两条直线的垂直

撰稿：第一组 审稿：高二数学组 时间;2009/9/25

一、教学目标：

1.掌握用斜率判定两直线垂直的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想。

2.通过分类讨论，数形结合等数学思想的运用，培养学生思维的严谨性、辩证性。 二、教学重点：用斜率来判定两直线垂直的方法。 教学难点：数形结合求垂直直线的斜率和方程 三、知识链接:1.直线的倾斜角、斜率的概念 2.直线的方程及各种形式的互化 3.两条直线的平行 四、教学过程：

通过上一节课的学习，我们已经知道与直线Ax+By+C＝0平行的所在直线的方程可以表示为Ax+By+m＝0（m∈R，mC）

那么：与直线Ax+By+C＝0垂直的所有直线的方程又如何表示呢？

我们来看：

若l1⊥ l2（l1、l2都不与x轴垂直）

如图：作出两个直角三角形。（直角边分别平行于坐标轴）

STPQ=k2

设l1、l2的斜率为k1、k2，则：=k1，QRPS由于Rt⊿PST∽Rt⊿PQR（因为∠TPS=∠RPQ） 故

STPS=QRPQ

1k2从而k1=－ 即k1k2=－1

反过来，若k1k2=－1，则l1⊥ l2。因此，我们得到：

当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么，它们的斜率的乘积等于－1。反之；如果它们的斜率的乘积等于－1，那么它们互相垂直。即：

1

l1⊥ l2 k1k2=－1（k1、k2均存在）

还有其他的证明方法吗？

思考题：若l1、l2其中一条直线的斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？逆命题成立吗？

若一条直线的斜率不存在，且l1⊥ l2，则另一条直线的斜率为0。 逆命题同样成立。

例1：已知四点A(5,3)， B(10,6) ，C(3,-4)，D(-6,11) 求证：AB⊥CD

(1) 已知直线

l1的斜率k1=34，直线l2经过点A(3a，－2) ，

B（0,a2＋1），且l1⊥ l2，求实数a的值

2

例2如图：已知三角形的顶点为A(2,4), B（1, -2），C(-2,3),求BC边上的高AD所在的直线方程。

练习：判断两条直线的是否垂直： （1）2x3y73x2y4 （2）5x2y52x5y3

（3）x3y0 （4）2xy56x3y4如果它们垂直，试分别计算A1A2+ B1B2 的值

结论：（若两直线斜率存在） 对于两直线l1：A1x+B1y+C1＝0和l2：A2x+B2y+C2＝0,若l1⊥ l2， 则A1A2+ B1B2＝0

例3在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线（精确到0.01m）

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五、基础达标：

1.过原点O作直线l的垂线，垂足为点N（-2，1），则直线l的方程为 .

2.直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+(a-1)y+a2-1=0垂直，则a= . 3.已知△ABC顶点坐标为A（1，2），B（-1，1），C（0，3），求BC边上的高所在直线的方程

4.已知直线l1经过点A(2,a),B(a1,3)，直线l2经过点C(2,2),D(2,a2), （1）若l1//l2,求 a的值；（2）若l1l2,求a的值。

今天我的收获

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