函数定义域与值域教案

起航学校个性化辅导教案提纲

第 8次课 学生： 段志豪 授课时间: 2012 年 7 月 31 日 8 ： 00 --- 10 ： 30 教师 唐文 审核教师 授课课题 函数的概念 一、 授课目的与考点分析： 1. 了解构成函数的要素，了解映射的概念,注意函数与映射的区别； 2. 会求一些简单函数的定义域和值域; 二、 授课内容： 一.映射： 定义：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。A中的元素就叫做原象，B中的元素就叫做象。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。 在理解映射概念时要注意： ⑴A中元素必须都有象且唯一； ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 例1．下列对应中，哪些是A到B的映射？ a b c a b c 1 2 1 2 A ⑴ B A ⑵ B 1 2 3 a b a b c 1 2 ⑶ ⑷ 例2：设f:MN是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是M中所在元素的象的集合； 变式训练1： 起航学校 他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航 TEL:82749360 起航学校-----您值得信赖的专业个性化辅导学校

（1）点(a,b)在映射f的作用下的象是(ab,ab)，则在f作用下点(3,1)的原象为点________； （2）在对应法则 2f:xx（3）设是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则AB一定是_____. xy,yxb,xR,yR中,若25,则2________，________6； (4) 若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,cR，则A到B的映射有_____个，B到A的映射有_____个。 二．函数 函数定义，即“y=f(x)”的含义：函数f: AB是特殊的映射。函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。 1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”注意：○； 2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． ○③据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。 2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。 3．同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。 例3. 下列函数中哪个与函数y=x相等? x2(1)y=(x) ; (2)y=x ; (3) y=x; (4) y= x2332 4. 函数定义域的求法：I.列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等. 注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提，在研究函数问题时要树立定义域优先的原则。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。 例4．已知函数f(x)=x3 +1 x22)； （3）当a>0时，求f(a), f(a-1)的值。 3(1)求函数的定义域； （2）求f(-3)，f( yx4xlgx32例5：（1）函数的定义域是__ __； 起航学校 他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航 TEL:82749360

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（2）求函数f(x) II.抽象函数的定义域 方法：:复合函数的定义域：若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式x23x4的定义域. x12ag(x)b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于当x[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）。 例6： 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2) y=f(x)f(x); 变式训练：（1）若函数yf 2f(x1)的定义域为[2,1)，则函数f(x)的定义域为________ （2）若函数13131,2(x)的定义域为2，则f(log2x)的定义域为__________； 5.函数值域（最值）的求法： ①配方法(二次或四次)； 2yx2x5,x[1,2]的值域； 例7：求函数 ②．换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如 例8. 求下列函数的值域： 2（1）y=x-12x; （2）yx49x的值域为____； 变式：y2x1 ③判别式法； x1的值域为_____ ――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： b①y型，可直接用不等式性质，如 2kx起航学校 他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航 TEL:82749360

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求y 3的值域 22xbx型，先化简，再用均值不等式，如 x2mxnx求y的值域 21x②y x2mxn③y2型，通常用判别式法；如 xmxnmx28xn已知函数ylog3的定义域为R，值域为[0，2]，求常数m,n的值 2x1（答：mn5） x2mxn④y型，可用判别式法或均值不等式法，如 mxnx2x1求y的值域 x1（ ④反函数法（反解法）； 例9．y= ex1ex1. ⑤不等式法――利用基本不等式ab2ab(a,bR)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 (a1a2)2例10.设x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，其中x，y均大于0，则的取值范围是__. b1b2 ⑥单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性， 例11.求（1）yx1(1x9)， （2）y=1x， 2x5x ⑦数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等， 例12.求函数 y(x2)2(x8)2的值域（答：[10,)）； 三、本次课后作业： 函数习题见附件 起航学校 他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航 TEL:82749360

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四、学生对于本次课的评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 五、教师评定： 1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教师签字： 家长签字： 学习管理师签字： 起航学校教务处 起航学校 他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航 TEL:82749360