一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 在平面直角坐标系中，已知角
点
，则
的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．终边过
A.
B.
C.
D.
2. 若𝑡𝑎𝑛280°=𝑎，则𝑠𝑖𝑛80°的结果为( )
A. −𝑎
1
B. √1+𝑎2 𝑎C. −√1+𝑎2 𝑎D. −√1+𝑎2 1⃗ ，⃗ 3. 设𝑎𝑏为非零向量，且|𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏|=|𝑎⃗ ||⃗ 𝑏|，那么( )
A. 𝑎⃗ ⊥⃗ 𝑏 ⃗ ，⃗ B. 𝑎𝑏同向 ⃗ ，⃗ C. 𝑎𝑏反向 ⃗ ，⃗ D. 𝑎𝑏平行
⃗ 均是非零向量，且|𝑎⃗ 与⃗ 4. 设𝑎⃗ 、𝑏⃗ |=2|⃗ 𝑏|，若关于x的方程𝑥2+|𝑎⃗ |𝑥+𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏=0有实根，则𝑎𝑏的
夹角的取值范围为( )
A. [0,6]
𝜋
B. [3,𝜋]
𝜋
C. [3,3]
𝜋2𝜋
D. [6,𝜋]
𝜋
5. 函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠2𝑥是( )
A. 最小正周期为𝜋的偶函数 C. 最小正周期为2𝜋的奇函数
B. 最小正周期为𝜋的奇函数 D. 最小正周期为2√2𝜋的偶函数
6. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A. 所有不能被2整除的整数都是偶数 B. 所有能被2整除的整数都不是偶数 C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数 D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数
7. 已知函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|<𝜋)的部分图象如
图，为了得到𝑔(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠2𝑥的图象，可以将𝑓(𝑥)的图象( )
A. 向右平移个12单位 B. 向左平移个12单位 C. 向右平移个12单位
5𝜋𝜋
𝜋
D. 向左平移个12单位
8. 已知向量𝑎⃗ =(2𝑐𝑜𝑠2𝑥,√3)，⃗ 𝑏=(1,𝑠𝑖𝑛2𝑥).设𝑓(𝑥)=𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏，若𝑓(𝛼−3)=2，𝛼∈[2,𝜋]，则
sin(2𝛼−)=( )
6
3
A. −√2
𝜋
𝜋
𝜋
5𝜋
B. 2
)的值是
1
C. −2
1
3 D. √2
9. cos(
A.
B. −
C.
D.
10. 如图，在离地面高400 𝑚的热气球上，观测到山顶C处的仰角为
已知
，则山的高度BC为( )
，山脚A处的俯角为，
A. 700 𝑚 B. 640 𝑚 C. 600 𝑚
D. 560 𝑚
11. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−6)，则“𝑏−𝑎>2”是“函数𝑓(𝑥)在(𝑎,𝑏)上不单调”的( )
𝜋𝜋
A. 必要不充分条件 C. 充分必要条件
1
B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑚+)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ 上的一点，𝐴𝑁P是线段⃗12. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝑃𝐵𝑁311
211
⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m的值为( ) 𝐴𝐶
1
A. 11 B. 11 C. 11 D. 11
832
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知14. 在三角形
−
15. 函数
𝑓(𝑥)的解析式为______．
⃗ =(2,𝑚)，若𝑎⃗ ，则𝑎⃗ =______． 16. 已知向量𝑎⃗ =(1,2),𝑏⃗ //𝑏⃗ ⋅𝑏三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. (1)已知2<𝑎<𝜋，且sin(𝜋−𝛼)=5，求
𝜋
4
sin(2𝜋+𝛼)tan(𝜋−𝑎)cos(−𝜋−𝑎)
sin(
3𝜋𝜋
−𝛼)cos(+𝛼)22
，，，则
．
=
+
中，A，B，C是三角形𝐴 𝐵𝐶的内角，设函数
，则
的最大值为________．
的图象如图所示，则
的值．
(2)已知点𝑃(𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑠𝑖𝑛𝜃)在直线𝑦=−2𝑥上，求
1+𝑠𝑖𝑛2𝜃−𝑐𝑜𝑠2𝜃1+𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃
的值．
18. 已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴上，且抛物线上横坐标为1的点到F的距离为2，过
点F的直线交抛物线于A，B两点．
(Ⅰ)求抛物线的方程；
⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB的斜率； (Ⅱ)若𝐴𝐹
(Ⅲ)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
⃗ 与⃗ 19. 已知|⃗𝑎 |=4,|⃗ 𝑏|=3，𝑎𝑏的夹角为60°．
(1)求(𝑎⃗ −⃗ 𝑏)⋅(2𝑎⃗ +⃗ 𝑏)； (2)求|𝑎⃗ +⃗ 𝑏|．
20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(4𝑥+𝜑)(𝐴>0,0<𝜑<𝜋)在𝑥=16时取得最大值2．
(1)求𝑓(𝑥)的最小正周期； (2)求𝑓(𝑥)的解析式；
𝜋
(3)若𝛼∈[−2,0]，𝑓(4𝛼+16)=5，求sin(2𝛼−4)的值．
B、C所对的边分别为a、b、c，△𝐴𝐵𝐶的面积为S，21. 在锐角△𝐴𝐵𝐶中，角A、已知4𝑆=𝑎2+𝑐2−𝑏2．
(Ⅰ)求角B的值；
(Ⅱ)设𝑚=(√3−1)𝑎+√2𝑐，若𝑏=√2，求m的取值范围．
𝜋1𝜋6𝜋
𝑥
𝐹2，下焦点分别为𝐹1，22. 已知椭圆C：𝑦+=1(𝑎>𝑏>0)的上、2𝑎𝑏2
2
2
上焦点𝐹1到直线 4𝑥+3𝑦+12=0的距离为3，椭圆C的离心率𝑒=．
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐼)若P是椭圆C上任意一点，求|⃗𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|的取值范围； (𝐼𝐼)设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点𝐵(𝐵不在y轴上
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求直⃗⃗1⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，垂直于l的直线与l交于点M，与x轴交于点H，若⃗𝐹𝐵𝐹1𝐻=0，且|𝑀𝑂线l的方程．
1
【答案与解析】
1.答案：D
解析：解：
，故选D．
2.答案：C
解析：解：∵𝑎=𝑡𝑎𝑛280°=𝑡𝑎𝑛100°=−𝑐𝑜𝑡10°=−𝑠𝑖𝑛10°=−√1−cos210°<0， 解得𝑐𝑜𝑠10°=−√1+𝑎2， 则𝑠𝑖𝑛80°=𝑐𝑜𝑠10°=−√1+𝑎2， 故选：C．
由条件利用诱导公式求得𝑐𝑜𝑠10°=−√1+𝑎2，从而求得𝑠𝑖𝑛80°=𝑐𝑜𝑠10°的值．
本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于中档题．
𝑎𝑎𝑎𝑐𝑜𝑠10°
𝑐𝑜𝑠10°3.答案：D
⃗ |=|𝑎⃗ |，即||𝑎⃗ |cos<𝑎⃗ >|=|𝑎⃗ |， 解析：解：|𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ ||𝑏⃗ ||𝑏⃗ ,𝑏⃗ ||𝑏得cos<𝑎⃗ ,⃗ 𝑏>=±1，<𝑎⃗ ,⃗ 𝑏>=0或． 故选D．
利用向量的数量积，化简求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量的平行判断．
4.答案：B
解析：解：∵关于x的方程𝑥2+|𝑎⃗ |𝑥+𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏=0有实根， ∴|𝑎⃗ |2−4𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏≥0，
|𝑎⃗ |
∴𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏≤4，
2
∴cos<𝑎⃗ ,⃗ 𝑏>=
⃗ ⃗ ⋅𝑏𝑎
⃗ ||𝑎⃗ ||𝑏
≤
|𝑎⃗ |2
⃗ |4|𝑎⃗ ||𝑏
=2，
1
又0≤<𝑎⃗ ,⃗ 𝑏>≤𝜋， ∴
𝜋3
≤<𝑎⃗ ,⃗ 𝑏>≤𝜋．
故选：B．
|𝑎⃗ |令判别式△≥0可得𝑎，代入夹角公式得出cos<𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏≤⃗ ,⃗ 𝑏>的范围，从而得出向量夹角的范围． 4
2
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
5.答案：A
解析：
本题考查了余弦函数的图象及性质的运用，属于基础题． 根据余弦函数的图象及性质判断即可． 解：函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠2𝑥． 函数的最小正周期𝑇=
2𝜋2
=𝜋，
余弦函数的图象关于y轴对称，∴𝑓(𝑥)是偶函数． 故选：A．
6.答案：D
解析：试题分析：根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论．解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题，其否定一定是一个特称命题，故排除A，B，结合全称命题的否定方法，我们易得，命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为，“存在一个能被2整除的整数不是偶数”，故选D
考点：命题的否定
点评：本题考查的知识点是命题的否定，做为新高考的新增内容，全称命题和特称命题的否定是考查的热点
7.答案：B
解析：解：根据函数的图象：𝑇=4(12−3)=4×4=𝜋=𝜋， 故：𝜔=
2𝜋𝜋
7𝜋𝜋𝜋
=2，
由于函数的最小值为−2， 故：𝐴=2，
当𝑥=3时，𝑓(3)=0， 解得：𝜑=
2𝜋3
𝜋
𝜋
+𝜑=𝑘𝜋，
由于：|𝜑|<𝜋， 所以：𝜑=−
2𝜋3
．
2𝜋3
所以：𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−
).
𝜋
所以把函数𝑓(𝑥)的图象向左平移12个单位得到𝑦=2𝑐𝑜𝑠2𝑥的图象． 故选：B．
首先利用函数的图象求出函数𝑓(𝑥)的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8.答案：C
解析：解：𝑓(𝑥)=𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏 =2𝑐𝑜𝑠2𝑥+√3𝑠𝑖𝑛2𝑥 =1+𝑐𝑜𝑠2𝑥+√3𝑠𝑖𝑛2𝑥 =2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+)+1；
6𝜋
∴𝑓(𝛼−)=2𝑠𝑖𝑛(2𝛼−)+1=−2𝑐𝑜𝑠2𝛼+1=2；
3
2
𝜋𝜋
∴𝑐𝑜𝑠2𝛼=−2； ∵𝛼∈[2,𝜋]； ∴2𝛼∈[𝜋,2𝜋]； ∴2𝛼=𝜋+3；
𝜋𝜋
1
∴sin(2𝛼−6)=sin(𝜋+6)=−2． 故选C．
进行数量积的运算，并化简即可得出𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+6)+1，这样根据𝑓(𝛼−3)=2即可得出𝑐𝑜𝑠2𝛼=−，而由𝛼的范围便可得出2𝛼的范围，从而求出𝛼，这样便可求出sin(2𝛼−6)的范围．
2考查向量数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，以及两角和的正弦公式，三角函数的诱导公式．
1
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋𝜋1
9.答案：D
解析：
10.答案：C
解析：
11.答案：B
解析：解：函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−6)的周期𝑇=𝜋，𝑏−𝑎>2，故函数𝑓(𝑥)在(𝑎,𝑏)不单调，充分性； 又函数𝑓(𝑥)在(𝑎,𝑏)上不单调，只需满足(𝑎,𝑏)包含最值点，故不必要． 故选：B．
由𝑏−𝑎>2可知函数𝑓(𝑥)在(𝑎,𝑏)不单调，充分性；又函数𝑓(𝑥)在(𝑎,𝑏)上不单调，只需满足(𝑎,𝑏)包含最值点，故不必要，得到答案．
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力．
𝑇
𝜋
𝑇
12.答案：A
⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜆 (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗解析：解：∵⃗⃗𝐴𝑃𝐴𝑁𝑁𝑃𝐴𝑁𝑁𝐵𝐴𝑁𝐴𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−𝜆)𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +=𝜆𝐴𝐵
22
⃗⃗⃗ ， =(𝑚+11)⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+11⃗⃗𝐴𝐶
1−𝜆
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶4
∴𝜆=𝑚+
，11
1
21−𝜆4
=11，
2
解得：𝑚=11， 故选：A．
⃗⃗⃗ 为基底表示出⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 以⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵、⃗⃗𝐴𝐶𝐴𝑃
本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．
13.答案：
解析：试题分析：根据题意，由于=
，故答案为
。
，，则可知，对，可知，可知
考点：两角和差的三角公式
点评：解决的关键是根据两角和差的三角关系式来求解，属于基础题。
14.答案：
解析：依题意
.故当即时，有最大值
．
15.答案：𝑓(𝑥)=2sin2𝑥+1
解析：
本题考查了由𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的部分图象求函数解析式，考查了三角函数的周期公式，是基础题． 𝑏−𝐴=0.5
由函数图象得到{，解方程组得到A，b的值，再由图象得到周期，代入周期公式求得𝜔，
𝑏+𝐴=1.5
1
𝜋
再由𝑓(0)=1求得𝜑的值．
1𝑏−𝐴=0.5
解：由图可知，{，解得𝐴=2，𝑏=1．
𝑏+𝐴=1.5
𝑇=4，即|𝜔|=4,𝜔>0，则𝜔=2． ∴𝑓(𝑥)=sin(𝑥+𝜑)+1．
2
2
1
𝜋
2𝜋𝜋
由𝑓(0)=2sin(2×0+𝜑)+1=1， 得𝑠𝑖𝑛𝜑=0，
12
𝜋2
1𝜋
，所以𝜑=0．
∴𝑓(𝑥)=sin𝑥+1．
故答案为：𝑓(𝑥)=2sin2𝑥+1．
1
𝜋
16.答案：10
解析：解：∵𝑎⃗ //⃗ 𝑏，且𝑎⃗ =(1,2),⃗ 𝑏=(2,𝑚)， ∴𝑚−4=0，解得𝑚=4， ∴⃗ 𝑏=(2,4)， ∴𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏=2+8=10． 故答案为：10．
⃗ 即可求出𝑎=4，从而得出𝑏⃗ =(2,4)，然后进行数量积的坐标运算即可． 根据𝑎⃗ //𝑏
本题考查了平行向量的坐标关系，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
17.答案：解：(1)∵2<𝛼<𝜋，sin(𝜋−𝛼)=𝑠𝑖𝑛𝛼=5，…(1分)
∴𝑐𝑜𝑠𝛼=−√1−sin2𝛼=−，故𝑡𝑎𝑛𝛼==−3，…(3分) 5𝑐𝑜𝑠𝛼由诱导公式可得
sin(2𝜋+𝛼)tan(𝜋−𝛼)cos(−𝜋−𝛼)
3𝜋𝜋sin(−𝛼)cos(+𝛼)
22𝜋4
3𝑠𝑖𝑛𝛼4
=
𝑠𝑖𝑛𝛼⋅(−𝑡𝑎𝑛𝛼)⋅(−𝑐𝑜𝑠𝛼)
−𝑐𝑜𝑠𝛼⋅(−𝑠𝑖𝑛𝛼)
=𝑡𝑎𝑛𝛼=−3；…(6分)
4
(2)由题意得𝑠𝑖𝑛𝛼=−2𝑐𝑜𝑠𝛼， ∴𝑡𝑎𝑛𝛼=
𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼
=−2.…(7分)
sin2𝜃+cos2𝜃+2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃−(cos2𝜃−sin2𝜃)
∴1+𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃=sin2𝜃+cos2𝜃+2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃+(cos2𝜃−sin2𝜃)…(9分) =2𝑐𝑜𝑠2𝜃+2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 =
tan2𝜃+𝑡𝑎𝑛𝜃1+𝑡𝑎𝑛𝜃
2𝑠𝑖𝑛2𝜃+2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
1+𝑠𝑖𝑛2𝜃−𝑐𝑜𝑠2𝜃
…(11分)
=𝑡𝑎𝑛𝜃 =−2.…(12分)
解析：(1)由已知及诱导公式，同角三角函数关系式可求𝑐𝑜𝑠𝛼，𝑡𝑎𝑛𝛼的值，利用诱导公式化简所求后即可得解；
(2)根据任意角的三角函数的定义可求𝑡𝑎𝑛𝛼，利用三角函数恒等变化化简所求后即可得解． 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式，三角函数恒等变化的应用，考查了计算能力，属于基础题．
18.答案：解：(Ⅰ)设抛物线方程为𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)，
由其定义知1+2=2，所以𝑝=2， 即有抛物线的方程为𝑦2=4𝑥．
(Ⅱ)依题意𝐹(1,0)，设直线AB的方程为𝑥=𝑚𝑦+1．
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得𝑦2−4𝑚𝑦−4=0． 设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，则𝑦1+𝑦2=4𝑚，𝑦1𝑦2=−4，① ⃗⃗⃗ =2⃗⃗⃗⃗⃗ 因为⃗⃗𝐴𝐹𝐹𝐵，所以𝑦1=−2𝑦2，② 联立①、②，消去𝑦1，𝑦2得𝑚=±√．
42𝑝
所以直线AB的斜率是±2√2．
(Ⅲ)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点， 从而点O与点C到直线AB的距离相等， 所以四边形OACB的面积等于2𝑆△𝐴𝑂𝐵，
而2𝑆△𝐴𝑂𝐵=2×2⋅|𝑂𝐹|⋅|𝑦1−𝑦2|=√(𝑦1+𝑦2)2−4𝑦1𝑦2 =4√1+𝑚2．
所以当𝑚=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．
1
解析：(Ⅰ)设抛物线方程为𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)，运用抛物线的定义可得1+2=2，即可解得p，进而得到抛物线方程；
(Ⅱ)依题意𝐹(1,0)，设直线AB的方程为𝑥=𝑚𝑦+1，联立抛物线方程，消去x，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，即可求得m，进而得到直线AB的斜率；
𝑝
(Ⅲ)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，进而可知四边形OACB的面积等于2𝑆△𝐴𝑂𝐵，再由三角形的面积公式计算即可得到最小值． 本题考查抛物线的概念与标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量共线的坐标表示，以及三角形面积的求法，注意运用对称性和转化思想，属于中档题． ⃗ |=3，𝑎⃗ 的夹角为60°． ⃗ 与𝑏19.答案：解：(1)∵|𝑎⃗ |=4,|𝑏
2∴(𝑎⃗ −⃗ 𝑏)⋅(2𝑎⃗ +⃗ 𝑏)=2𝑎⃗ −𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏−⃗ 𝑏
2
=2×16−4×3×𝑐𝑜𝑠60°−9
=17．
=√16+2×4×3×+9=√37．
21
2⃗ )⋅(2𝑎⃗ )=2𝑎⃗ −𝑏⃗ ，由此能求出结果． 解析：(1)(𝑎⃗ −𝑏⃗ +𝑏⃗ −𝑎⃗ ⋅𝑏
2
(2)|𝑎⃗ +⃗ 𝑏|=√(𝑎⃗ +⃗ 𝑏)2=√𝑎⃗ +2|𝑎⃗ |⋅|⃗ 𝑏|cos<𝑎⃗ ,⃗ 𝑏>+⃗ 𝑏，由此能求出结果．
2
2
本题考查向量的数量积、向量的模的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.答案：解：(1)∵函数表达式为：𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(4𝑥+𝜑)，
∴𝜔=4，可得𝑓(𝑥)的最小正周期为𝑇=(2)∵𝑓(𝑥)在𝑥=16时取得最大值2，
∴𝐴=2，且𝑥=16时4𝑥+𝜑=2+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，即4+𝜑=2+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，(4分) ∵0<𝜑<𝜋，∴取𝑘=0，得𝜑=4(5分) ∴𝑓(𝑥)的解析式是𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(4𝑥+4)；(6分) (3)由(2)得𝑓(4𝛼+16)=2𝑠𝑖𝑛[4(4𝛼+16)+4]=5， 即sin(𝛼+2)=5，可得𝑐𝑜𝑠𝛼=5，(7分)
∵𝛼∈[−2,0]，∴𝑠𝑖𝑛𝛼=−√1−cos2𝛼=−√1−(3)2=−4，(8分)
55∴𝑠𝑖𝑛2𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=2×(−5)×5=−25，(9分)
4
3
24
𝜋𝜋
3
3
1
𝜋
1
𝜋
𝜋
6
𝜋𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
2𝜋𝜔
=(2分) 2
𝜋
𝑐𝑜𝑠2𝛼=2𝑐𝑜𝑠2𝛼−1=2×(5)2−1=−25，(10分) ∴sin(2𝛼−)=𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑐𝑜𝑠−𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑠𝑖𝑛=−
4
4
4
𝜋
𝜋
𝜋
2425
37
×
√22
+
725
×
√22
=−
17√250
.(12分)
解析：(1)根据函数表达得𝜔=4，结合三角函数的周期公式即可得出𝑓(𝑥)的最小正周期的值； (2)由函数𝑓(𝑥)在𝑥=16时取得最大值2，得4+𝜑=2+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，结合0<𝜑<𝜋取𝑘=0得𝜑=4，从而得到𝑓(𝑥)的解析式；
(3)由(2)求出的解析式代入4𝛼+16，结合诱导公式化简得𝑐𝑜𝑠𝛼=5，由同角三角函数的关系结合𝛼∈[−2,0]算出𝑠𝑖𝑛𝛼=−，用二倍角的三角公式算出𝑠𝑖𝑛2𝛼、𝑐𝑜𝑠2𝛼之值，代入sin(2𝛼−4)的展开式，
5即可得到sin(2𝛼−4)的值．
本题给出𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)中的部分参数，根据函数的最大值及其相应的x值求函数的表达式，并依此求特殊的三角函数的值．着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换、诱导公式和同角三角函数基本关系等知识，属于中档题．
𝜋
𝜋
4
𝜋
1
𝜋
3
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
21.答案：解：(Ⅰ)因为𝑆=2𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵，𝑎2+𝑐2−𝑏2=2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵，4𝑆=𝑎2+𝑐2−𝑏2，
则2𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵，即𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑜𝑠𝐵，即𝑡𝑎𝑛𝐵=1， 又B为锐角，所以𝐵=4； (Ⅱ)因为𝑏=√2，𝐵=4， 由
，
3𝜋4
𝜋𝜋
1
得𝑎=2𝑠𝑖𝑛𝐴，𝑐=2𝑠𝑖𝑛𝐶，且𝐴+𝐶=所以𝑚=2(√3−1)𝑠𝑖𝑛𝐴+2√2𝑠𝑖𝑛𝐶
，
=2√3𝑠𝑖𝑛𝐴+2𝑐𝑜𝑠𝐴
=4𝑠𝑖𝑛(𝐴+6)，
𝜋
因为A，B，C都为锐角，则0<𝐴<2，且0<𝐶=所以4<𝐴<2， 从而12<𝐴+6<则
所以𝑚∈(2√3,4]，
所以m的取值范围是(2√3,4]．
5𝜋
𝜋
2𝜋3
𝜋
𝜋
𝜋3𝜋4
−𝐴<2，
𝜋
，
，
解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的三角函数公式，三角函数的性质，属于中档题．
(Ⅰ)由题意可得，2𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵，即𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑜𝑠𝐵，即𝑡𝑎𝑛𝐵=1，从而得出结果； (Ⅱ)化简得𝑚=4𝑠𝑖𝑛(𝐴+)，可得
6
𝜋
，则，从而得出结果．
22.答案：(本小题满分13分)
解：(Ⅰ)由已知椭圆C方程为
𝑦2𝑎
2+
𝑥2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，
设椭圆上焦点𝐹1(0,𝑐)，由𝐹1到直线4𝑥+3𝑦+12=0的距离为3， 得
|3𝑐+12|
5
=3，又椭圆C的离心率𝑒=2，所以𝑎=2，又𝑎2=𝑏2+𝑐2，
𝑦24
1𝑐1
求得𝑎2=4¬𝑏2=3.椭圆C方程为
+
𝑥23
=1，
2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑡=2时，所以1≤|𝑃𝐹1|≤3，设|⃗ 𝑃𝐹|⃗𝑃𝐹1|=𝑡,|𝑃𝐹2|=4−𝑡，1|⋅|𝑃𝐹2|=𝑡(4−𝑡)=−(𝑡−2)+4，
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|最大值为4，𝑡=1或3时，|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|最小值为3， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|取值范围是[3,4].…(5分) (Ⅱ)设直线l的斜率为k，
则直线l方程𝑦−2=𝑘𝑥，设𝐵(𝑥𝐵,𝑦𝐵)，𝐴(𝑥𝐴,𝑦𝐴)， 𝑦=𝑘𝑥+2
由{𝑦2𝑥2，得(3𝑘2+4)𝑥2+12𝑘𝑥=0，
+=1
4
3
则有𝑥𝐴=0，𝑥𝐵=3𝑘2+4，所以𝑦𝐵=
2
−12𝑘−6𝑘2+83𝑘2+4
，
8−6𝑘
⃗⃗⃗1⃗⃗⃗⃗ =(−12𝑘所以𝐹𝐵,−1)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹1𝐻=(𝑥𝐻,−1)， 3𝑘2+43𝑘2+4
⃗⃗1⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 由已知⃗𝐹𝐵𝐹1𝐻=0，
所以
−12𝑘
3𝑘2+4
⋅𝑥𝐻+1−
2𝑥𝑀
−6𝑘2+83𝑘2+4
=0，解得𝑥𝐻=
9𝑘2−412𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|⃗𝑀𝑂𝑀𝐴|，
1
9𝑘2−412𝑘
2
𝑥𝑀
+
2𝑦𝑀
=
+(𝑦𝑀−2)2，𝑦𝑀
8
=1，MH的方程𝑦=−(𝑥−
𝑘
𝑦=𝑘𝑥+2
)，联立{19𝑘2−4，
𝑦=−(𝑥−)
𝑘
12𝑘
𝑦𝑀=12(1+𝑘2)=1，解得𝑘2=3， 所以直线l的方程为𝑦=±
2√6𝑥3
9𝑘2+20
+2.…(13分)
(Ⅰ)设椭圆上焦点𝐹1(0,𝑐)，解析：由𝐹1到直线4𝑥+3𝑦+12=0的距离为3，结合椭圆C的离心率𝑒=2，⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 求出椭圆C方程，推出1≤|𝑃𝐹1|≤3，设|⃗𝑃𝐹|⃗𝑃𝐹1|=𝑡,|𝑃𝐹2|=4−𝑡，1|⋅|𝑃𝐹2|=𝑡(4−𝑡)=−(𝑡−⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)2+4，𝑡=2时，然后求解|⃗𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|取值范围．
(Ⅱ)设直线l的斜率为k，直线l的方程𝑦−2=𝑘𝑥，设𝐵(𝑥𝐵,𝑦𝐵)，𝐴(𝑥𝐴,𝑦𝐴)，联立直线与椭圆方程，⃗⃗1⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 求出A，B坐标，利用⃗𝐹𝐵𝐹1𝐻=0，求出H、M的坐标，推出k即可求出直线l的方程． 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．
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