高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》难题汇编

一、选择题

1．已知向量a(sin,cos)，b(1,2)， 则以下说法不正确的是（ ）

A．若a//b，则tan1 2B．若ab，则tan1 2C．若f()ab取得最大值，则tan【答案】B 【解析】 【分析】

1 D．|ab|的最大值为51 2根据向量平行、垂直、模以及向量的数量积的坐标运算即可判断. 【详解】

A选项，若a//b，则2sincos，即tan1，A正确. 2B选项，若ab，则sin2cos0，则tanC选项，若f()ab取得最大值时，则f()2，B不正确.

5sin()，取得最大值时，

1，则C正确. 2sin1，D选项，|ab|22k,kZ，又tan2，则tan22sin1cos2625sin的最大值为

62551，选项D正确.

故选：B. 【点睛】

本题主要考查向量的坐标运算，以及模的求法，掌握向量平行、垂直、数量积的坐标运算是解题的关键，是基础题.

2．如图，在ABC中，AN则实数m的值为（ ）

11NC，P是线段BN上的一点，若APmABAC，

52

A．

3 5B．

2 5C．

14 15D．

9 10【答案】B

【解析】 【分析】

根据题意，以AB，AC为基底表示出AP即可得到结论. 【详解】

由题意，设NPNBABAN，

所以，APANNPANABANAB1ANAB又APmAB所以，

1AC， 31AC， 5112，且m，解得m. 355故选：B. 【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．

3．在ABC中，已知AB8，BC4，CA6，则ABBC的值为（ ） A．22 【答案】D 【解析】

B．19

C．-19

D．-22

AB2BC2AC211由余弦定理可得cosB，又

2ABBC1611ABBCABBCcosB4822，故选D.

16【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a2b2c22bccosA；（2）

b2c2a2，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角cosA2bc函数有关的问题时，还需要记住30,45,60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

ooo

4．如图，在ABC中，ADAB，BC3BD，AD1，则ACAD（ ）

A．23 【答案】D 【解析】

B．

3 2C．

3 3D．3 ∵ACABBCAB3BD，∴

ACAD(AB3BD)ADABAD3BDAD，

又∵ABAD，∴ABAD0， ∴

ACAD3BDAD3BDADcosADB3BDcosADB3AD3， 故选D．

5．已知菱形ABCD的边长为2，ABC60，则BDCD（） A．4 【答案】B 【解析】 【分析】

根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】 如图所示，

B．6

C．23 D．43

菱形形ABCD的边长为2，ABC60，

∴C120，∴BD22222222cos12012， ∴BD23，且BDC30，

∴ BDCD|BD||CD|cos30232故选B． 【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．

36， 2

6．已知a,b是平面向量，满足|a|4，|b|1且|3ba|2，则cosa,b的最小值是（ ）

A．

11 16B．

7 8C．

15 8D．

315 16【答案】B 【解析】 【分析】

设OAa，OB3b，利用几何意义知B既在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案. 【详解】

设OAa，OB3b，由题意，知B在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部， 由|3ba|2，知B在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示 则B只能在阴影部分区域，要cosa,b最小，则a,b应最大， 此时cosa,bminOA2OB2AB24232227cosBOA.

2OAOB2438

故选：B. 【点睛】

本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.

7．已知MNa5b，NP2a8b，PQ3(ab)，则（ ） A．M,N,P三点共线 C．N,P,Q三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】

利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】

因为NP2a8b,PQ3(ab)

B．M,N,Q三点共线 D．M,P,Q三点共线

所以NQNPPQ2a8b3aba5b, 因为MNa5b,所以MNNQ

由平面向量共线定理可知,MN与NQ为共线向量, 又因为MN与NQ有公共点N,所以M,N,Q三点共线. 故选: B 【点睛】

本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.



8．在ABC中，AC4AD，P为BD上一点，若AP（ ） A．

1ABAC，则实数的值43D．

83 4B．

3 20C．

3 16【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意，可得出AP理，即可求出. 【详解】

解：由题知：AC4AD，AP1AB4AD，由于B，P，D三点共线，根据向量共线定41ABAC， 41AB4AD， 4由于B，P，D三点共线，

所以AP所以4∴11， 43． 16故选：C.

【点睛】

本题考查平面向量的共线定理以及平面向量基本定理的应用.

9．如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，AE3EO，则EC•ED的值是（ ）

A．4 5B．15 16C．1 4D．

58【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量表示化简数量积，即得结果. 【详解】

EC•EDEOOC•EOODEOOC•EOOC

151EOOC1,选B.

164222【点睛】

本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．在ABC中，已知AB3，AC23，点D为BC的三等分点(靠近C)，则

ADBC的取值范围为（ ）

A．3,5 【答案】C 【解析】 【分析】

利用向量加法法则把所求数量积转化为向量AB，AC的数量积，再利用余弦函数求最值，得解． 【详解】

B．5,53

C．5,9 D．5,7

1ADBCACCDACABACCBACAB 如图，31112ACABACACABACABACAB

333322211ACABABAC 333＝8﹣1323cosBAC ＝7﹣2cos∠BAC ∵∠BAC∈（0，π）， ∴cos∠BAC∈（﹣1，1）， ∴7﹣2cos∠BAC∈（5，9）， 故选C．

13

【点睛】

此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．

11．已知平面向量a,b的夹角为A．4 【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】

由题意，可得|a2b||a|4|b|4ab444|a||b|cos所以|a2b|2，故选B. 【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

222，且|a|2，|b|1，则a2b ( ) 3C．1

D．

B．2

1 634，

2xy012．已知点A2,1，O是坐标原点，点Px, y的坐标满足：x2y30，设

y0zOPOA，则z的最大值是（ ）

A．2 【答案】C 【解析】 【分析】

画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】

B．3

C．4

D．5

2xy0解：由不等式组x2y30可知它的可行域如下图：

y0A2,1，Px, y

zOPOA2xy，可图知当目标函数图象经过点B1,2时，z取最大值，

即z2xy4.

故选：C. 【点睛】

本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.

13．在平行四边形ABCD中，AB4，AD2，BAD3，M为DC的中点，N为平面ABCD内一点，若ABNBAMAN，则AMAN（ ） A．16 【答案】D

B．12

C．8

D．6

【解析】 【分析】

根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN|＝|MN|，再根据向量的数量积公式计算即可 【详解】

由|ABNB|＝|AMAN|，可得|AN|＝|NM|， 取AM的中点为O，连接ON，则ON⊥AM，

1AB， 2222111111所以AM•ANAM（ADAB）2（ADABAD•AB）222224又AMAD1116+2×4）＝6， 42故选：D．

（4

【点睛】

本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题

14．已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则BE A．1ABAD 2B．

1ABAD 21AD 21AD 2【答案】A 【解析】 【分析】

C．AB由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】

D．AB如图，过E作EF//BC, 由向量加法的平行四边形法

则可知BEBFBC1ABAD. 2故选A. 【点睛】

本题考查平面向量的加法法则，属基础题.

15．已知平面向量a,b,c满足abab2,acb2c1，则bc的最小值为（ ） A．75 2B．73 2C．

523

D．31 2【答案】A 【解析】 【分析】

，3，b2，根据题意，易知a与b的夹角为60，设a=10，cx,y，由

acb2c1，可得x2y22xx2y22x3y3y10，所以原问题等价于，圆210之间距离的最小值， 利用圆心和点2，00上一动点与点2，2的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】

，3，b2，因为abab2，所以a与b的夹角为60，设a=10，

cx,y，

22因为acb2c1，所以xy2x3y10， 2又bcx22y2，

22所以原问题等价于，圆xy2x3y值，

22又圆xy2x3y10之间距离的最小0上一动点与点2，23151，0与圆0的圆心坐标为，半径为，所以点2，222

x2y22x3y210上一动点距离的最小值为235752. 21222故选：A. 【点睛】

本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和

运算能力，属于中档题．

16．在ABC中，E是AC的中点，BC3BF，若ABa，ACb，则EF（ ）

21ab 36【答案】A 【解析】 【分析】

A．【详解】

B．a131b 3C．

1a21b 4D．ab

1313根据向量的运算法则计算得到答案.

EFECCF故选：A. 【点睛】

12122121ACCBACABACABACab. 23233636本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.

17．已知单位向量a，b的夹角为的最小值为（ ） A．2 【答案】D 【解析】 【分析】

利用向量的数量积的运算公式，求得ab2，cab,R，若2，那么c3B．6

C．

10 2D．3 1，再利用模的公式和题设条件，化简得到2c4，最后结合基本不等式，求得1，即可求解．

【详解】

由题意，向量a,b为单位向量，且夹角为又由cab,R， 所以cab211，所以ababcos11， 33222222ab22()24，

22因为,R时，所以()1，当且仅当时取等号， 222所以c3，即c3． 故选：D． 【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

2

18．已知A，B是圆O: x2y24上的两个动点，|AB|2，OC12OAOB，若33M是线段AB的中点，则OCOM的值为（ ）.

A．3 【答案】D 【解析】 【分析】

判断出OAB是等边三角形，以OA,OB为基底表示出OM，由此求得OCOM的值. 【详解】

圆O圆心为0,0，半径为2，而|AB|2，所以OAB是等边三角形.由于M是线段

B．23 C．2

D．3

11AB的中点，所以OMOAOB.所以

22222111111OAOBOAOBOCOMOAOAOBOB322332621422cos603. 323故选：D

【点睛】

本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

19．若O为ABC所在平面内任一点，且满足(OBOC)(OCOACAAB)0，则ABC的形状为（ ） A．直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】

利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断. 【详解】

由OBOCOCOACAAB0，即CBACCBCBAB0， 所以，CBAB，即B故选：A. 【点睛】

本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．等边三角形

2，故ABC为直角三角形.

20．在四边形ABCD中,若DCA．平行四边形 C．等腰梯形 【答案】C

1AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形是( ) 2B．矩形 D．菱形

【解析】

11AB知DC∥AB,且|DC|=|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为|AD|=|BC|,22所以四边形ABCD是等腰梯形. 选C

由DC