2019全国中考数学压轴题二次函数压轴题(新颖题型)

定角对定边（弦）模型

1．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0） ∴

解得：

∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3 （2）在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形． ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 ∴顶点M（1，4） ∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20 设点P坐标为（0，p）

∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2 ①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2 ∴20+9+p2＝17﹣8p+p2

解得：p＝﹣ ∴P（0，﹣）

②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2 ∴9+p2+17﹣8p+p2＝20 解得：p1＝1，p2＝3 ∴P（0，1）或（0，3）

③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2 ∴20+17﹣8p+p2＝9+p2 解得：p＝ ∴P（0，）

综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM为直角三角形．

（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H ∵DG⊥x轴于点G

∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90° ∴四边形IEGH是矩形 ∵点I为△ADG的内心

∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG ∴矩形IEGH是正方形 设点I坐标为（m，n） ∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n ∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m ∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m ∵DA＝OA＝3

∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m ∴DG＝DH+HG＝m+n ∵DG2+AG2＝DA2

∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32

∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0 配方得：（m﹣）2+（n+）2＝

∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为∴当点I在线段CQ上时，CI最小 ∵CQ＝

∴CI＝CQ﹣IQ＝∴CI最小值为

．

的圆在第一象限的弧上运动

求面积最值有新意

1．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E． （1）求抛物线的表达式；

（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标； （3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．

解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；

（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8， ∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°， ∵∠PAE≠∠CAO，

∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC， 此时

，即：

，

，解得：

，

∴AE＝4PE，

设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k， ∴OE＝4k﹣2，

将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得： k＝0或则点P（

（舍去0）， ，

）；

（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°， ∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC， ∴

，

∴S△PDF＝而S

△BOC

•S△BOC，

＝16，BC＝

＝4

，

＝OB•OC＝

∴S△PDF＝

•S△BOC＝PD2，

即当PD取得最大值时，S△PDF最大， 将B、C坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，

设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8）， 则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4， 当m＝2时，PD的最大值为4， 故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝

．

定值问题

1.（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．

（1）填空：正方形的面积为 36 ；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是： 0＜k＜4或﹣8＜k＜0 ；

（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．

①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标； ②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．

﹣

的值；

解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6，

∴正方形面积为36；

有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0； 故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；

（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，yQ＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4， 当m＝﹣1，yQ最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4）， 当m＜﹣1时，yQ随m的增大而增大，当m＝﹣2时，yQ最小＝3， 当m＞﹣1时，yQ随m的增大而减小，当m＝4时，yQ最小＝﹣21， ∴3＞﹣21，

∴yQ最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），

∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）； ②当双曲线y＝经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4， ∴N（4，1），

∵顶点P（m，n）在边BC上， ∴n＝﹣2，

∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，

∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F， ∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2）， ∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2， ∴

＝

﹣

，

∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1）， ∵AE＝NF，点F在点N下方， ∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2， ∴12a（m﹣1）＝3， ∴a（m﹣1）＝， ∴

＝；

③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2）， ∴yM＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4）， 即yM＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），

∵a＞0，

∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，yM最小＝﹣2， 当m＝﹣2或4时，yM最大＝9a﹣2， 当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2， ∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2）， ∵点E在边AB上，且此时不与B重合， ∴﹣2＜36a﹣2≤4， ∴0＜a≤， ∴﹣2＜9a﹣2≤﹣， ∴yM≤﹣，

同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2， ∴E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2）， ∵点F在边CD上，且此时不与C重合， ∴﹣2＜36a﹣2≤4， 解得0＜a≤， ∴﹣2＜9a﹣2≤﹣， ∴yM≤﹣，

综上所述，抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方；

2.（2019•泰州）已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）． （1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）． ①求m，k的值；

②直接写出当y1＞y2时x的范围；

（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C．

①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；

②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交与点E．当m﹣n的值取不大于1的任意

实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．

解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2， 将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12； ②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；

（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n），

则BD＝2+n﹣m，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2 则BD＝BC或BD＝DC，

即：2+n﹣m＝m﹣n，或m﹣（2+n）＝2 即：m﹣n＝1或4； ②点E的横坐标为：d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣

，

）＝1+（m﹣n）（1﹣），

m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值， 当1﹣＝0时，此时k＝1，从而d＝1．

存在性问题

锐角三角形存在性

1．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．D为顶点，直线AC交对称轴于点E，直线BE交y轴于点F，AC：CE＝2：1． （1）求C点坐标，并判断b的正负性；

（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．

①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；

②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．

解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4）， ∵OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即∵a＞0，∴b＜0；

（2）①过点D作DM⊥Oy，

则∴

，

，

设A（﹣2m，0）m＞0，则AO＝2m，DM＝m ∵OC＝4，∴CM＝2， ∴D（m，﹣6），B（4m，0）， 则

∴OE＝8，

S△BEF＝×4×4m＝8， ∴m＝1，

∴A（﹣2，0），B（4，0）， 设y＝a（x+2）（x﹣4）， 即y＝ax2﹣2ax﹣8a， 令x＝0，则y＝﹣8a， ∴C（0，﹣8a）， ∴﹣8a＝﹣4，a＝， ∴

； ，

②由①知B（4m，0）C（0，﹣4）D（m，﹣6），则∠CBD一定为锐角， CB2＝16m2+16，CD2＝m2+4，DB2＝9m2+36， 当∠CDB为锐角时， CD2+DB2＞CB2，

m2+4+9m2+36＞16m2+16， 解得﹣2＜m＜2； 当∠BCD为锐角时， CD2+CB2＞DB2， m2+4+16m2+16＞9m2+36， 解得综上：故：

，．

，

；

相似存在唯一性

（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B． （1）点D的坐标是 （2，9） ；

（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似． ①当n＝

时，求DP的长；

②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围

＜n＜

．

解：（1）顶点为D（2，9）； 故答案为（2，9）；

（2）对称轴x＝2， ∴C（2，），

由已知可求A（﹣，0）， 点A关于x＝2对称点为（

，0），

则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13， ∴B（5，3）， ①当n＝∴DA＝

时，N（2，，DN＝

），

，CD＝

当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB， ∵△DAC∽△DPN， ∴∴DP＝9

， ；

当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA， ∴△DNQ∽△DCA， ∴∴DP＝9

， ；

；

综上所述，DN＝9

②当PQ∥AB，DB＝DP时， DB＝3∴∴DN＝∴N（2，

， ， ， ），

；

∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，＜n＜故答案为＜n＜

；

动点产生的图形存在性

1.（2019·邵阳）如图，二次函数y＝﹣x+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为

（8，0）

（1）求该二次函数的解析式，

（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A．B两点，过A．B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值， （3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值，若不能，请说明理由．

2

解：（1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣x+bx+c，得：

2

，解得：，

2

∴该二次函数的解析式为y＝﹣x+x． （2）当y＝m时，﹣x+x＝m， 解得：x1＝4﹣∴点A的坐标为（4﹣∴点D的坐标为（4﹣∵矩形ABCD为正方形，

，x2＝4+

，

，m）， ，0）．

2

，m），点B的坐标为（4+，0），点C的坐标为（4+

∴4+﹣（4﹣）＝m，

解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4． ∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．

（3）以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．

由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．

设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0）， 将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：

，解得：

，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．

当x＝2+t时，y＝﹣x+x＝﹣t+t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4， ∴点E的坐标为（2+t，﹣t+t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）． ∵以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF， ∴AQ＝EF，分三种情况考虑：

①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣t+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t+t， ∴t＝﹣t+t，

解得：t1＝0（舍去），t2＝4，

②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t+t， ∴8﹣t＝﹣t+t， 解得：t3＝4（舍去），t4＝6，

③当7＜t≤8时，如图3所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t+4﹣（﹣t+t+4）＝t﹣t， ∴8﹣t＝t﹣t， 解得：t5＝2﹣2

（舍去），t6＝2+2

．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

综上所述：当以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4，6或2+2

．．

已知角平分线的相关计算

1.（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点． （1）求抛物线L1对应的函数表达式；

（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标； （3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．

解：（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3）， 将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得

，解得

，

∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）， 第一种情况：AC为平行四边形的一条边，

①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3）， 将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得 ﹣2x﹣3＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2， 解得，x＝0或x＝﹣1，

因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P的坐标为（﹣1，0）；

②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3）， 将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得 y＝﹣x2﹣x+2，得

x2﹣2x﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2， 解得，x＝3，或x＝﹣，

此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，

）；

第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，

由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3）， 故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），

将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得 ﹣x2+2x﹣3═﹣（2﹣x）2﹣（2﹣x）+2， 解得，x＝0或x＝﹣3，

因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P的坐标为（﹣3，12），

综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣，

）或（﹣3，12）；

（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR， 当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方， 过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T， 过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°， 由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT， ∴△PSC∽△RTC， ∴

，

），点R坐标为（x2，

），

设点P坐标为（x1，

所以有，

整理得，x1+x2＝4，

在Rt△PRH中，tan∠PRH＝

＝

），

过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH， 所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，

所以2m＝解得，m＝所以点Q坐标为（

，

，

，﹣7+）或（，﹣7﹣）．

2.（19-20长郡期末25题）如图1，抛物线W: yax22的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为1,0．

（1）求直线AB的解析式；

（2）过点C作CEx轴，交x轴于点E，若AC平分DCE，求抛物线W的解析式； （3）若a1，将抛物线W向下平移mm0个单位得到抛物线W1，如图2，记抛物线2W1的顶点为A1，与x轴负半轴的交点为D1，与射线BC的交点为C1．问：在平移的过程

中，tanD1C1B是否恒为定值？若是，请求出tanD1C1B的值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）∵抛物线W：yax2的顶点为点A，

22)， ∴点A(0，设直线AB解析式为ykxb， ∵B（1，0），

b2∴，

kb0解得：k2，

b2∴抛物线解析式为：y2x2． （2）如图，过点B作BNCD于N， ∵AC平分，DCE,BNCD,BECE，

∴BNBE，

∵BNDCED90,BDNCDE， ∴VBND:VCED，

BNDB， CECDBEDB∴， CECD∴

∵AO//CE， ∴

BOBE1DB， AOCE2CD设BEx,BDy，则CE2x,CD2y， ∵CD2DE2CE2， ∴4y2xy4x2， ∴xy5x3y0， ∴y25x， 35x,0， 32∴点Cx1,2x，点D1∴点C，点D是抛物线W：yax2上的点，

2xax1222∴， 50a1x23∵x＞0，

5∴x11x， 3解得：x10(舍去)，x22239， 25539∴0a12， 325∴a25， 32252x2． 32y∴抛物线解析式为：

（3）tanD1C1B恒为定值，理由如下：

如图，过点C1作C1Hx轴于H，过点C作CGx轴G，过点B作BFCD于点F， ∵a=

1， 212

x-2， 2∴抛物线W的解析式为y=

∵将抛物线W向下平移m个单位，得到抛物线W1， ∴抛物线W1的解析式为：y12x2m， 2设点D1的坐标为t,0t0，

12t2m， 212∴2mt，

2∴0∴抛物线W1的解析式为：y1212xt， 22∵抛物线W1与射线BC的交点为C1，

y2x2∴1212，

yxt22x12tx22t(不合题意舍去)， 解得：，y22ty22t12∴点C1的坐标2t,22t， ∴C1H22t,OH2t，

∴D1HDO1OH2tt22t， ∴C1HD1H，且C1Hx轴，

C1D1H45o，

∵y12x2与x轴交于点D， 2∴点D2,0， ∵y2x2与y12x2交于点C，点A， 2y2x2∴， 12yx22x4x0解得：或，

y2y6∴点C4,6，A（0，-2），

∴GC6,DGODOG246， ∴DGCG，且CGx轴， ∴GDC45C1D1H， ∴C1D1//CD， ∴D1C1BDCB， ∴tanD1C1BtanDCB，

∵CDB45,BFCD,BDODOB213， ∴FDBFBD45o， ∴DFBF,DBo2DF3，

∴DFBF32， 2∵点D2,0，点C4,6， ∴CD24062262，

∴CFCDDF92， 2∴tanD1C1BtanDCB∴tanD1C1B恒为定值．

BF1， CF3

已知面积比的相关计算

1.（2019•十堰）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）若点P在抛物线上，且

＝m，试确定满足条件的点P的个数．

解：（1）由题意：，

解得，

（x﹣2）2+3，

∴抛物线的解析式为y＝﹣∴顶点D坐标（2，3）． （2）可能．如图1，

∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0）， ∴AB＝8，AD＝BD＝5，

①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD， ∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立． ②当DE＝EF时， 又∵△BEF∽△AED， ∴△BEF≌△AED， ∴BE＝AD＝5

③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA， △FDE∽△DAB， ∴∴

＝＝

， ＝，

∵△AEF∽△BCE ∴

＝

＝，

，

时，△CFE为等腰三角形．

∴EB＝AD＝

答：当BE的长为5或

（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣

（n﹣2）2+3]，

则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣×3＝﹣（n﹣4）2+， ∵﹣＜0，

∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，

（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4

∵＝m，

∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝＝，

观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P的个数有4个， 当m＝时，满足条件的点P的个数有3个，

当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．

2.（2019年湖南省益阳市）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．

（1）求抛物线对应的二次函数表达式，

（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由， （3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA．PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标． 提示：若点A．B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（

，

）．

解：（1）函数表达式为：y＝a（x﹣1）+4， 将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）+4， 解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x+2x+3，

（2）OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由： 如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，

S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM， ∴S△OME＝S△OBM， ∴S四边形OMAD＝S△OBM，

（3）设点P（m，n），n＝﹣m+2m+3，而m+n＝﹣1， 解得：m＝﹣1或4，故点P（4，﹣5），

如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，

22

2

2

由（2）知：点N是PQ的中点，

将点C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①， 同理直线AC的表达式为：y＝2x+2， 直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D（0，3）， 同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②， 联立①②并解得：x＝﹣，即点Q（﹣，）， ∵点N是PQ的中点，

由中点公式得：点N（，﹣）．

3.（2019年湖南省常德市）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交

于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式，

（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值，

（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的

？若存在，求出该点的横坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）+4， 将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1， 故函数表达式为：y＝﹣x+2x+3…①，

（2）设点M的坐标为（x，﹣x+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x+2x+3）， 则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x+2x+3，

矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x+2x+3）＝﹣2x+8x+2， ∵﹣2＜0，故当x＝﹣

＝2，C有最大值，最大值为10，

2

2

22

2

2

2

此时x＝2，点N（0，3）与点D重合， （3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的则S△PNC＝

×MN×GM＝

×2×3＝

， ，

连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n， 过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH， 过点P作PK∥⊥CD于点K，

将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，

OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3设点P（x，﹣x+2x+3），则点H（x，﹣x+3）， S△PNC＝

＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3

，

2

，

解得：PH＝＝HG，

则PH＝﹣x+2x+3+x﹣3＝， 解得：x＝， 故点P（，

），

2

直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②， 联立①②并解得：x＝即点P′、P″的坐标分别为（故点P坐标为：（，

4.（2019年湖南省湘西州）如图，抛物线y＝ax+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的

2

，

，，

）、（）或（

，

，

），

）．

）或（

边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．

（1）求抛物线的解析式，

（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值，

（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由，

（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

？若存

解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2 ∴A（2，0） ∵OA：AD＝1：3 ∴AD＝3OA＝6 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD⊥AB ∴D（2，﹣6）

∵抛物线y＝ax+bx经过点D、E ∴

解得：

2

2

∴抛物线的解析式为y＝x﹣4x

（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'

∵y＝x﹣4x＝（x﹣4）﹣8 ∴抛物线对称轴为直线x＝4

∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6） ∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称 ∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6） ∴AB＝CD＝4，B（6，0）

∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90° ∴∠BAM＝45° ∴BM＝AB＝4 ∴M（6，﹣4）

∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上 ∴M'（6，4），FM＝FM' ∵N为CD中点 ∴N（4，﹣6）

∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上 ∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'

∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'

∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小 ∴C12

四边形MNGF

22

＝MN+M'N'＝＝2+10＝

．

．

∴四边形MNGF周长最小值为12

（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为过点P作PE∥y轴交直线OD于点E ∵D（2，﹣6） ∴OD＝

2

，直线OD解析式为y＝﹣3x

设点P坐标为（t，t﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t） ①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧

∴PE＝yE﹣yP＝﹣3t﹣（t﹣4t）＝﹣t+t

∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE•xP+PE（•xD﹣xP）＝PE（xP+xD﹣xP）＝PE•xD＝PE＝﹣t+t ∵△ODP中OD边上的高h＝∴S△ODP＝OD•h ∴﹣t+t＝×2方程无解

②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧 ∴PE＝yP﹣yE＝t﹣4t﹣（﹣3t）＝t﹣t

∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE•xP﹣PE（•xP﹣xD）＝PE（xP﹣xP+xD）＝PE•xD＝PE＝t﹣t

∴t﹣t＝×2

2

2

2

2

2

2

22

，

×

×

解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6 ∴P（6，﹣6）

综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L ∵KL平分矩形ABCD的面积

∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4 ∴K（m，0），L（2+m，0） 连接AC，交KL于点H ∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD ∴S△AHK＝S△CHL ∵AK∥LC ∴△AHK∽△CHL ∴

．

∴AH＝CH，即点H为AC中点

∴H（4，﹣3）也是KL中点 ∴∴m＝3

∴抛物线平移的距离为3个单位长度．

4．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2 （1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？

（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．

①若AP＝AQ，求点P的横坐标； ②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．

（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．

解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；

（2）y＝（x﹣1）2﹣4与x轴正半轴的交点A（3，0）， ∵直线y＝﹣x+b经过点A， ∴b＝4， ∴y＝﹣x+4，

y＝﹣x+4与y＝（x﹣1）2﹣4的交点为﹣x+4＝（x﹣1）2﹣4的解， ∴x＝3或x＝﹣， ∴B（﹣，

），

设P（t，﹣t+4），且﹣＜t＜3， ∵PQ∥y轴， ∴Q（t，t2﹣2t﹣3）， ①当AP＝AQ时， |4﹣t|＝|t2﹣2t﹣3|， 则有﹣4+t＝t2﹣2t﹣3， ∴t＝，

∴P点横坐标为；

②当AP＝PQ时，

PQ＝﹣t2+t+7，PA＝（3﹣t）， ∴﹣t2+t+7＝（3﹣t）， ∴t＝﹣；

∴P点横坐标为﹣；

（3）设经过M与N的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2， ∴

，

则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，

△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0， ∴k＝2m，

直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2， ∴E（

，mn），

﹣n）﹣（m2﹣mn）

∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（×（m﹣

）＝2，

＝4，

∴（m﹣n）3﹣∴（m﹣n）3＝8， ∴m﹣n＝2；

含参数二次函数分类讨论

1．（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．

（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；

（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；

（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围． 解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b， ∴

，

∴，

∴y＝x﹣；

联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0， ∵抛物线C与直线l有交点， ∴△＝9﹣8a≥0， ∴a≤且a≠0；

（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1， ∵a＜0，

∴抛物线开口向下，对称轴x＝1， ∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4， ∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4， ∴x＝﹣1或x＝3，

①在x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4， ∴m＝﹣3；

②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小， ∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4； 综上所述：m＝﹣3或m＝3； （3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1， 即a≤﹣2；

②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，

即a≥，

直线AB的解析式为y＝x﹣， 抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣， ∴ax2+x+＝0， △＝﹣2a＞0， ∴a＜，

∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；

2.（2019•长沙）已知抛物线y＝﹣2x+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．

（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值，

（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围， （3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好

，求m，n的值．

解：（1）由题可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）+1＝﹣2x+4x﹣1． ∴

．

2

2

2

≤≤

∴b＝6，c＝2019．

（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0）， 代入解析式可得：

∴两式相加可得：﹣4x0+2（c﹣2020）＝0． ∴c＝2x0+2020， ∴c＞2020，

（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）+1． ∴y≤1．

∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好

≤

≤

，

2

2

2

2

．

∴∴

≤． ．

∴≤1，即m≥1． ∴1≤m＜n．

∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下， ∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小． ∴当x＝m时，y最大值＝﹣2m+4m﹣1． 当x＝n时，y最小值＝﹣2n+4n﹣1． 又

，

2

2

∴．

将①整理，得2n﹣4n+n+1＝0，

变形，得2n（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0． ∴（n﹣1）（2n﹣2n﹣1）＝0． ∵n＞1，

∴2n﹣2n﹣1＝0． 解得n1＝

（舍去），n2＝

2

2

22

32

．

同理，由②得到：（m﹣1）（2m﹣2m﹣1）＝0． ∵1≤m＜n， ∴2m﹣2m﹣1＝0． 解得m1＝1，m2＝综上所述，m＝1，n＝

（舍去），m3＝

．

（舍去）．

2

3.（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）． （1）求b，c满足的关系式；

（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式； （3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．

解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c， 得﹣2b+c＝0， ∴c＝2b； （2）m＝﹣，n＝∴n＝

，

，

∴n＝2b﹣m2，

（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣对称轴x＝﹣，

当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；

此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25， ∴最大值与最小值之差为25；（舍去）

当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0， ∴0≤b≤8， ∴﹣4≤x＝﹣≤0，

当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣

+2b， +2b，

当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b， 当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b； 函数的最大值与最小值之差为16， 当最大值1+3b时，1+3b+∴b＝6或b＝﹣10， ∵4≤b≤8， ∴b＝6；

当最大值25﹣3b时，25﹣3b+∴b＝2或b＝18， ∵2≤b≤4， ∴b＝2；

﹣2b＝16， ﹣2b＝16，

综上所述b＝2或b＝6；

求抛物线解析式

1.（2019·怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，

将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标,

（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点． ①若S△PMN＝2，求k的值,

②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形,

③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

2

解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3， 即点A．B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0）， 则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x﹣2x﹣3）， 即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故函数表达式为：y＝﹣x+2x+3， 点P（1，4）,

（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得： x﹣（2﹣k）x﹣k＝0，

设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），

2

2

2

则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，

则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k， 同理：y1y2＝9﹣4k，

①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3）， S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4， |x2﹣x1|＝解得：k＝±2

,

，

2

2

②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4）， 则直线PM表达式中的k1值为：

，直线PN表达式中的k2值为：

，

为：k1k2＝故PM⊥PN，

＝＝﹣1，

即：△PMN恒为直角三角形,

③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，

设点H坐标为（x，y）， 则x＝

＝1﹣k，

2

y＝（y1+y2）＝（6﹣k）， 整理得：y＝﹣2x+4x+1，

即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x+4x+1．

2.（2019·株洲）已知二次函数y＝ax+bx+c（a＞0）

（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1

22

2

①求该二次函数图象的顶点坐标，

②定义：对于二次函数y＝px+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax+bx+c有两个不同的“不动点”．

（2）设b＝c，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若

＝

，求二次函数的表达式．

3

2

2

2

解：（1）①∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1 ∴y＝x﹣2x﹣1＝（x﹣1）﹣2

∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2） ②证明：当y＝x时，x﹣2x﹣1＝x 整理得：x﹣3x﹣1＝0

∴△＝（﹣3）﹣4×1×（﹣1）＝13＞0 ∴方程x﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根 即二次函数y＝x﹣2x﹣1有两个不同的“不动点”． （2）把b＝c代入二次函数得：y＝ax+cx+c

∵二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0） 即x1、x2为方程ax+cx+c＝0的两个不相等实数根

2

3

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

∴x1+x2＝﹣，x1x2＝

∵当x＝0时，y＝ax+cx+c＝c ∴C（0，c） ∵E（1，0） ∴CE＝

，AE＝1﹣x1，BE＝x2﹣1

23

∵DF⊥y轴，OC＝OD ∴DF∥x轴 ∴∴EF＝CE＝

，CF＝2

∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB ∴△AEF∽△CEB ∴

，即AE•BE＝CE•EF

2

∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1+c 展开得：1+c＝x2﹣1﹣x1x2+x1 1+c＝﹣

3

22

2

﹣1﹣

c+2ac+2c+4a＝0 c（c+2a）+2（c+2a）＝0 （c+2）（c+2a）＝0 ∵c+2＞0

∴c+2a＝0，即c＝﹣2a ∴x1+x2＝﹣

2

222

＝4a，x1x2＝

2

2

＝﹣2，CF＝2

4

＝2

∴（x1﹣x2）＝（x1+x2）﹣4x1x2＝16a+8 ∴AB＝x2﹣x1＝

∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P ∴△PFC∽△PBA ∴

∴

解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去） ∴c＝﹣2a＝﹣2，b＝c＝﹣4 ∴二次函数的表达式为y＝x﹣4x﹣2

3．（2019•孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．

（1）点A的坐标为 （﹣2，0） ，点B的坐标为 （4，0） ，线段AC的长为 2抛物线的解析式为 y＝x2﹣x﹣4 ．

（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．

①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．

②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小．

，23

解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a＝， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4，

令y＝0，则x＝4或﹣2，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）， 则AC＝2

，

故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2

、y＝x2﹣x﹣4；

（2）①当BC是平行四边形的一条边时，

如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B， 设：点P（n，n2﹣n﹣4），点Q（m，0），

则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q， 即：n+4＝m，n2﹣n﹣4+4＝0， 解得：m＝4或6（舍去4）， 即点Q（6，0）；

②当BC是平行四边形的对角线时，

设点P（m，n）、点Q（s，0），其中n＝m2﹣m﹣4， 由中心公式可得：m+s＝﹣2，n+0＝4， 解得：s＝2或4（舍去4）， 故点Q（2，0）；

故点Q的坐标为（2，0）或（6，0）；

（3）如图2，过点P作PH∥x轴交BC于点H，

∵GP∥y轴，∴∠HEP＝∠ACB， ∵PH∥x轴，∴∠PHO＝∠AOC， ∴△EPH∽△CAO，∴则EP＝

PH，

，即：

，

设点P（t，yP），点H（xH，yP）， 则t2﹣t﹣4＝xH﹣4， 则xH＝t2﹣t， f＝

PH＝[t﹣（t2﹣t）]＝﹣

（m2﹣4m），

（m2﹣2m），

（t2﹣4t），

当t＝m时，f1＝

当t＝4﹣m时，f2＝﹣则f1﹣f2＝﹣

m（m﹣），

则0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0， f1＞f2．