常微分证明题及解答

证 明 题（每题10分）

1、设函数f (t)在[0,)上连续且有界，试证明方程

有界.

2、设函数f (x),p(x)在[0,）上连续，且求证：方程

xdxxf(t)的所有解均在[,)上dtlimp(x)a0且|f(x)|b(a,b,为常数)

dypxyf(x)的所有解均在[,)上有界. dxx3、设函数f (x)在[0,）上连续，且limf(x)b又a>0，

dybayf(x)的一切解y(x)，均有limy(x)

xdxa4、设函数y (x)在[0,)上连续且可微，且lim[y'(x)y(x)]0试证limy(x)0

求证：方程

xx5、若y1(x),y2(x)为微分方程yp1(x)y(x)p2(x)y0的两个解，则它们的朗斯基

行列式为w(y1,y2)kep1(x)dx其中k为由y1(x),y2(x)确定的常数

6、已知f(x)是连续函数。 （1）求初值问题yayf(x)的解y(x)，其中a是正常数。

y|x00k(1eax)。 ax1ftdt0f(x)f(x)7、已知当x1时f(x)具有一阶连续导数，且满足 x10f(0)1（2）若|f(x)|k（k为常数），证明当x0时有|y(x)|（1）求f(x)；（2）证明：当x0时有exf(x)1。

8、设y1(x),y2(x)是方程yp(x)yq(x)的两个不同的解，求证它的任何一个解y(x)满

y(x)y1(x)K （K为常数）

y2(x)y1(x)9、当x时，f(x)连续且|f(x)|M。证明：方程

yyf(x) （1）

在区间x上存在一个有界解，求出这个解。并证明：若函数f(x)是以为周期的周期函数，则这个解也是以为周期的周期函数。

10、设函数f(u),g(u)连续可微，且f(u)g(u)，试证方程yf(xy)dxxg(xy)dy0

1有积分因子 [xy(f(xy)g(xy))]

11、证明方程M(x,y)dxN(x,y)dy0具有形如[(x,y)]的积分因子的充要条件

足恒等式： 为

MNNMf[(x,y)]，并求出这个积分因子。 yxxy1 1

《常微分方程》证明题及答案 2

12、证明贝尔曼（Bellman）不等式。设k为非负常数，f(t)和g(t)是区间t上的

非负连续函数，且满足不等式 f(t)k则有 f(t)kexpf(s)g(s)ds,tt

tg(s)ds， t。

13、设在方程yp(x)yq(x)y0中，p(x)在某区间I上连续且恒不为零，试证：它的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I上的严格单调函数。

14、假设x1(t)0是二阶齐次线性方程 xa1(t)xa2(t)x0 的解，这里a1(t)和

a2(t)是区间[a,b]上的连续函数。试证：x2(t)为方程的解的充要条件是&W[x,x]aW[x,x]0。其中W[x,x]表示x(t),x(t)的朗斯基行列式。

12112121215、在方程y3y2yf(x)中，f(x)在[a,)上连续，且limf(x)0。试证明：

x已知方程的任一解y(x)均有limy(x)0。

x16、设f(x)为连续函数，且满足f(x)sinxx0(xt)f(t)dt。求证：

1xf(x)sinxcosx.

22dx(t)17、设X(t)是常系数线性方程组Ax(t)的基解矩阵，适合条件X(0)E，试证对

dt任何t,s成立等式 X(ts)X(t)X(s). 18、设X(t)是连续的n阶方阵，X(0)存在，且适合关系X(ts)X(t)X(s)，|X(0)|0.

dX(t)试证：存在n阶常值方阵A，使得AX(t)。

dt1、证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t0[0+)

由一阶线性方程的求解公式有x(t)证 明 题 答 案

x0e(tt0)tt0f(s)e(st)ds

现只证x(t)在[t0,+)有界，设|f(t)|M,t[0+) 于是对t0t<+有

|x||x0|eM(tt0)(t0t)tt0|f(s)|eM(st)ds |x0|+Metesds

t0t |x0|+M[1e] |x0|+M 即证

2、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件 y(x0)=y0,x0[0,)由一阶线性方程的求解公式有

y(x)y0ex(xx0)f(s)e(sx)ds

x0x现只证y(x)在[x0,+)有界，不妨设x0充分大 于是对x0x<+有 limp(x)a0,则存在M1>0,使当x x0时,有p(x)M1

2

《常微分方程》证明题及答案 3

|y||y0|e |y0|+

M(xx0)xx0|f(s)|eM(st)ds

b(1eM(xx0)) |y0|+b 即证 。 M1M1x3、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件

y(x0)=y0,x0[0,)由一阶线形方程的求解公式有

yy0ea(xx0)f(s)exa(sx)ds yy0ea(xx0)eaxf(s)eds

asx0x0 两边取极限

a(xxx0)axxlimy(x)xlimy0exlimexf(s)easds

0xasax=limxf(s)eds0=

f(x)bxeaxxlimeaeaxa 4、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0[0,)

由一阶线性方程的求解公式有

y(x)y(xxx0e0)xf(s)e(sx)ds

0

y(xx0e0)exxxf(s)esds

0两边取极限

limx)xsexf(x)xy(xlimy(xx0e0)xlimexxf(s)eds=0+lim0xex 5、证明：由朗斯基行列式定义有

w(yy21,y2)y1y'y'y1y'2y'1y2 12

dwdx(y1y2y1y2)=y1y''2y''1y2p1(yy'2y'1y)p1(x)w p1(x)dx法求解有w(y1y2)k显然k为由y1(x),y2(x)确定的常数

6、证：（证法一）

（1）原方程的通解为

y(x)eadxaxdxCf(x)edxCeaxeaxf(x)eaxdx 记F(x)为f(x)eax的任一原函数y(x)CeaxeaxF(x)。 由 y|x00 得到 CF(0)。

所以 y(x)eaxF(x)F(0)eaxx0f(t)eatdt

用分离变量3

《常微分方程》证明题及答案 4

1axk(e1)(1eax) 00aaaxaxaxax（证法二）（1）在方程两边乘以e（积分因子） y'eayef(x)e

（2）|y(x)|eaxx|f(t)|edtkeataxxeatdtkeaxaxax从而 (ye)'f(x)e 由 y(0)0 得到：yeaxf(t)eatdt

x0即 yeaxx0f(t)eatdt

（2）证法同上 7、解：（1）由题设知f(0)f(0)0。则 f(0)f(0)1 且

(x1)[f(x)f(x)]ftdt

0x令 yf(x)两边求导得到 (x1)(yy)y0设 yp(x) y'p(x) 得

(x1)

dpx2dx px1两边积分得 lnpxln(x1)lnc1 yp代入初始条件 p(0)f(0)1,c1

cxe x1ex故 f(x)x1(x1)

（2）利用拉格朗日中值定理知：当x0时

ef(x)f(0)f()xx0 在0和x之间

1于是 f(x)f(0)1

1xxxx另外 (f(x)e)f(x)eee0(x0)

1xxx所以 f(x)e 在(0,)单调增加，而(f(x)e)|x0f(0)10。故当x0有f(x)e)0。

xf(x)1。

8、证：由通解公式知：任一解yy(x)可由公式

从而 当x0时 exCq(x)ep(x)dxdx （1）

表示，其中C为y(x)对应的某常数。y1(x),y2(x)也应具有上述形式，设它们分别对应

y(x)y1(x)CC1K 常数C1,C2且C1C2，则由（1）式得

y2(x)y1(x)C2C1y(x)ep(x)dx9、证：方程（1）的通解为 ye1）取CxCxetf(t)dt （2）

00，得解 etf(t)dt（由假设知，此广义积分收敛）

4

《常微分方程》证明题及答案

x5

y(x)exf(t)etdt （3）

则由x(,)，|f(x)|M易证 |y(x)|Mx(,) 此即为（1）的一个有界解。

2）若f(x)f(x)，对（1）中确定的解（3），当x(,)有

y(x)e令tz，则上式右端为

x(x)xf(t)etdt

xe(x)ezf(z)dzexef(z)ezdz

e所以y(x)也是以为周期的周期函数。 10、证：用乘方程两端，得

xxf(z)ezdzy(x)

f(xy)g(xy)dxdy0 (1)

x[f(xy)g(xy)]y[f(xy)g(xy)]f(xy)g(xy),N(x,y)因为 M(x,y)

x[f(xy)g(xy)]y[f(xy)g(xy)]MN1f(xy)xf(xy)g(xy)f(xy)xf(xy)g'(xy) 2yxxf(xy)g(xy)f(xy)g(xy)f(xy)g(xy) 2f(xy)g(xy)所以（1）是全微分方程。

11、证：方程有积分因子(x,y)的充要条件是 NMNM， xyyxMNM令[(x,y)]，则有 N[(x,y)] xyyx即[(x,y)]满足下列微分方程

1dMNNM [(x,y)] dyxxy上式右端应为(x,y)的函数，这就证明了[(x,y)]为方程的积分因子的率要条件MNNM为 f[(x,y)] xxyyf((x,y))d求解（1）式得 [(x,y)]e。

12、证：1）k0时，令

1(t)kf(s)g(s)ds,t

则'(t)f(t)g(t)g(t)(t)，由(t)0可得

(t)g(t) (t)5

《常微分方程》证明题及答案

t6

两边从到t积分得 ln(t)ln()即有

g(s)ds

k0所以

即有

g(s)ds(t)kexpg(s)dsf(t)(t)kexpg(s)ds(t)exp()ttt， t。

，所以

2）k0时，对任意0，由于f(t)tf(s)g(s)dst，有f(t)expf(t)f(s)g(s)ds。由1）

tg(s)ds。当0时，有

f(t)0。因为f(t)0，即得f(t)0。从而

f(t)kexpg(s)dst， t

由1），2）知，不等式成立。证毕。

13、证：设y1(x),y2(x)是已知方程的定义在区间I上的任意两个线性无关的解。根据刘维

尔公式有 W(x)W(x0)ex0p()dx

xp()ddW(x)W(x)0W(x0)p(x)ex0其中。考察 0dx由于W(x0)0，p(x)在I上恒不等于零，并且ex0p()dx0，故在I上

dW(x)恒dx为正或恒为负，从而W(x)在I上是严格单调函数。

x1&14、证：充分性。因为 W[x1,x2]x1x2x1x2x1x1x1x2 x2x2xa1(t)1x2x1x2 x2W[x1,x2]a1(t)W[x1,x2]x1a1(t)x1x1而x1(t)0是已知方程的解，所以

x20

a1(t)x1x2x1x21x2x10

a1(t)x2a1(t)x2a2(t)x1x2a2(t)x2a1(t)x2a2(t)x20， 即x2(t)是已知方程的解。 故有 x2必要性。因为W[x1,x2]为方程的解x1(t),x2(t)的朗斯基行列式

W[x1,x2]x1x2x1x2x1a2(t)x1x1x2

a2(t)x2x26

《常微分方程》证明题及答案 7

x1x2xxa1(t)12a1(t)W[x1,x2]

a1(t)x2x2a1(t)x1x1即W[x1,x2]满足 W[x1,x2]a1W[x1,x2]0。

2xx15、证：已知方程对应的齐次方程的通解为 yC1eC2e

2xx现在利用常数变易法求已知方程形如 y1C1(x)eC2(x)e

(x)ex0C1(x)e2xC2(x),C2(x)所满足的方程组 的一个特解。得到C1 2xx(x)ef(x)2C1(x)eC2解得 C(x)e2xf(x),Cx11(x)0e2tf(t)dt C2(x)exf(x),Cx1(x)0etf(t)dt

故已知方程的通解为

yC2x2x1eCx2eex2tx0ef(t)dtext0ef(t)dtxetf(t)dti) 若x00etf(t)dt有界，则显然有xlimex0；

ii)

若

x0etf(t)dt无界，

x由洛必达法则 lim0etf(t)dtexf(xexxlimx)exxlimf(x)0 同理可证

x2txlim0ef(t)dte2x0

由（1）式即得 xlimy(x)0

即证明了已知方程的任一解y(x)，当x时，均有y(x)趋向于零。

16、证：这是一个含求知数的积分方程，将它转化为微分方程求解。

f'(x)cosxx0xf(t)dtxtf(t)dt0

cosxxf(x)xf(x)xf(t)dtcosxx00f(t)dt

f(x)sinxf(x)

即 f(x)f(x)sinx 并且，由已知方程知 f(0)0,f(0)1 解（1）得 f(x)Cx1sinxC2cosx2cosx

再将初始条件（2）代入上式，得 C112,C20

（1）

1）

2）

7

（ （ 《常微分方程》证明题及答案 8

1xsinxcosx. 2217、证：令 1(t)X(t)X(s)C（C是常向量）

故 f(x)2(t)X(ts)C

d1(t)dX(t)那么 X(s)C （1）

dtdtd2(t)dX(ts)d(ts)C （2） dtd(ts)dtdX(t)因为X(t)是、（2）两式还成立 AX(t)的基解矩阵，所以（1）

dtd1(t)d2(t)AX(t)X(s)CA1(t),AX(ts)CA2(t) dtdt2(0)X(s)C 又因为X(0)E，所以有 1(0)X(s)C,所以根据解的唯一性定理可知 X(ts)CX(t)X(s)C 因而有 X(ts)X(t)X(s)

证毕。

18、证：因为 X(ts)X(t)X(s) （1）

若令s0，则有 X(t)X(t)X(0) （2） 由于|X(0)|0，所以X(0)存在。那么由（2）式可得

1X(t)X(t)X1(0) （3）

由（2）、（3）两式可得 X(0)X(0)， 即 X(0)E

若在（1）式中令ts，则有X(0)X(s)X(s)E，因而 X(s)X(s)

11dX(ts)dX(t)dX(ts)1dX(t) X(s)两边乘X1(s)，得 X(s)dtdtdtdtdX(t)dX(t)1X(t)此时若令ts，并注意到X(t)X(t)，则有

dtt0dtdX(t)dX(t)取A|t0，则有 AX(t)

dtdt在证毕。

8