________d[(3x)4]。 二、求下列不定积分

1.

2x23x2dx ； 2.

xxedx；

23x31dx3. ； 4. (1x2)xxdx； 1x415. dx ； 6.

sin2xcos2x21x21x2dx。

4.3 换元积分法

一、填空题

1. dx_______d(23x) ； 2. xdx________d(2x1)； 3.

21lnxdxd_______ 4. dxlnxd_______d________ xx35

36

5. sin7.

2xxdx_______d(cos)； 6. xe2xdxd__________； 331dx_______d(arctan3x)； 8. 219xxdx1x2________d(1x2)；

二、求下列不定积分

1. 3.

3x ； 2. sin2xdxedx； 12xdx； 4. (x23x1)100(2x3)dx；

1x25. ； 6. dx； dx10013x(x1)17. dx ； 8.

xlnxlnlnx9.

xtan1x21x2dx；

sinxcosx35dx； 10. sinxcosxdx； (sinxcosx)3xxesinedx ； 12. 11. 13.

sinx1cosxdx；

dxx(1x)； 14.

sin2xcos3xdx； x2ax2215.

1x12x1dx； 16. dx；

17.

dxe1； 18.

x22xdx；

19.

15x(5x1)dx； 20.

dx4x24x5。

4.4 分部积分法

一、填空题

1. 2.

xexdxxd____________________；

arccosxdxxarccosx____________________。

36

37

二、求下列不定积分

1.

2xxadx (a0,a1)； 2.

arsinxx2dx；

x2arctanxdx； 3. cosxln(sinx)dx； 4. 21x5. 7.

2xlnxdx ； 6. xcos3xdx；

xarctanx1x22dx； 8. arctanxdx；

9.

3xxedx ； 10. sinxdx；

11.

dxx(x3)； 12. 2x3x23x10dx。

三、已知f(x)1xe,求xf(x)dx。 x第4章 复习题

一、填空题

1. 若函数f(x)具有一阶连续导数，则2. 设

f(x)sinf(x)dx____________;

f(x)dxF(x)C.若积分曲线通过原点，则常数C=____________;

33. 已知函数f(x)可导，F(x)是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx__________; 4. 设x为f(x)的一个原函数，则df(x)___________； 5.

f(2x)dx___________;

f(x)dxsin2xC,则f(x)___________；

sinx,则xf(x)dx____________; x6. 已知

7. 设f(x)有一原函数8. 9.

xsin3xdx____________;

3sinxdx____________;

37

38

10.

1sinxxcosxdx____________。

二、选择题

1. 若

f(x)dxx222； C，则xf(1x2)dx等于（ ）

22A、2(1x)C B、2(1x)C C、

11(1x2)2C D、(1x2)2C 22x2. 若 e是f(x)的原函数，则xf(x)dx（ ）； A、e C、ex(1x)C B、ex(x1)C (x1)C D、ex(x1)C

x3. 如果df(x)dg(x)，则必有（ ）；

A、f(x)g(x) B、f(x)g(x) C、

f(x)dxg(x)dx D、(f(x)dx)(g(x)dx)

4. 设f(x)是可导函数，则(f(x)dx)为（ ）；

A、f(x) B、f(x)C C、f(x) D、f(x)C

1； (1x2)dx（ ）

11 A、 B、C C、arctanx D、arctanxC 221x1x5.

6. 若f(x)g(x)，则下列式子一定成立的有（ ）； A、f(x)g(x) B、df(x)dg(x) C、(f(x)dx)(g(x)dx) D、f(x)g(x)1 7. [f(x)xf(x)]dx（ ）。

A、f(x)C B、f(x)C

38

 39

2 C、xf(x)C D、f(x)C 三、求下列不定积分

4x21dx； dx； 2. 1. 1x21x1x3.

1sin2x23 ； 4. dx(x1)sin(x3x)dx； cosxsinxx4dx； 5. cosx1dx ； 6. 21x7.

x31xdx； 8.

2xex1exdx；

9.

1x(4x)dx ； 10. 1exexdx； 2x23x21dx；

xdx ； 12. 11. 3(1x)2exdx； 13. xx3dx ； 14. 23ex15.

149xx2dx； 16.

xx2dx。

四、已知f(e)1x,求f(x)。

五、已知f(x)的原函数为ln2x,求xf(x)dx。



第4章 部分参考答案

一、1. (1) 11111311 ,(2) ,(3) ,(4) ,(5) ,(6) ；2. xcosx,2xcosx；

23533223. sinxC1xC2；4. C。 二、1. A；2. B；3. B。

39

40

三、1. 15x11eC；2. ln(1ex)C；3. (2x1)11C；4. C； 25222cosx5212 5. x2xx2xC；6. 2x22cosx3lnxC；7. tanxsecxC；

5214x9x26xC 。 8.

ln4ln9ln6四. yx。 五. 1. 27米；2.

一、1.f(x)dx,f(x)C,f(x),f(x)C；2.

34360秒。

11111；3. ；4. ；5. ；6. 。 3lna238244x2711x2324C；二、1. 23xC；2. eC；3. ln1xC；4.

74x3245. tanxcotxC ；6. 2arcsinxxC。 一、1. 111212x21；2. ；3. lnx；4. lnx,lnx；5. 3；6. e；7. ；8. 1 3424331113x1二、1.cos2xC；2. eC；3. (12x)2C；4. (x23x1)101C；

3231015.

111(x1)97(x1)98(x1)99C979899；6.

1ln13xC3；

7.lnlnlnxC；8. 10.

1ln(sec1x2)C；9. (sinxcosx)2C；

2sinexC；12.

11cos8xcos6xC；11. 86xC； 14.

ln(1cosx)C；

13.2arctan11cosxcos5xC； 210a2xx2arcsinax2C; 15.2x1ln2x11C；16. 2a217.ln

1ex11e1xC;.

18.40

2(328x3x2)2xC15；

41

19.

112x1(5x1)16(80x1)C；20.arctanxC。

25161742xx一、1. e,(xeex)C；2.

xdarcosx(或x1x2dx)，xarccosx1x2C

111x2ax22C；二、1. [(lna)x2(lna)x2]C；2. arcsinxln3xx(lna)3.sinxln(sinx)sinxC；4. xarctanx 5. . 7.

11ln(1x2)(arctanx)2C； 22131x1xlnxx3C; 6. sin3xcos3xC; 393911x2arctanxln(x1x2) C; 8. xarctanxln(1x2)C;

212x21x2 9. xeeC; 10. xcosxsinxC;

221 11. (lnx3lnx)C； 12. lnx2lnx5C。

32x三、(1)eC。

x复习题

一、1. cosf(x)C；2. F(0)；3. xf(x)F(x)C；4. 6xdx；5.

6. 2sinxcosx ；7. cosx9.

1f(2x)； 22sinxx1C；8. cos3xsin3xC； x391cos3xcosxC；10. lnxcosxC。 33二、1. D；2. B；3. B；4. A；5. B；6. B；7. C。

2三、1. (x1)2xC；2. 4x5arctanxC；3. sinxcosxC；

31cos(x33x)C；5. 2x1sinx12cosx1C； 313116. xxarctanxC；7. (1x2)5(1x2)3C； 3534. 8. 2x1ex41ex2ln(1ex1)C；9. lnx4(ln4)C

x1 41

x111e1C；12. 2xarctanxC； 10. lnxC；11.

2(1x)21x2e142

121x13. (x3)2C；14. ln23eC；

3321315. arcsinxC；16. (x2)24(x2)2C。

332四、xlnxC。 五、lnx(2lnx)C。

313第5章 定积分及其应用

5.1 定积分的概念

一、填空题

1、一曲边梯形由曲线yx2，直线x1,x3及x轴围成，则此曲边梯形的面积

2A__________

2、

112x2lnxdx的值的符号为_________。

3、若f(x)在a,b上连续，且二、选择题： １、

定积分

baf(x)dx0，则f(x)1dx________

abbaf(x)dx是（ ）

（Ａ）一个原函数 （Ｂ）fx的一个原函数 （Ｃ）一个函数族 （Ｄ）一个非负常数 ２、下列命题中正确的是（ ）。（其中f(x),g(x)均为连续函数）

（Ａ）在a,b上若f(x)g(x)则

baf(x)dxg(x)dx

ab42

43

（Ｂ）

baf(x)dxf(t)dt

abab（Ｃ）df(x)dxf(x)dx

（Ｄ）若f(x)g(x)则

f(x)dxg(x)dx

2x100三、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的值

１、

102xdx______; ２、cosxdx_______; ３、1x2dx_____

0四、估计

2ex2xdx的值；

411dx1 122x五、利用定积分的估值性质证明：

六、利用积分中值定理证明：0sinxdx1 x25.2 定积分的基本公式

一、填空题： １、(f(x)dx２、

x0f(t)dt)_________ ；（fx在实数域内连续）

dxsint2dt________； dx0dx23、sint2dt________； dx0d124、sinxdx________； 0dx5、设fx连续，且fxx2二、计算下列定积分： 1、

fxdx，则fx________。

0194x1xdx 2、1212111x2dx

 3、 5、

40tan2d 4、102x1dx

0311dxdx 6、131x204x2

43

2211sindx 8、x21dx 22xx44

7、

1三、求下列极限：

1、limx0x0costdtsintdtt2x 2、limx02x0ln1tdtx2

0x3、limx00ttantdtx3 4、limx0x0ln12t2dtx3

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法

一、填空题： 1、

1212x3sinxdx__________； 2、2arcsinx2dx___________；

1x23、

sinxdx___________；4、330xsinxdx____________； 5、fx连续，ab为常数，则二、用换元积分法求下列定积分：

dbfxtdt____________。 adxdx21、 2、2cosudu

2115x613、

11241x21dx dx 4、21x1x5、

10tet22dt 6、2sinxcos3xdx

037、

40sinxsinxdx 8、1dx45x120

9、

e2dxx1lnx1 10、

1x1dx x 44

45

三、用分部积分法求下列定积分： 1、3、5、

xe0101xdx 2、tsintdt为常数

0220xarctanxdx 4、e2xcosxdx

10xedx 6、342xxdx 2sinx4lnxx07、

xxsinxdx 8、120dx

9、

10arctanxdx 10、2cos6xdx

5.4 定积分在几何中的应用

21、 求曲线yx与y2x所围成的图形的面积。

2、 求曲线xy与直线yx所围成的图形的面积。 3、 求曲线ye,yexx与直线x1所围成的图形的面积。

xa(tsint)4、 求摆线的一拱(0t2)与x轴所围成的图形的面积。

ya(1cost)5、 求心形线31sin所围图形的面积。

26、 把抛物线y4ax及直线xx0x00所围成的图形绕x轴旋转所的旋转体的体积。

7、 由抛物线yx及xy所围成的图形绕y轴旋转所的旋转体的体积。

8、 把等边双曲线xy4及直线y1,y4,x0所围成的图形绕y轴旋转所的旋转体的

体积。

9、 将yx,x2,y0所围成的图形绕x轴及y轴旋转所的旋转体的体积。

32210*、求曲线ylnx上相应于3x8的一段弧的弧长。

45

46

11*、计算曲线yx3x上相应于1x3的一段弧的长度。 3xa(tsint)的一拱0t2的长度。 12*、计算摆线ya(1cost)第5章 复习题

一、填空题： 1、

1414ln1xdx___________； 1xx2dx___________； 2、01x213、

224x2sinx1dx__________；

d224、1sinxdx__________；

dx5、设Fx6、设Fx7、8、

bx1tantdt，则Fx__________； tantdt，则Fx__________；

x20fx2dx___________；

adbln1tdt___________； 2xdx9、计算曲线ysinx与曲线x2及y0所围成的平面图形的面积可用定积分表示为

A___________，且其值为A_______________。

10、由曲线yx与直线x1及x轴所围成的平面图形，绕x轴旋转所的旋转体的体积可用定积分表示为Vx________，且其值为Vx___________。 二、选择题：

21、

sinxdx（ ）

2246

47

(A) 0 (B) (C)2、已知Fxfx，则

x (D) 2 2ftadt（ ）

a(A) FxFa (B) FtFa (C)FxaF2a (D) FtaF2a

3、limx0sint2dtx3x0 （ ）

(A) 1 (B) 0 (C)4、

11 (D) 23dx0arccosx（ ）

1(A)

0

210sinxsinx11

dx (B)dx (C)2dx (D)2dx

00xxxx25、

2sinx4x21dx（ ）

(A)6、

245 (B) (C) (D)

3333502x4dx( )

(A)11 (B) 12 (C)13 (D)14

7、

21cos2xdx( )

3(A)8、

2221 (B) (C)2 (D)2

2222111x2dx（ ）

(A)2 (B)2 (C)0 (D)发散

9、limx0x0arctantdt1cos2x（ ）

47

48

(A) 1 (B)0 (C)

211 (D) 2410、将曲线yx与x轴和直线x2所围成的平面图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积可表示为Vy（ ） (A)20x4dx (B)ydy (C) 4ydy (D)4ydy

000444三、计算下列定积分： 1、

10exdx 2、x20e11xxdx13、

202sinxcosxdx 4、3x11x0dx

e1lnxx5、dx 6、dx

1x31xe1dx7、 8、xlnxdx

101ex9、

2axdx3a2x2a 10、

20x2cosxdx

四、已知fx的原函数为1sinxlnx，求

x212xfxdx。

五、设Fx六、设fx0x2sintdtsintdt，求Fx。

x1xtdt，求fx。

2七、设平面图形D由抛物线y1x和x轴围成，试求： 1、D的面积；

2、D绕x轴旋转所的旋转体的体积； 3、D绕y轴旋转所的旋转体的体积；

4、抛物线y1x在x轴上方的曲线段的弧长。 八、求由曲线y22xx2,y2x及x2所围成图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体

48

49

积。

第5章 部分参考答案

一、1、

x3122dx 2、负的 3、ba

二、1、A 2、D 三、1、1 2、0 3、四、2e五、求

2 414e20x2xdx2e

1在1,4上的最大、小值。 2x六、略。

一、1、C 2、sinx 3、2xsinx 4、0 5、x1

224951 2、 3、1 4、

4ln106385、 6、 7、1 8、

36612三、1、1 2、2 3、 4、

33二、1、45

3一、1、0 2、 3、0 4、 5、fxbfxa

324

49

50

221e 5、 31351二、1、 2、 3、1 4、21ln685124 6、

142 7、 8、1ln2 9、231 10、2 43522211三、1、1 2、 2 3、 4、e2 5、e2

e4252153 7、1 6、 8、42ln21 9、1 10、

498232

111272 2、 3、e2 4、3a 5、 6、2ax02 36e231286413 7、  8、 12 9、 , 10、1ln

1075224 11、23 12、8a

31、复习题

一、1、0 2、1 3、2 4、0 5、tanx 426、2xtanx 7、f(b)f(a)2(ba) 8、 2xln(1x)

9、

20sinxdx ，1 10、x4dx,015

二、1、D 2、C 3、D 4、C 5、B

6、C 7、C 8、D 9、D 10、C

三、1、21 2、 ln(1e)ln2 3、2(21) 4、

35 5、3ln21 6、3243 7、ln2eln(1e) 8、e2 9、(21)a 10、4

992四、(1)ln2ln21 五、2xsinxsinx 六、2x

42x21tdt

50

51

七 、1、八、

4161 2、 3、 4、5ln(25) 3152283第6章 微分方程

一、填空题： 1、 微分方程

y2ysinx1的阶数为__________。

2x2、 设某微分方程的通解为yc1c2xe，且yx00，yx01则

c1___________，c2_____________。

_。 3、 通解为yce（c为任意常数）的微分方程是__________4、 满足条件

xfx2fxdx的微分方程是__________。

0x5、 xy4y得通解为__________。 6、

dyy1的满足初始条件y01的特解为__________。 dx7、 设yyx,c1,c2,cn是微分方程yxy2y1的通解，则任意常数的个数

n__________。

8、 设曲线yyx上任意一点x,y的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微

_。 分方程为__________二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、ysinxylny，y3、ye2xyx2e 2、cosydx1exsinydy0，yx044

，yx00 4、sinycosxdycosysinxdx，yx0三、求下列微分方程得通解：

221、2xyyy1 2、1xy1y

22 51

52

dyeaxby dxdyy5、xyyy2x20 6、xyln

dxx3、xyylny0 4、

四、验证函数yc1xc2e是微分方程1xyxyy0的通解，并求满足初始条件

xyx01,yx01的特解。

2五、验证函数yxx2是微分方程xy2yx的解。 26.2 一阶微分方程

一、填空题 ：

1、设y(x)是yp(x)yq(x)的一个特解，Y(x)是该方程对应的齐次线性方程

yp(x)y0的通解，则该方程的通解为__________.；

2、已知y(x)e是xyp(x)yx的一个特解，则p(x)________，该一阶线性方程的通解为ye_______； 3、齐次方程xxx_； 且通过此方法可求得该齐次方程的通解为__________dyyyln作变换__________可化为分离变量的微分方程__________，dxxdyy24、微分方程不是一阶线性微分方程，但是将x看作因变量，而将y看作自dxxyxy__，进而用此方法可求得该方程的通解为变量，则可化为一阶线性微分方程_______________________。

二、求解下列微分方程：

1、(1e)yye 2、xyyxtan3、(x2xyy)dx(y2xyx)dy0 y三、求下列微分方程的通解

1、xdy(xsinyy)dx0 2、xyyx3x2

222222xxy xx11

52

53

3、yycosxesinx 4、x2ydy2ydx0

3四、求一曲线的方程：这曲线过原点，并且它在点x,y处的切线斜率等于2xy。

二阶常系数线性微分方程

一、填空题：

1、 已知y1sinx和y2cosx是ypyqy0（p,q均为常数）的两个解，则该方

程的通解为__________。

2、 yy2y0的通解为___________。 3、 y2y4y0的通解为____________。 4、 y7y6y0的通解为____________。

5、 设二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的两个根为r112i，r212i，则该二

__。 阶常系数齐次线性微分方程为__________6、 设r13,r24为方程ypyqy0（其中p,q均为常数）的特征方程的两个根，

__。 则该方程的通解为__________7、 微分方程y2yyxe的特解可设为形如 y(x)__________

xx8、 设y1x,y2e,y3e均是ypyqyf(x)（其中p,q都是常数）的三个特

x解，则该方程的通解为

________________

x，且其对应的齐次方程2，

则

9、 已知ypyqyf(x)（其中p,q都是常数）有特解y1ypyqy0有特解

y2excosx,y3exsinxp________,q_________,f(x)_________

10、已知p,q都为常数，设y1(x)为ypyqyf1(x)的一个特解。y2(x)是

ypyqyf2(x)的一个特解，则ypyqyf1(x)y2(x)用y1(x)和y2(x)表

________ 示的一特解为__________

53

54

二、求下列方程的通解：

1、yy2y0 2、yy0 3、y4y4y0 4、2yy0 5、y4y0 6、y6y13y0 三、求下列方程的通解

1、y5y4y32x 2、y6y9y(x1)e2x3、2y5y5x2x1 4、2yyy2e

3x

四、求下列方程的特解： 1、y4y3y0,yx06;yx010 0;yx015

2、y4y29y0,y3、y25y0,yx0x02;yx05

x04、 4y4yy0,y五、求下列方程的特解： 1、yy4xe,yxx02;yx00

0;yx01

x02、y3y2y5,y1;yx02 1;yx1

3、yysin2x0,yx第6章 复习题

一、填空题：

1、方程y3y2y0的通解是__________。 2、求微分方程y4y4ye2xcosx的一个特解y*时，应设特解的形式为

y*___________

3、xy2xyxyx1是______阶微分方程。

54

2234 55

4、以ycx为通解的微分方程是__________。

2dyyy_。 tan的通解为__________dxxx2y6、微分方程xyyxcos的通解是__________。 x5、

二、选择题：

41、微分方程xyyxyyy0的阶数是（ ）

3(A)3 (B)4 (C)5 (D)2

2、在下列函数中，能够是微分方程yy0的解的函数是（ ） (A)y1 (B)yx (C)ysinx (D)ye 3、下列方程中是一阶线性方程的是（ ） (A)y3lnxdxxdy0 (B) xxdyylnylnx dx22(C) xyyxsinx (D)yy2y0

4、方程的xyy3通解是（ ） (A)yc3cc3 (B) yc (C)y3 (D)y3 xxxxdxdy0满足初始条件yyxx35、微分方程

4的特解是（ ）

2222(A)xy25 (B)3x4yc (C)xyc (D)yx7 6、微分方程1x222yxy0的通解是（ ）

c1x2 (C)ycxex22(A)yc1x2 (B)y (D)y13xcx 27、微分方程yy1的通解是（ ） xxx21(A)arctanxc (B)

1arctanxc (C)1arctanxc (D)arctanxc xxx55

56

8、微分方程ylnxdxxlnydy满足初始条件y2222x11的特解是（ ）

(A)lnxlny0 (B)lnxlny1 (C)lnxlny (D)lnxlny1 三、求下列方程的通解或特解： 1、

2222dyexy 2、x2dyy2xyx2dx dxxxxdyyy1dy03、12edx2e 4、yex ydx5、xdy1dy2 2y2x 6、

dxxy2dxx7、yy2y0 8、y5y6y2ex4x

9、y2y5yesin2x 10、y8y16ye,y00,y01 11、y3y4y0,y00,y05

四、已知函数fxx满足（1）f(x)f(x)；（2）f(0)1,f(0)2，求fx。 五、求方程yy0的积分曲线，使其在点(0,0)处与直线yx相切。

六、已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程。

第6章 参考答案

一、1、3 2、0 3、yy0 4、y2y2x 5、ycx 6、y2e1 7、3 8、yx2x4x y二、1、ye

tanx 2、1esecy22

56

57

3、ey12xe1 4、cosx2cosy0 22三、1、1yce1x 2、arcsinyarcsinxc 3、ye

cx4、

1ax1byeec 5、yy2x2cx2 6、yxecx1 abx四、特解y2xe

一、1、Yxyx

*2、pxxe3、uxx,yexcexpxex

ydudxy,,lncx1 xulnu1xx1dx111x,xcyeyy 4、2dyyyy二、1、ey2c1ex2x2y21 2、yxarcsincx 3、

xy三、1、yxcosxc 2、y3、yxcesinx123cxx2、 32x 4、5x2y3cy

四、y2ex1

一、1、yc1sinxc2cosx 2、ye3、yc1c2xe2xx1x2ccos16x7xc2sin7x

 4、yc1ec2e3xx5、y2y5y0 6、yc1ec2e4x

x7、abxe 8、yc1exc2exxxx

9、p2,q2,fxx1 10、y1xy2x

57

58

二、1、yc1ec2ex2x 2、yc1cosxc2sinx 4、yc1c2e

3x3、yc1c2xe4x2xx25、yc1c2e 6、ye三、1、yc1exc1cos2xc2sin2x

13xx1e 3c2e5x24xx21113xx 2、yc1c2xe282x3、yc1c2ex137x3x2x 4、yc1e2c2exex 35252x四、1、y4e2e 2、y3e3xsin5x

x23、ycos5xsin5x 4、y2xe五、1、yeexxx

xexx1

72x5e 22113、ycosxsinxsin2x

332、y5e复习题

一、1、yc1ec2ex2x 2、e2xacosxbsinx 3、3

yycx 6、tanlncx xx4、xy2y0 5、sin二、1、D 2、C 3、A 4、A 5、A 6、C 7、B 8、C 三、1、eexyc 2、xylncxx

x 3、x2yec 4、ye2xyxc

5、ycx2x 6、xeycy1 7、yc1ex2x2c2ex 8、 yc1e2xc2e3xex

9、yec1cos2xc2sin2x1xxecos2x 458

59

10、 yx124xxe 11、yexe4x 2x四、fx12e 五、y1xeex 2六、yxxlnx

第7章 向量代数 空间解析几何

7.1 空间解析几何简介

一、填空题

1. 已知点A(4,2,1),B(1,5,3),C(1,0,0),D(1,0,2),E(0,0,3)，则点B(1,5,3)在第_______卦限，点__________为zox坐标面上的点，点________为x轴上的点，点_______既在yoz坐标面上也在zox坐标面上。

2. 点P(3,2,1)关于xoy坐标面的对称点是____________，关于yoz面的对称点是____________，关于zox坐标面的对称点是___________，关于x轴的对称点是___________，关于y轴的对称点是___________，关于z轴的对称点是_____________，关于原点的对称点是____________。 3. 点P(1,2,2)和点Q(1,0,1)间的距离是__________。

二、求与两定点M1(1,1,0),M2(2,0,2)距离相等的点的轨迹方程是____________________ 。

三、指出下列方程在平面直角坐标系和空间直角坐标系中分别表示什么图形

1. x1 2. xy4 3. y0

22x2y294.xy1 5. xy 6.

y427.2 向量代数

59

60

一、选择题：

1、若a，b为共线的单位向量，则它们的数量积 ab （ ）.

（A） 1； （B）-1； （C） 0； （D）cos(a,b). 2、

向量ab与二向量a及b的位置关系是（ ）.

（A） 共面； （B）共线； （C） 垂直； （D）斜交 .

3、设向量Q与三轴正向夹角依次为,,，当 cos0时，有（ ）

(A)Qxoy面；(C)Qxoz面;(B)Qyoz面; (D)Qxoz面 ）

4、设向量Q 与三轴正向夹角依次为,,当 cos1时有（

(A)Qxoy面；(C)Qxoz面;(B)Qyoz面; (D)Qxoy面5、

()（ ）

2（A）

222； （B）

2222；

； （D）2. 6、设平面方程为BxCzD0，且B,C,D0， 则

（C）

平面（ ）.

60

22 61

平行于x轴； （B） 平行于y轴； （C） 经过y轴； （D） 垂直于y轴.

A1xB1yC1zD107、设直线方程为且

B2yD20 A,B,C111,D1,B2,D20,则直线（ ）. （A） 过原点； （B）平行于z轴；

（C）垂直于y轴； （D）平行于x轴.

xy52xyyz5x0与直线8、曲面z

13z10 的交点是（ ）.

7（A）(1,2,3),(2,1,4)； （B）(1,2,3)； （C）(2,3,4)；

（A）

（D）(2,1,4).

9、已知球面经过(0,3,1)且与xoy面交成圆周

61

62

x2y216 ，则此球面的方程是（ ）.

z0 （A）xyz6z160； （B）xyz16z0； （C）xyz6z160； （D）xyz6z160.

10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是 （ ）.

（A）xyz1； （B）xy4z；

22222222222222222y2x2y2z22z1； （D）1. （C）x49162二、

已知向量a,b的夹角等于，且a2,b5，求(a2b)(a3b) .

3三、 四、 五、 六、

求向量a{4,3,4}在向量b{2,2,1}上的投影 .

设平行四边形二边为向量a{1,3,1};b{2,1,3}b2,1,3，求其面积 . 已知a,b,为两非零不共线向量，求证：(ab)(ab)2(ab).

一动点与点M(1,0,0)的距离是它到平面x4的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz面的交线方程 .

七、

x3t求直线L：y12t在三个坐标面上及平面xy3z80上的投影方

z58t程 .

八、 求通过直线程 .

x1y2z2且垂直于平面2323x2yz50的平面方

62

63

九、

求点(1,4,3)并与下面两直线

x24t2x4yz1L1：，L2:y1t都垂直的直

x3y5z32t线方程 .

十、求通过三平面：2xyz20，

x3yz10和xyz30的交点，且平

行于平面xy2z0的平面方程 .

十一、

在平面xyz10内，求作一直线，使它通过直线的交点，且与已知直线垂直 .

yz10与平面

x2z0 十二、

判断下列两直线 L1:x1yz1, 112L2:xy1z2,是否在同一平面上，在同 一 134平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距 离 .

第7章参考答案

习题7.1

一、1. Ⅷ,C、D、E、C、E；

2. (3,2,1), (3,2,1),(3,2,1),(3,2,1),(3,2,1),(3,2,1),(3,2,1)。 3. 3

二、xy2z30

习题7.2

一、1、D； 2、C； 3、C； 4、A； 5、B； 6、B； 7、C； 8、A； 9、D； 10、D.

63

64

二、-103. 三、2. 四、310.

y2z213六、3.

x0x3tx3tx0七、y12t, y0, y12t,

z0z58tz58t 14x11yz260.

xy3z80八、x8y13z90.

x112t九、y446t.

z3t十、xy2z40.

2xyz10十一、.

xyz10十二、直线L1与L2为异面直线,d

3. 3第8章 多元函数微积分

8.1 多元函数的概念

一、填空题

1. 设f(x,y)x3y，则f(2,1)_______,f(1,2)________. 22xy222. 已知f(x,y)2xy1，则f(x,2x)_________________.

64

65

二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形

1.z3. zyx 2. z1x1y 4x2y2 4. zlog2xy

8.2 偏导数

一、是非题

1. 设zxlny，则

2z12x （ ） xy2. 若函数zf(x,y)在P(x0,y0)处的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)均存在，则

该函数在P点处一定连续 （ ） 3. 函数zf(x,y)在P(x0,y0)处一定有fxy(x0,y0)fyx(x0,y0) （ ）

xy,x2y204. 函数f(x,y)x2y2在点(0,0)处有fx(0,0)0及

　　　0　　,　x2y20fy(0,0)0 （ ）

5. 函数zx2y2在点(0,0)处连续，但该函数在点(0,0)处的两个偏导数

zx(0,0),zy(0,0)均不存在。 （ ）

二、填空题

1. 设zlnxzz，则___________;y2xyx2y1___________;

2. 设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数fx(a,b)和fy(a,b)均存在，则

limh0f(ah,b)f(a,b2h)_________.

h33三、求下列函数的偏导数：

1. zxyyx1; 2. z2xysin(xy);

x2ey 65

66

3. z(1xy); 4. zlntanyx; y5. uxyyzzx

2222z2z2z四、求下列函数的2,和： 2xyxy1. zx3xyy2; 2. zarctan五、计算下列各题

1. 设f(x,y)esinx324x y(x2y),求fx(0,1),fy(0,1);

2z2. 设f(x,y)xln(xy)，求2x六、设zln(xy)，证明：x13132z,2x1yy22z,x1xyy2.

x1y2zz1y. xy38.3 全微分的概念

一、填空题

1．zxye在点(x,y)处的dz_______________. 2．z2xyxxy22在点(0,1)处的dz_______________.

3．设zf(x,y)在点(x0,y0)处的全增量为z，全微分为dz，则f(x,y)在点(x0,y0) 处的全增量与全微分的关系式是__________________.

二、选择题

1．在点P处函数f(x,y)的全微分df存在的充分条件为（ ） A、f的全部二阶偏导数均存在 B、f连续

C、f的全部一阶偏导数均连续 D、f连续且fx,fy均存在

66

67

2．使得dff的函数f为（ ）

A、axbyc(a,b,c为常数) B、sin(xy)

xyC、ee D、xy

222三、设zxy，当x0.1,y0.2时，在(1,2)点处，求z和dz。 四、求下列函数的全微分

1．z2x3xyy1 2．zsin22y; xyz3．f(x,y)ln(3x2y),df(1,1); 4．f(x,y,z)x,df(2,1,3)

8.4 多元函数的求导法则

一、填空题

1. zarc(xy),x3t,y4t,则

223dz___________; dtzz_________,_________; xy22. zuvuv,uxcosy,vxsiny,则

3. 设zf(u,v,w)uvw，而uxy,vx,wxy,dz__________; 4. 设zf(xy,e),，则

22xy2zz_________,_________; xy_________;

x05. 设xy1,x22dydy_________,dxdx2dy__________. dxydzt2t二、设z，则xe,y1e，求.

xdt6. 设sinyexy0，则三、设zulnv,u2xzz,v3x2y，求,. yxy四、求方程

xzzzln确定的隐函数zz(x,y)的偏导数,. zyxy67

68

五、设zf(xy,xy)，求

2222z. xzzyx. xy六、设xzyf(xz)，其中f可微。证明：z8.5 多元函数的极值

一、是非题

1. 由极值的定义知函数zx4y在点M(0,0)处取得极小值； （ ） 2. 函数zxy在点(0,0)处取得极小值零； 3. 二元函数的驻点必为极值点；

4. 二元函数的最大值不一定是该函数的极大值。 二、填空题

22222（ ） （ ） （ ）

1. 设函数f(x,y)2xaxxy2y在点(1,1)取得极值，则常数a_____; 2. 函数f(x,y)xxyyxy1在________点取得极____值为________。 三、求f(x,y)e(xy2y)的极值。 四、已知f(x,y)xy,

1. 求f(x,y)在适合附加条件xy1下的极值；

2. 求f(x,y)在闭区域x0,y0,xy1上的最大值和最小值。

五、要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面

积最小。 六*、设商品A的需求量为x1，价格为P1，需求函数为x120价格为P2，需求函数为 x22022222x21商品B的需求量为x2，P1；51P2，生产A、B两种商品的总成本函数3Cx14x1x2x2，问两种商品各生产多少时，才能获得最大利润？最大利润是多

少？

8.6 二重积分

68

69

一、填空题

1. 当函数f(x,y)在有界闭区域D上_________时，f(x,y)在D上的二重积分必存在； 2. D为圆形闭区域xy4，则3. 改变积分次序 （1） （2） （3）

22d___________;

D204dxdx2xx12xf(x,y)dy___________________________, f(x,y)dy___________________________,

013x2x20dxf(x,y)dy021dx2x0f(x,y)dy_______________________;

二、利用二重积分的性质估计二重积分

I(xy1)d

D的值，其中D是矩形闭区域：0x1,0y2。 三、计算下列积分的值

1.

(3x2y)d，其中D是由两坐标轴及直线xy2所围成的闭区域。

D2. 已知I(xD2y2x)d，先写出该二重积分的两个二次积分，然后求其值，其

中D是由直线y2,yx及y2x所围成的闭区域。 3.

xyed,D{(x,y)xy1}. D4.*

sinyd,D由yx,x0,y,y围成。 y2D四*、利用极坐标计算下列各题

1.

2222sinxyd,D:xy1; D2. 3. 。

arctanDyd,D:1x2y24,y0,yx; xDx2y22dxdy,D{(x,y)x2y23}.

69

70

第8章

习题8.1 一、1. 1,7; 2.xy2x2y. 5二、1.{(x,y)yx} 2.{(x,y)x1,y1} 3.{(x,y)x2y24} 4.{(x,y)xy0} 习题8.2

一、1.非； 2. 非； 3. 非； 4.是； 5.是。 二、1.

1,2ln2; 2.fx(a,b)2fy(a,b)。 2xy三、1. zx3x2yy3,zyx33y2x;

(x2ey)[2yycos(xy)]2x[2xysin(xy)], 2. zx(x2ey)2(x2ey)[2xxcos(xy)][2xysin(xy)]eyzy; 2y2(xe)3. zxy(1xy)2y1,zy(1xy)y[ln(1xy)xy]; 1xy4. zx22x2x2xcsc,zy2csc; yyyy2225. uxy2xz,uy2xyz,uz2yzx.

2z2z2z26x; 6x6y, 212y,四、1.

yxyx22z2xy2z2xy2zy2x22,22,22. . 2222222x(xy)y(xy)xy(xy)五、1. 1,2; 2. 习题83

一、1.(2xyye)dx(xxe)dy; 2.dx;

70

xy2xy512,,。 999 71

3.zdz(),(x)2(y)2。 二、1. C 2. A 。 三、f0.662;df0.6。

四、1. dz(4x3y)dx(3x2y)dy; 2. dz1y1cos(dxdy); xxx3. 3dx2dy; 4. 12dx24ln2dy8ln2dz。 习题8.4

一、1. 3(14t2)/1(3t4t3)2; 2.

z3x2sinycosy(cosysiny), xz2x3sinycosy(sinycosy)x3(sin3ycos3y); yxyxy233. 2xf1yef2,2yf1xef2; 4. dz[2(xy)3xy]dx[2(xy)x]dy;

y2exx5. ,0; 6. .

cosy2xyy二、ee。

ttz2x3x2z2x2x2ln(3x2y)2,2(21)。 三、

xyy(3x2y)yy(3x2y)yzz2zz. 四、,xxzyy(xz)五、

zy2,f12xyf2。 x习题8.5

一、1.是； 2. 非； 3. 非； 4.是。

0. 二、1. 5; 2. (1,1),小,三、极小值f(,1)e。 2111111f(,);f(,),最小值f(0,0),f(0,1),f(1,0)0。 22422471

12

72

五、当长、宽都是32k，而高为132k时，表面积最小。 2六、A为7，B为4时，可获最大利润470。 习题8.6

一、1. 连续； 2. 4

3.(1)

20dyyf(x,y)dxdyyf(x,y)dx, (2)

222y42480dyyf(x,y)dx,

12y3(3)

dy012yyf(x,y)dx。

二、2I8。 三、1.

20;2. 3110dx(x2y2x)dydx(x2y2x)dy,dyy(x2y2x)dx,x1x2x222y0213; 63. ee; 4. 1。 四、1.2(sin1cos1); 2.

325; 3.。 642 72