高中三角函数的概念

高中三角函数的概念(总4页)

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高中三角函数的概念

【考点导读】

1．

理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．

角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合Sk360,kZ；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式

1lr及扇形的面积公式S＝lr（l为弧长）解决问题.

22． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.

角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点P(x,y)（不同于坐标原点），设

OPr（rx2y20），则的三个三角函数值定义为：sinyxy,cos,tan． rrx从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域为{|R,k3．

2,kZ}．

掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．

由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、

、、、的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处. 6432掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．

4．

2

在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题．

【基础练习】

13 121． 885化成2k(02,kZ)的形式是 ．

6所在的象限是 ． 第二或第四象2125 

13 ， tan= 5 ． 3．已知角的终边过点P(5,12)，则cos= 2．已知为第三象限角，则4．

tan(3)sin5的符号为

正 ． cos85．已知角的终边上一点P(a,1)（a0），且tana，求sin，cos的值．

解：由三角函数定义知，a1，当a1时，sin22，cos． 2222，cos；

22当a1时，sin【范例解析】

例1.（1）已知角的终边经过一点P(4a,3a)(a0)，求2sincos的值； （2）已知角的终边在一条直线y3x上，求sin，tan的值． 分析：利用三角函数定义求解．

3解：（1）由已知x4a，r5a．当a0时，r5a，sin，

542cos，则2sincos；

55342当a0时，r5a，sin，cos，则2sincos．

555（2）设点P(a,3a)(a0)是角的终边y3x上一点，则tan3； 当a0时，角是第一象限角，则sin3

3； 2当a0时，角是第三象限角，则sin点评：要注意对参数进行分类讨论．

3． 2例2.（1）若sincos0，则在第_____________象限． （2）若角是第二象限角，则sin2，cos2，sin定是正值的有____个．

解：（1）由sincos0，得sin，cos同号，故在第一，三象限． （2）由角是第二象限角，即

2，cos2，tan2中能确

22k2k，得

4k22k，4k224k，故仅有tan2为正值．

点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．

例3. 一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大最大面积是多少

分析：选取变量，建立目标函数求最值．

解：设扇形的半径为x㎝，则弧长为l(202x)㎝，故面积为

1y(202x)x(x5)225，

2当x5时，面积最大，此时x5，l10，所以当2弧度时，扇形面积最大25cm2．

点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．

【反馈演练】

1．若sincos且sincos0则在第_______二 象限． 2．已知6，则点A(sin,tan)在第________象限．

三

4

l2， x3．已知角是第二象限，且P(m,5)为其终边上一点，若cos122m，则m43

的值为_______．

4．将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为 ．

16

235．若46，且与终边相同，则= ． 1

36．已知1弧度的圆心角所对的弦长

1

1cos1sin12_______，这2，则这个圆心角所对的弧长是

个圆心角所在的扇形的面积是___________．

7．（1）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．

（2）若扇形的面积为8cm2，当扇形的中心角(0)为多少弧度时，该扇形周长最小．

简解：（1）该扇形面积2cm2；

2rly16（2）1，得y2r82，当且仅当r22时取等号．此时，rrl82l42，l2． r

5