随机抽样

随机抽样

一 2011高考大纲：了解随机抽样的意义，/会用简单随机抽样方法从总体中抽取样

本/。了解分层抽样.系统抽样方法。

二 知识梳理

1．简单随机抽样：(1)设一个总体的个体数为N.从中 抽取n个个体作 为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会 ，就把这种抽样方 法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． (1)先将总体的N个个体 ．

NN

(2)确定 ，对编号进行 ，当是整数时，取k＝. nn(3)在第1段用 确定第一个个体编号l(l≤k)．

(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号 ，再 加k得到第3个个体编号 ，依次进行下去，直到获取整个样本．

3．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按

照 ，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． (2)分层抽样的应用范围

当总体是由 组成时，往往选用分层抽样．

4.如何选择抽样方法

提示(1)根据各种抽样的定义及特征判断抽样的方法为特征判断法． (2)选择抽样方法的步骤：

①看总体是否由差异明显的几个层次组成．若是，则选用分层抽样；否则考虑用简 单随机抽样或系统抽样．

②看总体容量和样本容量的大小，当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较 大、样本容量较小时，采用随机数法；当总体容量较大、样本容量也较大时，采用 系统抽样．

三 典例分析

题型一 简单随机抽样

【例1】 山东大学为了支持第十一届全运会，从报名的24名大一的学生中选6人组 成志愿小组，请用抽签法和随机数法设计抽样方案．

- 1 -

- 2 -

反思感悟：善于总结，养成习惯

(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否 易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

(2)随机数表中共随机出现0,1,2，„，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上 出现各个数字的机会都是相等的．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数 时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单 位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．

迁移发散1 (1)从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体，每个个体被抽到的

概率相等，那么总体中的每个个体被抽到的概率等于________．

(2)某工厂有1 200名职工，为了研究职工的健康状况，决定从中随机抽取一个容 量为n的样本，若每个职工被抽到的概率是没有被抽到的概率的一半，则样本容量

n等于________

题型二 系统抽样

【例2】 一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分 成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样 本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与 m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．

反思感悟：善于总结，养成习惯

(1)当总体容量较大，样本容量也较大时，可用系统抽样法．

(2)在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体能被样本容量整除．

迁移发散2．一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分为10个小

组，组号为0,1，2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数，(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．

- 2 -

- 3 -

题型三 分层抽样

【例3】 200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽40名职 工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号为40组，分别 为1～5,6～10，„，196～200，第5组抽取号码为22，第8组 抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽 取________人．

反思感悟：善于总结，养成习惯

分层抽样是等概率抽样，它是公平的．用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量 n

为n的样本时，每个个体被抽到的概率相等，都等于.分层抽样是建立在简单随机抽样

N的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，从而 它在实践中的应用也就更为广泛．

迁移发散3．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随

机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 女生 男生 一年级 373 377 二年级 x 370 三年级 y z A．12 B．16 C．18 D．24 四 课后小结

1．三种抽样方法的共同点：都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽取的概率相 等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体的个体数为 n

N，则用这三种方法抽样时，每一个个体被抽到的概率都是. N

2．抽样方法经常交叉使用，比如系统抽样中分段后的第一均衡部分，可采用简单随机 抽样，分层抽样中，若每层中个体数量仍很大时，则可辅之以系统抽样.

家庭作业

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现 分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 ( )

- 3 -

- 4 -

A．15,10,20 B．10,5,30 C．15,15,15 D．15,5,25

2．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法 抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用 简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，„，270； 使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，„，270，并将整个编号依次分为10 段．如果抽得号码有下列四种情况：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250 ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265 ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254 ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270 关于上述样本的下列结论中，正确的是 ( ) A．②③都不能为系统抽样 B．②④都不能为分层抽样 C．①④都可能为系统抽样 D．①③都可能为分层抽样

3．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工 人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有 青年职工32人，则该样本中的老年职工抽取人数为 ( ) A．9 B．18 C．27 D．36

4．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分 层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为( ) A．50 B．60 C．70 D．80

5．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调 查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取 超过45岁的职工人数为 ( ) A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题(每小题4分，共16分)

6．经问卷调查某班学生对摄影分别执“喜欢”“不喜欢”“一般”三种态度，其中执“一 般”态度的比“不喜欢”的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如 果选出的是5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态 度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班学生人数的一半还多________人． 7．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用 分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使 用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平 均值分别为980 h，1 020 h，1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 ________h.

8．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员

- 4 -

- 5 -

制作了如下的统计表：

产品类别 产品数量(件) 样本容量 A B 1 300 130 C 由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品 的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．

9．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，„，89，依从小到大的编号顺序平均分成9 个小组，组号依次为1,2,3，„，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如 果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位 数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________． 三、解答题(共3小题，共34分)

10．(本小题满分10分)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情 况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10. 把这6名学生的得分看成一个总体．(1)求该总体的平均数；

(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本 平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

11．(本小题满分12分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每 个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%， 1

老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人

4占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用 分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定 (1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．

答案：

例1 解：第一步：将24名志愿者编号，编号为1,2,3，„，24；

第二步：将24个号码分别写在24张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签； 第三步：将24个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀； 第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号； 第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．

- 5 -

- 6 -

随机数法

第一步：将24名学生编号，编号为01,02,03，„，24；

第二步：在随机数表中任选一数开始，按某一确定方向读数；

第三步：凡不在01～24中的数或已读过的数，都跳过去不作记录，依次记录下得数； 第四步：找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组．

迁移发散1 解析：(1)由于抽样保证每个个体被抽到的概率相等，由等可能事件的概率计25

算公式，得P＝＝0.05.故总体中的每个个体被抽到的概率等于0.05.

500

(2)因为每个职工被抽到的概率是没有被抽到的概率的一半，所以每个职工被抽到的 1n1

概率P＝.∵P＝，且N＝1 200，∴n＝×1 200＝400.答案：(1)0.05 (2)400

3N3

例2 解析：由题意第7组中抽取的号码的个位数字为3，这是因为6＋7＝13，而十位数

字为6，故抽取的号码为63，应填63. 答案：63

迁移发散2 解：(1)当x＝24时，按规则可知所抽取的样本的10个号码依次为： 24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.

(2)当k＝0,1,2，„，9时，33k的值依次为0,33,66,99,132,165,198,231,264,297；又 抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，从而x可以为87,54,21,88,55, 22, 89,56,23,90，所以x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．

例3 解析：将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人 40x

数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中抽取x人，则＝，解得x＝20.

200100答案：37 ，20

x

迁移发散3 解析：由已知条件得：＝0.19，则x＝380，y＋z＝2 000－(373＋377＋380

2 000＋370)＝500

用分层抽样的方法应在三年级抽取的学生人数为

64

×500＝16. 答案：B 2 000

300

家庭作业答案 1.解析：高一年级抽取的人数为：900×45＝15，高二年级抽取的

200400

人数为：×45＝10，高三年级抽取的人数为：×45＝20. 答案：A

9009002. 答案：D

3.解析：设老年职工人数为x人，中年职工人数为2x，所以160＋x＋2x＝430，得x＝90. 由题意老年职工抽取人数为4.解析：由分层抽样方法得：

90×32

＝18(人)． 答案：B 160

3

×n＝15，解得n＝70. 答案：C

3＋4＋7

2511

5.解析：抽样比为＝，由于超过45岁的共有80人，因此应抽取80×＝10(人)．答：C

200886.解析：设喜欢的学生为5x，不喜欢的为x，一般的为3x，则3x－x＝12，x＝6.全班共有

- 6 -

- 7 -

学生9×6＝54(人)，其中为喜欢的为30人． 答案：3

7.解析：利用分层抽样可知从3个分厂抽出的100个电子产品中，每个厂中的产品个数比 也为1∶2∶1，故分别有25,50,25个．再由三个厂算出的平均值可得100件产品的总的 980×25＋1 020×50＋1 032×25

平均寿命为＝1 013 (h)． 答案：1 013

100x

8.解析：设样本的总容量为x，则×1 300＝130，∴x＝300.

3 000

∴A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．设C产品的样本容量为y，则y＋y

3 000

＋10＝170，∴y＝80.∴C产品的数量为×80＝800. 答案：800

3009.解析：由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6， 十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76. 答案：76

115

10.解：(1)该总体的平均数为x＝(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝.(2)用简单随机抽样方法从6名

62

2

学生中抽取2名，不同的方法种数为A6＝30.其中样本平均数与总体平均数之差的绝对值不

147

超过0.5的抽法种数为14种，由古典概型公式P＝＝. 301511. 解：(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b， x·40%＋3xbx·10%＋3xcc，则有＝47.5%，＝10%，解得b＝50%，c＝10%.故a＝100%－

4x4x50%－10%＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、 33

10%.(2)游泳组中，抽取的青年人数为200××40%＝60(人)；抽取的中年人数为200×

443

×50%＝75(人)；抽取的老年人数为200××10%＝15(人)．

4

- 7 -