一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45000000人次，将45000000用科学记数法表示为（ ） A．45×106
B．4.5×107
C．4.5×108
D．0.45×108
2．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥
B．圆柱
C．长方体
D．正三棱柱
3．（2分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D． ，
4．（2分）在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB＝2则点A，点B表示的数分别是（ ） A．﹣
，
B．
，﹣
C．0，2
D．﹣2
，2
5．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
A．65°
B．35°
C．32.5°
D．25°
6．（2分）甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为中完全正确的是（ ）
甲
，
乙
，射击成绩的方差依次记为s甲2，s乙2，则下列关系
A．C．
甲
＝
乙
，s甲2＞s乙2
B．D．
甲
＝＜
乙
，s甲2＜s乙2 ，s甲2＜s乙2
甲
＞
乙
，s甲2＞s乙2
甲乙
7．（2分）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长1.0m的竹竿落在地面上的影长为0.9m．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（ ）
A．6.0m
B．5.0m
C．4.0m
D．3.0m
8．（2分）设m是非零实数，给出下列四个命题： ①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2； ②若m＞1，则＜m2＜m； ③若m＜＜m2，则m＜0； ④若m2＜m＜，则0＜m＜1． 其中命题成立的序号是（ ） A．①③
B．①④
C．②③
D．③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 11．（2分）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 ． 12．（2分）如果a2+a＝1，那么代数式﹣
的值是 ．
，则
13．（2分）如图，在正方形ABCD中，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F．若DE＝BC的长为 ．
14．（2分）如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则AC的长为 ，BD的长为 ．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为 ．
16．（2分）某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表．
每日接待游客人数（单位：万人）
0≤x＜5
游玩环境评价
好
5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x＜20
一般 拥挤 严重拥挤
根据以上信息，以下四个判断中，正确的是 （填写所有正确结论的序号）． ①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天； ②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5～10万人之间； ③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；
④这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为
．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分） 17．（5分）计算：（）1+（1﹣
﹣
）0+|﹣
|﹣2sin60°．
18．（5分）解不等式组：
19．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
20．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）求证：▱ABCD是矩形； （2）若AD＝2
，cos∠ABE＝
，求AC的长．
21．（5分）先阅读下列材料，再解答问题． 尺规作图
已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1，
求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形． 小明的做法如下： （1）设计方案
先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法， 依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）设计作图步骤，完成作图 作法：如图3， ①延长BC至点E；
②分别作∠ECP＝∠EBA，∠ADQ＝∠ABE； ③DQ与CP交于点F． ∴四边形DBCF即为所求． （3）推理论证
证明：∵∠ECP＝∠EBA， ∴CP∥BA． 同理，DQ∥BE．
∴四边形DBCF是平行四边形．
请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形DBCF是平行四边形，并证明．
22．（6分）运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度．为了解A，B两种语音识别输入软件的准确性，小秦同学随机选取了20段话，其中每段话都含100个文字（不计标点符号）．在保持相同语速的条件下，他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语音识别输入软件的准确性．他的测试和分析过程如下，请补充完整． （1）收集数据两种软件每次识别正确的字数记录如下： A 98 98 92 92 92 92 92 89 89 85 84 84 83 83 79 79 78 78 69 58 B 99 96 96 96 96 96 96 94 92 89 88 85 80 78 72 72 71 65 58 55
（2）整理、描述数据根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：
（3）分析数据两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
A B
平均数 84.7 83.7
众数 96
中位数 84.5
方差 88.91 184.01
（4）得出结论根据以上信息，判断 种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下： （至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．
23．（6分）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若
＝
，
①补全图形； ②求证：OF＝OB．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是
上的动点，设A，P两点间
的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm y1/cm y2/cm
0 4.00 3.00
1 3.69 3.91
2 4.71
3 2.13 5.23
4 0 5
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象； （3）结合函数图象，
①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为 cm； ②记
所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为 cm．
25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+2k（k＞0）与x轴交于点A，与y轴
交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象的交点P位于第一象限． （1）若点P的坐标为（1，6）， ①求m的值及点A的坐标； ②
＝ ；
（2）直线l2：y＝2kx﹣2与y轴交于点C，与直线l1交于点Q，若点P的横坐标为1， ①写出点P的坐标（用含k的式子表示）； ②当PQ≤PA时，求m的取值范围．
26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B（x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．
27．（7分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N． （1）依题意补全图1； （2）求证：NM＝NF；
（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1
上存在两点A，B（点A与点B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M与点N
可以重合），使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系． （1）如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，可以与点D，E重合），连接OP，CP．
①线段OP的最小值为 ，最大值为 ，线段CP的取值范围是 ； ②在点O，点C中，点 与线段DE满足限距关系； （2）如图2，⊙O的半径为1，直线y＝
x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点F，G．若
），点P在线段DE上运动（点P
线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；
（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．
2020年北京市西城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45000000人次，将45000000用科学记数法表示为（ ） A．45×106
B．4.5×107
C．4.5×108
D．0.45×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：将数据45000000用科学记数法可表示为：4.5×107． 故选：B．
2．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥
B．圆柱
C．长方体
D．正三棱柱
【分析】由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是圆柱． 故选：B．
3．（2分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C．
4．（2分）在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB＝2则点A，点B表示的数分别是（ ） A．﹣
，
B．
，﹣
C．0，2
D．﹣2
，2
，
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【解答】解：由A、B表示的数互为相反数，且AB＝2点A、B表示的数是﹣故选：A．
5．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
，
．
，点A在点B的左边，得
A．65°
B．35°
C．32.5°
D．25°
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB＝90°，然后根据∠CAB＝65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可． 【解答】解：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝65°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°， ∴∠ADC＝∠ABC＝25°， 故选：D．
6．（2分）甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为中完全正确的是（ ）
甲
，
乙
，射击成绩的方差依次记为s甲2，s乙2，则下列关系
A．C．
甲
＝
乙
，s甲2＞s乙2
B．D．
甲
＝＜
乙
，s甲2＜s乙2 ，s甲2＜s乙2
甲
＞
乙
，s甲2＞s乙2
甲乙
【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案． 【解答】解：（1）
乙
甲
＝（8×4+9×2+10×4）＝9；
＝（8×3+9×4+10×3）＝9；
[4×（8﹣9）2+2×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝0.8； [3×（8﹣9）2+4×（9﹣9）2+3×（10﹣9）2]＝0.7；
乙
s甲2＝s乙2＝∴
甲
＝
，s甲2＞s乙2，
故选：A．
7．（2分）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长1.0m的竹竿落在地面上的影长为0.9m．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（ ）
A．6.0m
B．5.0m
C．4.0m
D．3.0m
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物
体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似进而解答即可．
【解答】解：根据物高与影长成正比得：即
，
解得：DE＝1.0， 则BE＝2.7+1.0＝3.7米， 同理即：
， ，
解得：AB≈4．
答：树AB的高度为4米， 故选：C．
8．（2分）设m是非零实数，给出下列四个命题： ①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2； ②若m＞1，则＜m2＜m； ③若m＜＜m2，则m＜0； ④若m2＜m＜，则0＜m＜1． 其中命题成立的序号是（ ） A．①③
B．①④
C．②③
D．③④
【分析】判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【解答】解：①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2；，当m＝﹣时，是真命题；
②若m＞1，则＜m2＜m，当m＝2时，③若m＜＜m2，则m＜0，当m＝﹣时，
，原命题是假命题；
，原命题是假命题；
，
④若m2＜m＜，则0＜m＜1，当m＝时，故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）若
，是真命题；
在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案． 【解答】解：若则x﹣1≥0， 解得：x≥1． 故答案为：x≥1．
10．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ． 【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题． 【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍， 则内角和是720度， 720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6． 故答案为：6．
11．（2分）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 y＝x2﹣1 ．
【分析】直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标，进而得出答案．
【解答】解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1， ∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，﹣1）， 故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y＝x2﹣1． 故答案为：y＝x2﹣1．
12．（2分）如果a2+a＝1，那么代数式﹣
的值是 1 ．
在实数范围内有意义，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a2+a的值整体代入即可得．
【解答】解：原式＝＝
﹣
＝＝
，
当a2+a＝1时，原式＝1， 故答案为：1．
13．（2分）如图，在正方形ABCD中，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F．若DE＝BC的长为 ．
，则
【分析】根据正方形的性质、角平分线的性质及等腰直角三角形的三边比值为1：1：来解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠C＝90°，∠CDB＝45°，BC＝CD． ∴EC⊥CB．
又∵BE平分∠CBD，EF⊥BD， ∴EC＝EF．
∵∠CDB＝45°，EF⊥BD， ∴△DEF为等腰直角三角形． ∵DE＝
，
∴EF＝1． ∴EC＝1．
∴BC＝CD＝DE+EC＝故答案为：
+1．
+1．
14．（2分）如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则AC的长为 5 ，BD的长为 3 ．
【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图所示：
由勾股定理得：AC＝
＝5，
S△ABC＝BC×AE＝×BD×AC， ∵AE＝3，BC＝5， 即
解得：BD＝3． 故答案为：5，3．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为 （6，6） ．
，
【分析】由题意得出M在AB、BC的垂直平分线上，则BN＝CN，求出ON＝OB+BN＝6，证△OMN是等腰直角三角形，得出MN＝ON＝6，即可得出答案． 【解答】解：如图所示： ∵⊙M是△ABC的外接圆，
∴点M在AB、BC的垂直平分线上，
∴BN＝CN，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）， ∴OA＝OB＝4，OC＝8， ∴BC＝4， ∴BN＝2，
∴ON＝OB+BN＝6， ∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形， ∵OM⊥AB， ∴∠MON＝45°，
∴△OMN是等腰直角三角形， ∴MN＝ON＝6，
∴点M的坐标为（6，6）； 故答案为：（6，6）．
16．（2分）某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表．
每日接待游客人数（单位：万人）
0≤x＜5 5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x＜20
游玩环境评价
好 一般 拥挤 严重拥挤
根据以上信息，以下四个判断中，正确的是 ①④ （填写所有正确结论的序号）． ①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天； ②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5～10万人之间； ③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；
④这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为
．
【分析】根据统计图与统计表，结合相关统计或概率知识逐个选项分析即可．
【解答】解：①根据题意每日接待游客人数10≤x＜15为拥挤，15≤x＜20为严重拥挤， 由统计图可知，游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”，1日至5日有2天，25日﹣30日有2天，共4天，故①正确；
②本题中位数是指将30天的游客人数从小到大排列，第15与第16位的和除以2， 根据统计图可知0≤x＜5的有16天，从而中位数位于0≤x＜5范围内，故②错误； ③从统计图可以看出，接近10的有6天，大于10而小于15的有2天，15以上的有2天，
10上下的估算为10，则（10×8+15×2﹣5×10）÷16＝3.25，
可以考虑为给每个0至5的补上3.25，则大部分大于5，而0至5范围内有6天接近5，故平均数一定大于5，故③错误；
④由题意可知“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为：×＝故答案为：①④．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分） 17．（5分）计算：（）1+（1﹣
﹣
，故④正确．
）0+|﹣
|﹣2sin60°．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三
角函数值计算即可求出值． 【解答】解：原式＝2+1+＝3+＝3．
18．（5分）解不等式组：
﹣
﹣2×
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【解答】解：由①得：x＜4， 由②得：x＞，
则不等式组的解集为＜x＜4．
19．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）先根据方程有两个实数根得出△＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m2＞0，解之可得；
（2）在以上所求m的范围内取一值，如m＝0，再解方程即可得． 【解答】解：（1）∵方程有两个实数根， ∴△＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m2＞0， 解得m≥﹣；
（2）取m＝0，此时方程为x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， 则x＝0或x﹣1＝0，
解得x＝0或x＝1（答案不唯一）．
20．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC于点E．
，
（1）求证：▱ABCD是矩形； （2）若AD＝2
，cos∠ABE＝
，求AC的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，求得AC＝BD，于是得到结论；
（2）根据矩形的性质得到∠BAD＝∠ADC＝90°，求得∠CAD＝∠ABE，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形；
（2）解：∵▱ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝90°， ∵BE⊥AC，
∴∠BAC+∠ABE＝90°， ∴∠CAD＝∠ABE， 在Rt△ACD中，AD＝2∴AC＝5．
21．（5分）先阅读下列材料，再解答问题． 尺规作图
已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1，
求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形． 小明的做法如下：
，cos∠CAD＝cos∠ABE＝
，
（1）设计方案
先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法， 依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）设计作图步骤，完成作图 作法：如图3， ①延长BC至点E；
②分别作∠ECP＝∠EBA，∠ADQ＝∠ABE； ③DQ与CP交于点F． ∴四边形DBCF即为所求． （3）推理论证
证明：∵∠ECP＝∠EBA， ∴CP∥BA． 同理，DQ∥BE．
∴四边形DBCF是平行四边形．
请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形DBCF是平行四边形，并证明．
【分析】根据平行四边形的判定方法即可作图并证明． 【解答】解：（1）设计方案
先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法， 依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （2）设计作图步骤，完成作图 作法：如图，
①以点C为圆心，BC长为半径画弧； ②以点D为圆心，BC长为半径画弧，； ③两弧交于点F．
∴四边形DBCF即为所求． （3）推理论证
证明：∵CF＝BD，DF＝BC． ∴四边形DBCF是平行四边形．
22．（6分）运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度．为了解A，B两种语音识别输入软件的准确性，小秦同学随机选取了20段话，其中每段话都含100个文字（不计标点符号）．在保持相同语速的条件下，他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语音识别输入软件的准确性．他的测试和分析过程如下，请补充完整． （1）收集数据两种软件每次识别正确的字数记录如下： A 98 98 92 92 92 92 92 89 89 85 84 84 83 83 79 79 78 78 69 58 B 99 96 96 96 96 96 96 94 92 89 88 85 80 78 72 72 71 65 58 55
（2）整理、描述数据根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：
（3）分析数据两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
A B
平均数 84.7 83.7
众数 96
中位数 84.5
方差 88.91 184.01
（4）得出结论根据以上信息，判断 A 种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：
∵A种语音的平均数＝84.7，B种语音的平均数＝83.7， ∴A种语音的平均数＞B种语音的平均数， 故A种语音识别输入软件的准确性较好，
∵A种语音的方差＝88.91，B种语音的方差＝184.01， ∴88.91＜184，01，
∴A种语音识别输入软件的准确性较好． （至少从两个不同的角度说明判断的合理性）． 【分析】（2）根据题意补全频数分布直方图即可； （3）根据众数和中位数的定义即可得到结论；
（4）根据A，B两种语音识别输入软件的准确性的方差的大小即可得到结论． 【解答】解：（2）根据题意补全频数分布直方图如图所示；
（3）补全统计表；
A B
平均数 84.7 83.7
众数 92 96
中位数 84.5 88.5
方差 88.91 184.01
（4）A种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下： ∵A种语音的平均数＝84.7，B种语音的平均数＝83.7， ∴A种语音的平均数＞B种语音的平均数， 故A种语音识别输入软件的准确性较好，
∵A种语音的方差＝88.91，B种语音的方差＝184.01， ∴88.91＜184，01，
∴A种语音识别输入软件的准确性较好．
故答案为：A，∵A种语音的平均数＝84.7，B种语音的平均数＝83.7，∴A种语音的平均数＞B种语音的平均数，故A种语音识别输入软件的准确性较好，∵A种语音的方差＝88.91，B种语音的方差＝184.01，∴88.91＜184，01，∴A种语音识别输入软件的准确性
较好．
23．（6分）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若
＝
，
①补全图形； ②求证：OF＝OB．
【分析】（1）连接AC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠BAC＝∠BCA，得到∠OCB＝∠OAB＝90°，根据切线的判定定理证明； （2）①根据题意画出图形；
②根据切线长定理得到BA＝BC，得到BD是AC的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得到∠AOC＝120°，根据等腰三角形的判定定理证明结论． 【解答】（1）证明：如图1，连接AC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠OAC+∠BCA＝∠OCA+∠BCA，即∠OCB＝∠OAB＝90°， ∴OC⊥BC， ∴BC是⊙O的切线； （2）①解：补全图形如图2； ②证明：∵∠OAB＝90°，
∴BA是⊙O的切线，又BC是⊙O的切线， ∴BA＝BC，
∵BA＝BC，OA＝OC， ∴BD是AC的垂直平分线， ∴∵∴
＝＝＝
， ， ＝
，
∴∠AOC＝120°，
∴∠AOB＝∠COB＝∠COE＝60°， ∴∠OBF＝∠F＝30°， ∴OF＝OB．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是
上的动点，设A，P两点间
的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
y1/cm 4.00 3.69 3.09（答案不唯一）
2.13 0
y2/cm 3.00 3.91 4.71 5.23 5
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象； （3）结合函数图象，
①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为 0.83或2.49（答案不唯一） cm； ②记
所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为 5.32（答案
不唯一） cm．
【分析】（1）利用图象法解决问题即可； （2）描点绘图即可；
（3）①分PB＝PB、PC＝BC、PB＝BC三种情况，分别求解即可；
②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，观察图象即可求解． 【解答】解：（1）由画图可得，x＝4时，y1≈3.09cm（答案不唯一）． 故答案为：3.09（答案不唯一）．
（2）描点绘图如下：
（3）①由y1与y2的交点的横坐标可知，x≈0.83cm时，PC＝PB， 当x≈2.49cm时，y2＝5cm，即PC＝BC， 观察图象可知，PB不可能等于BC， 故答案为：0.83或2.49（答案不唯一）．
②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，从图象看，PC＝y2≈5.32cm， 故答案为5.32（答案不唯一）．
25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+2k（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象的交点P位于第一象限． （1）若点P的坐标为（1，6）， ①求m的值及点A的坐标； ②
＝
；
（2）直线l2：y＝2kx﹣2与y轴交于点C，与直线l1交于点Q，若点P的横坐标为1， ①写出点P的坐标（用含k的式子表示）； ②当PQ≤PA时，求m的取值范围．
【分析】（1）①把P（1，6）代入函数y＝（x＞0）即可求得m的值，直线l1：y＝kx+2k（k＞0）中，令y＝0，即可求得x的值，从而求得A的坐标；
②把P的坐标代入y＝kx+2k即可求得k的值，进而求得B的坐标，然后根据勾股定理求得PB和PA，即可求得
的值；
（2）①把x＝1代入y＝kx+2k，求得y＝3k，即可求得P（1，3k）；
②分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标1，2+，若PQ＝PA，则
＝1，根据平行线分线段成比例定理则
＝＝
＝1，得出MN＝MA＝≤1时，k≥1，则m
3，即可得到2+﹣1＝3，解得k＝1，根据题意即可得到当＝3k≥3．
【解答】解：（1）①令y＝0，则kx+2k＝0， ∵k＞0，解得x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）， ∵点P的坐标为（1，6）， ∴m＝1×6＝6；
②∵直线l1：y＝kx+2k（k＞0）函数y＝（x＞0）的图象的交点P，且P（1，6）， ∴6＝k+2k，解得k＝2， ∴y＝2x+4， 令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4），
∵点A的坐标为（﹣2，0）， ∴PA＝∴
＝
＝，
＝
，PB＝
＝
，
故答案为；
（2）①把x＝1代入y＝kx+2k得y＝3k， ∴P（1.3k）；
②由题意得，kx+2k＝2kx﹣2， 解得x＝2+，
∴点Q的横坐标为2+， ∵2+＞1（k＞0）， ∴点Q在点P的右侧，
如图，分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标1，2+，
若PQ＝PA，则∴
＝
＝1，
＝1，
∴MN＝MA，
∴2+﹣1＝3，解得k＝1， ∵MA＝3， ∴当
＝
≤1时，k≥1，
∴m＝3k≥3，
∴当PQ≤PA时，m≥3．
26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B（x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围． 【分析】（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1＝﹣的表达式，即可求解；
（2）点C在第三象限，即点A在点C和函数对称轴之间，故﹣2＜x1＜﹣1，即可求解； （3）满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交
，求出b＝2a，将点A的坐标代入抛物线
点在x轴的下方，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1＝﹣解得：b＝2a，
故y＝ax2+bx+a+2＝a（x+1）2+2， 将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）2+2＝﹣x2﹣x+； 令y＝0，即﹣x2﹣x+＝0，解得：x＝﹣3或1， 故点B的坐标为：（1，0）；
（2）由（1）知：y＝a（x+1）2+2， 点C在第三象限，即点C在点A的下方，
即点A在点C和函数对称轴之间，故﹣2＜x1＜﹣1， 而（x1+x2）＝﹣1，即x2＝﹣2﹣x1， 故﹣1＜x2＜0；
（3）∵抛物线的顶点为（﹣1，2）， ∴点D（﹣1，0），
∵∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个， ∴抛物线与x轴的交点在原点的左侧，如下图，
，
∴满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个， 则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
当x＝0时，y＝ax2+bx+a+2＝a+2＜0， 解得：a＜﹣2，
故a的取值范围为：a＜﹣2．
27．（7分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N． （1）依题意补全图1； （2）求证：NM＝NF；
（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意补全图1即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到AP＝AQ，求得∠APQ＝∠Q，求得∠MFN＝∠Q，同理，∠NMF＝∠APQ，等量代换得到∠MFN＝∠FMN，于是得到结论；
（3）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，求得∠PAC＝∠QAC，得到∠CAQ＝∠QBD，根据全等三角形的性质得到CP＝CF，求得AM＝CF，得到AE＝BE，推出直线CE垂直平分AB，得到∠ECB＝∠ECA＝45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意补全图1如图所示； （2）∵CQ＝CP，∠ACB＝90°， ∴AP＝AQ， ∴∠APQ＝∠Q， ∵BD⊥AQ，
∴∠QBD+∠Q＝∠QBD+∠BFC＝90°， ∴∠Q＝∠BFC，
∵∠MFN＝∠BFC， ∴∠MFN＝∠Q， 同理，∠NMF＝∠APQ， ∴∠MFN＝∠FMN， ∴NM＝NF； （3）连接CE， ∵AC⊥PQ，PC＝CQ， ∴AP＝AQ， ∴∠PAC＝∠QAC， ∵BD⊥AQ，
∴∠DBQ+∠Q＝90°， ∵∠Q+∠CAQ＝90°， ∴∠CAQ＝∠QBD， ∴∠PAC＝∠FBC，
∵AC＝BC，∠ACP＝∠BCF， ∴△APC≌△BFC（AAS）， ∴CP＝CF， ∵AM＝CP， ∴AM＝CF，
∵∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴AE＝BE， ∵AC＝BC，
∴直线CE垂直平分AB， ∴∠ECB＝∠ECA＝45°， ∴∠GAM＝∠ECF＝45°， ∵∠AMG＝∠CFE， ∴△AGM≌△CEF（ASA）， ∴GM＝EF，
∵BN＝BE+EF+FN＝AE+GM+MN，
∴BN＝AE+GN．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1
上存在两点A，B（点A与点B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M与点N可以重合），使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系． （1）如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，可以与点D，E重合），连接OP，CP． ①线段OP的最小值为 ≤2 ；
②在点O，点C中，点 O 与线段DE满足限距关系； （2）如图2，⊙O的半径为1，直线y＝
x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点F，G．若
，最大值为 ，线段CP的取值范围是 ≤CP），点P在线段DE上运动（点P
线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；
（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．
【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，CP的最大值，最小值即可解决问题．
②根据限距关系的定义判断即可． （2）直线y＝
x+b与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），分三种情形：①线段FG
在⊙O内部，②线段FG与⊙O有交点，③线段FG 与⊙O没有交点，分别构建不等式
求解即可．
（2）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据⊙H和⊙K都满足限距关系，构建不等式求解即可． 【解答】解：（1）①如图1中，
∵D（﹣1，0），E（0，∴OD＝1，OE＝∴tan∠EDO＝
， ＝
，
），
∴∠EDO＝60°，
当OP⊥DE时，OP＝OD•sin60°＝
，此时OP的值最小，
，
，
当点P与E重合时，OP的值最大，最大值为
当CP⊥DE时，CP的值最小，最小值＝CD•cos60°＝当点P与D或E重合时，PC的值最大，最大值为2， 故答案为：
，
，
≤CP≤2．
②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM＝2ON， 故点O与线段DE满足限距关系． 故答案为O．
（2）直线y＝
x+b与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），
当0＜b＜1时，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1﹣b，最大距离为1+b， ∵线段FG与⊙O满足限距关系， ∴1+b≥2（1﹣b），
解得b≥，
∴b的取值范围为≤b＜1．
当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系， 当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为b﹣1，最大距离为b+1， ∵线段FG与⊙O满足限距关系， ∴b+1≥2（b﹣1）， 而b+1≥2（b﹣1）总成立，
∴b＞2时，线段FG 与⊙O满足限距关系， 综上所述，b的取值范围为b≥．
（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，
两圆的距离的最小值为2r﹣2，最大值为2r+2， ∵⊙H和⊙K都满足限距关系， ∴2r+2≥2（2r﹣2）， 解得r≤3，
故r的取值范围为0＜r≤3．
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