1.什么叫“补数”?
两个数相加,若能恰好凑成整十、整百、整千、整万„,就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。
如:1+9=10,3+7=10, 2+8=10,4+6=10, 5+5=10。
又如:11+89=100,33+67=100, 22+78=100,44+56=100, 55+45=100, 在上面算式中,1叫9的“补数”;89叫11的“补数”,11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。
对于一个较大的数,如何能很快地算出它的“补数”来呢?一般来说,可以这样“凑”数:从最高位凑起,使各位数字相加得9,到最后个位数字相加得10。 如: 87655→12345, 46802→53198, 87362→12638,„ 下面讲利用“补数”巧算加法,通常称为“凑整法”。 2.互补数先加。 例1 巧算下面各题:
①36+87+64②99+136+101 ③ 1361+972+639+28 解:①式=(36+64)+87 =100+87=187
②式=(99+101)+136 =200+136=336
③式=(1361+639)+(972+28) =2000+1000=3000 3.拆出补数来先加。
例2 ①188+873 ②548+996 ③9898+203
解:①式=(188+12)+(873-12)(熟练之后,此步可略)
0
=200+861=1061
②式=(548-4)+(996+4) =544+1000=1544
③式=(9898+102)+(203-102) =10000+101=10101
4.竖式运算中互补数先加。 如:
二、减法中的巧算
1.把几个互为“补数”的减数先加起来,再从被减数中减去。 例 3① 300-73-27 ② 1000-90-80-20-10 解:①式= 300-(73+ 27) =300-100=200
②式=1000-(90+80+20+10) =1000-200=800
2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 例4① 4723-(723+189) ② 2356-159-256 解:①式=4723-723-189
1
=4000-189=3811 ②式=2356-256-159 =2100-159 =1941
3.利用“补数”把接近整十、整百、整千„的数先变整,再运算(注意把多加的数再减去,把多减的数再加上)。 例 5 ①506-397 ②323-189 ③467+997 ④987-178-222-390
解:①式=500+6-400+3(把多减的 3再加上) =109
②式=323-200+11(把多减的11再加上) =123+11=134
③式=467+1000-3(把多加的3再减去) =1464
④式=987-(178+222)-390 =987-400-400+10=197
三、加减混合式的巧算
1.去括号和添括号的法则
在只有加减运算的算式里,如果括号前面是“+”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都不变;如果括号前面是“-”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都要改变,“+”变“-”,“-”变“+”,即: a+(b+c+d)=a+b+c+d a-(b+a+d)=a-b-c-d a-(b-c)=a-b+c
2
例6 ①100+(10+20+30) ② 100-(10+20+3O) ③ 100-(30-10) 解:①式=100+10+20+30 =160
②式=100-10-20-30 =40
③式=100-30+10 =80
例7 计算下面各题: ① 100+10+20+30 ② 100-10-20-30 ③ 100-30+10
解:①式=100+(10+20+30) =100+60=160
②式=100-(10+20+30) =100-60=40 ③式=100-(30-10) =100-20=80 2.带符号“搬家” 例8 计算 325+46-125+54 解:原式=325-125+46+54 =(325-125)+(46+54) =200+100=300
3
注意:每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46,-125,+54.而325前面虽然没有符号,应看作是+325。
3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉 例9 计算9+2-9+3 解:原式=9-9+2+3=5 4.找“基准数”法
几个比较接近于某一整数的数相加时,选这个整数为“基准数”。 例10 计算 78+76+83+82+77+80+79+85 =640
第二讲 速算与巧算(二) 一、乘法中的巧算
1.两数的乘积是整十、整百、整千的,要先乘.为此,要牢记下面这三个特殊的等式:
5×2=10 25×4=100 125×8=1000 例1 计算①123×4×25 ② 125×2×8×25×5×4 解:①式=123×(4×25) =123×100=12300
②式=(125×8)×(25×4)×(5×2) =1000×100×10=1000000 2.分解因数,凑整先乘。 例 2计算① 24×25 ② 56×125 ③ 125×5×32×5 解:①式=6×(4×25)
4
=6×100=600
②式=7×8×125=7×(8×125) =7×1000=7000
③式=125×5×4×8×5=(125×8)×(5×5×4) =1000×100=100000 3.应用乘法分配律。
例3 计算① 175×34+175×66 ②67×12+67×35+67×52+6 解:①式=175×(34+66) =175×100=17500
②式=67×(12+35+52+1) = 67×100=6700
(原式中最后一项67可看成 67×1) 例4 计算① 123×101 ② 123×99 解:①式=123×(100+1)=123×100+123 =12300+123=12423 ②式=123×(100-1) =12300-123=12177 4.几种特殊因数的巧算。 例5 一个数×10,数后添0; 一个数×100,数后添00; 一个数×1000,数后添000; 以此类推。 如:15×10=150
5
15×100=1500 15×1000=15000
例6 一个数×9,数后添0,再减此数; 一个数×99,数后添00,再减此数; 一个数×999,数后添000,再减此数; „ 以此类推。
如:12×9=120-12=108 12×99=1200-12=1188 12×999=12000-12=11988
例7 一个偶数乘以5,可以除以2添上0。 如:6×5=30 16×5=80 116×5=580。
例8 一个数乘以11,“两头一拉,中间相加”。 如 2222×11=24442
6
偶数乘以15,“加半添0”. 24×15
=(24+12)×10 =360 因为 24×15
= 24×(10+5) =24×(10+10÷2)
=24×10+24×10÷2(乘法分配律) =24×10+24÷2×10(带符号搬家) =(24+24÷2)×10(乘法分配律)
例10 个位为5的两位数的自乘:十位数字×(十位数字加1)×100+25 如15×15=1×(1+1)×100+25=225
例9 一个
7
25×25=2×(2+1)×100+25=625 35×35=3×(3+1)×100+25=1225 45×45=4×(4+1)×100+25=2025 55×55=5×(5+1)×100+25=3025 65×65=6×(6+1)×100+25=4225 75×75=7×(7+1)×100+25=5625 85×85=8×(8+1)×100+25=7225 95×95=9×(9+1)×100+25=9025
还有一些其他特殊因数相乘的简便算法,有兴趣的同学可参看《算得快》一书。
二、除法及乘除混合运算中的巧算
1.在除法中,利用商不变的性质巧算
商不变的性质是:被除数和除数同时乘以或除以相同的数(零除外),商不变.利用这个性质巧算,使除数变为整十、整百、整千的数,再除。 例11 计算①110÷5②3300÷25 ③ 44000÷125
解:①110÷5=(110×2)÷(5×2) =220÷10=22
②3300÷25=(3300×4)÷(25×4) =13200÷100=132
③ 44000÷125=(44000×8)÷(125×8) =352000÷1000=352
2.在乘除混合运算中,乘数和除数都可以带符号“搬家”。 例12 864×27÷54 =864÷54×27 =16×27
8
=432
3.当n个数都除以同一个数后再加减时,可以将它们先加减之后再除以这个数。 例13① 13÷9+5÷9 ②21÷5-6÷5 ③2090÷24-482÷24 ④187÷12-63÷12-52÷12 解:①13÷9+5÷9=(13+5)÷9 =18÷9=2
②21÷5-6÷5=(21-6)÷5 =15÷5=3
③2090÷24-482÷24=(2090-482)÷24 =1608÷24=67
④187÷12-63÷12-52÷12 =(187-63-52)÷12 =72÷12=6
4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法:如果“括号”前面是乘号,去掉“括号”后,原“括号”内的符号不变;如果“括号”前面是除号,去掉“括号”后,原“括号”内的乘号变成除号,原除号就要变成乘号,添括号的方法与去括号类似。
即a×(b÷c)=a×b÷c 从左往右看是去括号, a÷(b×c)=a÷b÷c 从右往左看是添括号。 a÷(b÷c)=a÷b×c 例14 ①1320×500÷250 ②4000÷125÷8 ③5600÷(28÷6) ④372÷162×54
⑤2997×729÷(81×81)
9
解:① 1320×500÷250=1320×(500÷250) =1320×2=2640
②4000÷125÷8=4000÷(125×8) =4000÷1000=4
③5600÷(28÷6)=5600÷28×6 =200×6=1200
④372÷162×54=372÷(162÷54) =372÷3=124
⑤2997×729÷(81×81)=2997×729÷81÷81 =(2997÷81)×(729÷81)=37×9 =333
10
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